资源简介

　二次函数的实际应用
提分要点
1. 如何求关于利润的二次函数表达式：
(1)若题目给出销售量与单价之间的函数表达式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据：销售利润＝销售总额－总成本＝销售量×销售价－销售量×进价＝销售量×(销售价－进价)来解决；
(2)若题目中未给出销售量与单价之间的函数表达式，则要先求出销售量与单价之间的函数表达式，再根据销售利润＝销售量×(销售价－进价)来解决．
2. 如何求二次函数的最值：
(1)可直接利用配方法求最值，即y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋，当a＞0时，有最小值；当a＜0时，有最大值；
(2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．
一、购买、销售问题
例1　
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如何提高售价，才能在半月内获得最大的利润？
变式题
1. 文字型转化为表格型
某种商品一周的销售情况如下表，已知该商品进价为每件8元：
销售单价/元 销售数量/件
10 50
11 45
12 40
当每件商品的销售单价为多少元时，才能使每周得到的利润最大，最大利润是多少？
2. 改变情境
某体育用品店一桶羽毛球的售价为60元，每月可卖出300件，市场调查反映：销售单价每上涨1元，则每月少卖出10桶．已知进价为每桶40元，若物价局规定，每件商品的销售利润不高于60%，设一桶羽毛球的销售单价为x元，每月的销售量为y桶．那么该月这种商品的销售单价定为多少时，每月的销售利润w最大？最大利润是多少元？
抛物线型问题
提分要点
抛物线型问题主要是将物体运动的轨迹看作一条抛物线，依据运行特点选择合适的原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(或顶点式、交点式)，并结合已知数据，利用待定系数法求解系数的值，同时要理解该抛物线中横坐标、纵坐标分别表示的实际意义，更好地应用抛物线分析实际问题．
例2　
如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线型水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？
　例2题图
拓展设问
(1)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
(2)王师傅在喷水池修建设备期间需对水管喷水进行测试，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅应站立在离水池中心多少米以内？请说明理由；(结果保留两位小数)
(3)施工完成后，水池负责人想要将水管的长度进行调整，水池的最大半径为2.5 m，在不改变喷出的抛物线型水柱形状的情况下，最高点位置不变时，求调整后水管的最大长度．
真题演练
命题点 二次函数的实际应用
1. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)设猪肉棕每盒售价x元(50≤x≤65)，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数解析式并求最大利润．
拓展训练
2. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3 m，CA＝2 m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y＝a(x－1)2＋3.2.
(1)求点P的坐标和a的值；
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
　第2题图
基础过关
1. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是(　　)
A. 5 B. 10 C. 1 D. 2
2. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－(x－10)(x＋4)，则铅球推出的距离OA＝________m.
第2题图
3. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：
销售单价x(元) … 50 60 70 …
月销量y(台) … 90 80 70 …
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
4. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药．学校已定购篱笆120米．
(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
第4题图
综合提升
5. 某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝(销售价格－采购价格)×销售量】
第5题图
6. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如下表．
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现　x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述，直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决　如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机，根据上面的探究发现解决下列问题．
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
(2)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飞机落到MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
第6题图
二次函数的实际应用
例1　解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：
y＝(x－20)[400－20(x－30)]
＝(x－20)(1 000－20x)
＝－20x2＋1 400x－20 000
＝－20(x－35)2＋4 500，
∵－20＜0，
∴当x＝35时，y有最大值，最大值为4 500，
35－30＝5，
∴销售单价提高5元，才能在半月内获得最大利润．
1. 解：设销售单价x元与销售数量y件之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
代入(10，50)和(11，45)得，
解得
∴y＝－5x＋100，
设获得利润w元，
则w＝(x－8)(－5x＋100)＝－5x2＋140x－800＝－5(x－14)2＋180，
∵－5＜0，
∴当x＝14时，w有最大值，最大为180.
答：当销售单价为14元时，每周销售利润最大，最大利润是180元．
2. 解：∵每件商品的销售利润不高于60%，
∴x≤40×(1＋60%)，即x≤64，
根据题意，得y＝300－10(x－60)＝－10x＋900(x≤x64)，
则w＝(x－40)(－10x＋900)＝－10x2＋1 300x－36 000＝－10(x－65)2＋6 250
∵－10＜0，
∴当x＜65时，y随x的增大而增大，
∵x≤64，
∴当x＝64时，w取最大值，
∴w最大＝－10×(64－65)2＋6 250＝6 240(元)，
答：该月这种商品的销售单价定为64元时，每月的销售利润w最大，最大利润是6 240元．
例2　解：由于在距池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，
则设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3)，
将(3，0)代入解析式得，a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋3(0≤x≤3)，
令x＝0，则y＝＝2.25(m)，
∴水管长为2.25 m；
(1)令y＝0，则－(x－1)2＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝－1(舍去).
答：水池的半径至少为3米，才能使喷出的水流不至于落在池外；
(2)为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅应站立在离水池中心2.26米以内，
理由如下：
令y＝1.8，则－(x－1)2＋3＝1.8，
解得x≈2.26(负值已舍去).
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅应站立在离水池中心约2.26米以内；
(3)∵抛物线型水柱形状不变，且水池的最大半径为2.5 m，
∴喷出的抛物线型水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，并经过点(2.5，0)，
设平移后的抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋h，
将(2.5，0)代入解析式得，－×(2.5－1)2＋h＝0，
解得h＝，
当x＝0时，y＝－×(0－1)2＋＝，
∴调整后水管的最大长度为米．
真题演练
1. 解：(1)设猪肉粽进价为a元/盒，则豆沙粽进价为(a－10)元/盒．
则＝，(2分)
解得a＝40，
经检验，a＝40是分式方程的解且符合实际．(3分)
40－10＝30.
答：猪肉粽进价为40元/盒，豆沙粽进价为30元/盒；(4分)
(2)依题意得，当x＝50时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售价x元时，每天可售100－2(x－50)＝(200－2x)盒，(5分)
∴y＝(x－40)(200－2x)＝－2x2＋280x－8 000＝－2(x－70)2＋1 800.
∵－2＜0，50≤x≤65，
∴当x≤70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为－2×(65－70)2＋1 800＝1 750.
答：y关于x的函数解析式为y＝－2x2＋280x－8 000(50≤x≤65)，且最大利润为1 750元．(8分)
2. 解：(1)在y＝－0.4x＋2.8中，当x＝0时，y＝2.8，
∴点P的坐标为(0，2.8).
把(0，2.8)代入抛物线解析式，得a＋3.2＝2.8，解得a＝－0.4，
∴点P坐标为(0，2.8)，a的值为－0.4；
(2)令y＝－0.4x＋2.8＝0，解得x＝7，
令y＝－0.4(x－1)2＋3.2＝0，解得x1＝1－2(舍)，x2＝1＋2.
由题意得，点C的坐标为(5，0)，
选择吊球时，落点到C点的距离为5－(1＋2)＝4－2，
选择扣球时，落点到C点的距离为7－5＝2，
∵4－2－2＝2－2＜0，
∴4－2＜2，
∴应该选择吊球．
基础过关
1. D　【解析】∵当球回到地面时，球距离地面的高度为0，∴0＝10t－5t2，解得t＝2或t＝0(舍)，故选D.
2. 10　【解析】当y＝0时，－(x－10)(x＋4)＝0，解得x1＝－4(舍)，x2＝10，∴铅球推出的距离OA＝10 m.
3. 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(50，90)，(60，80)代入，得，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋140(40≤x≤80)；
(2)设商店每月出售这种护眼灯所获利润为w元，
依题意可得，w＝(x－40)(－x＋140)＝－(x－90)2＋2 500，
∵－1＜0，40≤x≤80，
∴当x＝80时，w取最大值，最大值为2 400元．
答：当销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2 400元．
4. 解：(1)设平行于墙的篱笆长为x米，面积为y平方米，则垂直于墙的篱笆长为米，
∴y＝x×＝－x2＋40x＝－(x－60)2＋1 200，
∴当x＝60时，y有最大值是1 200，
此时，垂直于墙的篱笆长为＝20(米).
答：当平行于墙的篱笆长为60米，垂直于墙的篱笆长为20米时，有最大面积，最大面积为1 200平方米；
(2)设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为(1 200－a)平方米，
由题意可得25×2a＋15×2(1 200－a)≤50 000，
解得a≤700，
即牡丹最多种植700平方米，
700×2＝1 400(株).
答：最多可以购买1 400株牡丹．
5. 解：(1)当22≤x≤30时，设y＝kx＋b(k≠0)，将点(22，48)，(30，40)分别代入，
得，解得，
∴y＝－x＋70.
当30得，解得，
∴y＝－2x＋100.
综上所述，y关于x的函数表达式是y＝；
(2)设每天获得的销售利润为W元，
当22≤x≤30时，W＝(x－20)(－x＋70)＝－x2＋90x－1 400＝－(x－45)2＋625.
∵－1＜0，抛物线的对称轴为直线x＝45，
∴当22≤x≤30时，W随x的增大而增大，
∴当x＝30时，W最大，最大值为－(30－45)2＋625＝400(元).
当30＜x≤45时，W＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x2＋140x－2 000＝－2(x－35)2＋450.
∵－2＜0，
∴当x＝35时，W最大，最大值是450.
∵450>400，
∴当销售价格定为35元/kg时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大，最大销售利润是450元．
6. 解：探究发现　x＝5t，y＝－t2＋12t.
解：问题解决　(1)依题意，得－t2＋12t＝0，
解得t1＝0(舍)，t2＝24，
当t＝24时，x＝120.
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m；
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m, 飞机相对于安全线的飞行高度y′＝－t2＋12t＋n.
∵125∴125<5t<130，
∴25在y′＝－t2＋12t＋n中，
当t＝25，y′＝0时，n＝12.5，
当t＝26，y′＝0时，n＝26.
∴12.5答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.

展开更多......

收起↑