资源简介

二次函数综合题
类型一　线段问题
方法归纳
常见构造二次函数关系求线段最值问题
1. 求线段长(和、比、差)
(1)求竖直线段MN长的最大值(如图)
第一步：设点[设点M(t，
at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)]；
第二步：表示线段长(和、比、差)(MN＝at2＋bt＋c－mt－n)；
(2)求斜线段MP长的最大值(如图)
利用锐角三角函数化斜为直得：MP＝MN·sin ∠MNP，再根据(1)的步骤解题即可．
2. 求线段长最值
方法1：代数法：
第一步：表示出所要求的线段长；
第二步：化简[化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n]，利用二次函数性质求最值．
方法2：几何法：见本书
专项6　与线段有关的最值问题
例1　(万唯原创)抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.P是直线AC上方抛物线上的一个动点(不与A，C重合).
一、表示线段长
(1)如图①，已知点P的坐标为(－2，3)，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，则PE的长为______，ED的长为______；
例1题图①
二、线段之间的数量关系
(2)如图②，连接PC.
①当PE＝2ED时，点P的坐标为________；
②当PC＝PE时，点E的坐标为__________；
例1题图②
三、线段最值
(3)如图③，当PE最大时，求点P的坐标；
　例1题图③
(4)如图④，过点P作PM⊥AC于点M，当点P到直线AC的距离PM最大时，求点P的坐标；
　例1题图④
(5)如图⑤，点Q为抛物线对称轴上的动点，连接BQ，CQ，求BQ＋CQ的最小值．
　例1题图⑤
类型二　面积问题
1. 求面积
方法一：直接公式法
若三角形的任意一边平行于坐标轴(或在坐标轴上)，可直接运用三角形的面积公式S＝AB·h求解．
方法二：铅垂高、水平宽法
若三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上)，
S△ABC＝S△ABD＋S△BCD
＝BD·(AE＋CF)
＝BD·(yC－yA).
S△ABC＝BD·(xC－xA).
2. 求面积最值
利用二次函数性质求最值：设动点P的横坐标为m，用含m的代数式表示出三角形的面积，利用二次函数性质求解最值．
例2　如图，二次函数y＝x2＋2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线顶点为D，点P是直线AC下方抛物线上一点，连接AP.
　例2题图①
一、求三角形、四边形面积
(1)如图①，连接AD，BC，CD.
①△ABC的面积为________；
②四边形ABCD的面积为________；
二、面积定值
(2)如图②，连接BP，若S△PAB＝8，求点P的坐标；
　例2题图②
(3)如图③，连接OD，DC，BC，PB，PC，若S△PBC＝2S△OCD，求点P的坐标；
　例2题图③
三、面积最值
(4)如图④，连接CD，DP，求四边形ACDP面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
　例2题图④
(5)如图⑤，连接PB交AC于点F，设△ABF面积为S1，△APF的面积为S2，求的最大值．
　例2题图⑤
对接中考
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.
(1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式；
(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，求sin ∠OCB的值．
　第1题图
2. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
　第2题图
基础过关
类型一　线段问题
1. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋x＋4与直线y＝－x＋1交于A，B两点，且点A在点B左侧．
(1)求点A，B的坐标；
(2)将抛物线向右平移若干个单位长度得到抛物线C1，抛物线C1与原抛物线的交点为P，当点P在x轴上方时，求P到直线AB距离的最大值及此时抛物线平移的单位长度．
2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C.已知点A的坐标是(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1.
(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小．求点P的坐标和PA＋PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，连接BC交MN于点Q.依题意补全图形，当MQ＋CQ的值最大时，求点M的坐标．
第2题图 备用图
类型二　面积问题
1. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点 C.
(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P坐标；
(2)求△BCP的面积．
注：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，).
第1题图
2. 如图，二次函数y＝－x2＋4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B(1，3)，与y轴交于点C.
(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.
①当PD＝OC时，求m的值；
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．
第2题图
二次函数综合题
典例精析
例1　解：(1)2，1　【解析】∵抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，令－x2－2x＋3＝0，解得x＝－3或1，∴A(－3，0)，B(1，0)，令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)，设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(－3，0)，C(0，3)，代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x＋3，∵点P的横坐标为－2，PD⊥x轴于点D，交AC于点E，∴点E的横坐标为－2，∴E(－2，1)，∴ED＝1，PE＝3－1＝2.
(2)①(－2，3)；②(－2，1)　【解析】设P(a，－a2－2a＋3)，则E(a，a＋3)，∴PE＝－a2－3a，ED＝a＋3，∵PE＝2ED，∴－a2－3a＝2(a＋3)，解得a＝－2或－3(舍去)，则－a2－2a＋3＝3，∴点P的坐标为(－2，3)；∵直线AC的解析式为y＝x＋3，∴∠OAC＝45°，∵PD⊥AO，∴∠AED＝45°，∴∠PEC＝45°，∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC＝45°，∴PC⊥OC，∴点P与点C的纵坐标相等，令－a2－2a＋3＝3，解得a＝－2或0(舍去)，∴点P的坐标为(－2，3)，∵点E与点P的横坐标相等，∴令x＝－2，则y＝x＋3＝1，∴点E的坐标为(－2，1).
(3)由(1)知直线AC的解析式为y＝x＋3；
设P(t，－t2－2t＋3)，
∴E(t，t＋3)，
∴PE＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t＝－(t＋)2＋.
∵－1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当t＝－时，PE取得最大值，最大值为.
∴点P的横坐标为－，代入得点P的纵坐标为，
∴点P的坐标为(－，)；
(4)如解图，过点P作PG∥y轴，交AC于点G，
∴∠PGM＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
在Rt△PMG中，
PM＝PG·sin ∠PGM＝PG·sin 45°＝PG，
设P(t，－t2－2t＋3)，由(3)可知PG＝－t2－3t＝－(t＋)2＋，
∴PM＝－(t＋)2＋，
∵－＜0，－3＜t＜0，
∴当t＝－时，PM取得最大值，
此时点P的坐标为(－，)；
例1题解图
(5)∵点A与点B关于对称轴对称，
∴当点Q在AC与对称轴的交点处时，BQ＋CQ的值最小，最小值即为AC的长，
∵A(－3，0)，C(0，3)，
∴OA＝OC＝3，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝＝3，
∴BQ＋CQ的最小值为3.
例2　解：(1)① 6　【解析】在y＝x2＋2x－3中，令y＝0，得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)，令x＝0，得y＝－3，∴C(0，－3)，∴S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6.
② 9　【解析】由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴抛物线的顶点坐标为(－1，－4).由点A，C的坐标易得直线AC的表达式为y＝－x－3，当x＝－1时，y＝－2，∵S△ABC＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝6＋×2×3＝9.
(2)∵A(－3，0)，B(1，0)，
∴AB＝4，
设P(p，p2＋2p－3)(－3＜p＜0)，
则S△PAB＝AB·|yP|＝×4×|p2＋2p－3|＝2|p2＋2p－3|＝8.
∵点P在直线AC下方，
∴p2＋2p－3＝－4，
解得p＝－1，
∴点P的坐标为(－1，－4)；
(3)由(1)知，D(－1，－4)，C(0，－3)，B(1，0)
∴S△OCD＝OC·|xD|＝×3×1＝，
∵S△PBC＝2S△OCD，
∴S△PBC＝3，
如解图①，过点P作PE∥x轴交BC于点E，
易得直线BC的表达式为y＝3x－3，
设P(t，t2＋2t－3)(－3＜t＜0)，则点E的纵坐标为t2＋2t－3，
令3x－3＝t2＋2t－3，解得x＝，
∴S△PBC＝PE·OC＝×(－t)×3＝3，
解得t＝－2或3，
∵P是AC下方抛物线上一点，
∴t＝－2，
∴t2＋2t－3＝－3，
∴点P的坐标为(－2，－3)；
例2题解图①
(4)如解图②，连接AD，过点P作PN∥y轴交AD于点N，过点D作DG⊥y轴于点G，
∴S四边形ACDP＝S△APD＋S△ACD，
由(1)知，点A(－3，0)，C(0，－3)，易得S△ACD＝3，
设点P的坐标为(x，x2＋2x－3)，
设直线AD的表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，
将A(－3，0)，D(－1，－4)代入得，
，解得，
∴y＝－2x－6，则点N的坐标为(x，－2x－6)，
∴PN＝－2x－6－(x2＋2x－3)＝－x2－4x－3，
∴S△APD＝PN·|＝－x2－4x－3＝－(x＋2)2＋1，
∵－1＜0，
∴当x＝－2时，S△APD取最大值，最大值为1，
将x＝－2代入y＝x2＋2x－3中，得y＝－3，
∴点P的坐标为(－2，－3)，
∴四边形ACDP的面积最大值为1＋3＝4；
例2题解图②
(5)如解图③，过点P作PK∥y轴交AC于点K，过点B作BJ∥y轴交AC于点J.设直线AC的表达式为y＝k2x＋b2(k2≠0)，
∵A(－3，0)，C(0，－3)，
∴，解得，
∴直线AC的表达式为y＝－x－3，
又∵B(1，0)，
∴J(1，－4)，
∴BJ＝4.
设P(x，x2＋2x－3)，则K(x，－x－3)，
∴PK＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，
∵PK∥y轴，BJ∥y轴，
∴PK∥BJ，
∴△PKF∽△BJF，
∴＝，
设点A到直线PB的距离为h，
则S1＝BF·h，S2＝PF·h，
∴＝＝＝＝－(x＋)2＋，
∵－＜0，
∴当x＝－时，取得最大值，最大值为.
例2题解图③
对接中考
1. 解：(1)把A(1，0)，B(3，0)两点代入y＝－x2＋ax＋b，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3；(3分)
(2)如解图，过点P作 PD⊥x轴于点D.
第1题解图
∵P为BC的中点，PD∥y轴，
∴PD为△BOC的中位线，
又∵B(3，0)，
∴点P的横坐标为，
把x＝代入y＝－x2＋4x－3，得y＝，
∴P(，)；(6分)
(3)由(2)知PD为△BOC的中位线，
∴OC＝2PD＝2×＝，
又∵OB＝3，
∴在Rt△BOC中，BC＝＝
＝＝，
∴sin ∠OCB＝＝＝.(9分)
2. 解：(1)∵A(1，0)，AB＝4，
∴B(－3，0).(2分)
将A(1, 0)，B(－3，0)代入y＝x2＋bx＋c中，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3；(5分)
(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴C(－1，－4).
设直线BC的解析式为y＝k1x＋m1(k1≠0)，
将B(－3，0)，C(－1，－4)代入y＝k1x＋m1中，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝－2x－6，(7分)
设直线AC的解析式为y＝k2x＋m2(k2≠0)，
将A(1, 0)，C(－1，－4)代入y＝k2x＋m2中，得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝2x－2.
∵PQ∥BC，
∴设直线PQ的解析式为y＝－2x＋n，
令y＝－2x＋n＝0，解得x＝，
∴P(，0)，
联立直线AC与直线PQ的解析式，得，
解得，
∴Q(，)，(9分)
∵点P在线段AB上，
∴－3＜＜1，即－6＜n＜2，
∴S△CPQ＝S△CPA－S△QPA＝×(1－)×4－×(1－)×＝－(n＋2)2＋2，
∵－＜0，
∴当n＝－2时，S△CPQ取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为(－1，0).(12分)
基础过关
类型一　线段问题
1. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋x＋4与直线y＝－x＋1交于A，B两点，
∴联立方程组，解得或.
∵点A在点B左侧，∴点A的坐标为(－1，2)，点B的坐标为(3，－2)；
(2)如解图，作BO′∥x轴，AO′∥y轴，交点为O′，
∵∠AO′B＝90°，点A(－1，2)，B(3，－2)，∴AO′＝BO′，∴∠BAO′＝45°.
过点P作PT⊥AB于点T，PQ∥y轴交AB于点Q，
∴∠PQT＝∠BAO′＝45°.
∵PT⊥AB，∴PT＝PQ.
设点P的坐标为(t，－t2＋t＋4)，则Q(t，－t＋1)，∴PQ＝－t2＋t＋4＋t－1＝－t2＋2t＋3＝－(t－1)2＋4.
∵－1＜0，∴当t＝1时，PQ有最大值，即PT有最大值，
此时点P的坐标为(1，4)，且点P到直线AB距离的最大值为2.
设抛物线C1是由原抛物线向右平移m个单位长度得到的，
∵原抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4＝ －(x － )2＋，且点P在抛物线C1上，∴抛物线C1的解析式为y＝－(x － －m)2＋，
将点P(1，4)代入，得－(1－－m)2＋＝4，
解得m＝1或m＝0(舍去)，∴此时抛物线向右平移了1个单位长度.
第1题解图
2. 解：(1)点B的坐标为(3，0)；
【解法提示】∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的对称轴是直线x＝1，∴－＝1，∴b＝－2a.①∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A，B两点，点A的坐标是(－1，0)，∴a－b＋3＝0.②联立①②得，解得，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.令y＝0得－x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝－1，∴点B的坐标为(3，0).
(2)如解图①，连接BC，线段BC与直线x＝1的交点就是所求作的点P，
设直线CB的表达式为 y＝kx＋b′(k≠0)，
把C(0，3)和B(3，0)代入得
，解得，
第2题解图①
∴直线CB的表达式为y＝－x＋3，
∴当x＝1时，y＝2，
∴P(1，2).
∵OB＝OC＝3，
∴在Rt△BOC中，BC＝3，
∵点A，B关于直线x＝1对称，
∴PA＝PB，
∴PA＋PC＝PB＋PC＝BC＝3；
(3)如解图②，补全图形，
第2题解图②
由(1)得抛物线的表达式为 y＝－x2＋2x＋3，由(2)得yBC＝－x＋3，
故设M(t，－t2＋2t＋3)，则Q(t，－t＋3)，
∴MQ＝－t2＋3t.
过点Q作QD⊥OC，垂足为点D，则△CDQ是等腰直角三角形．
∴CQ＝t，
∴MQ＋CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－(t－)2＋，
∴当t＝时，MQ＋CQ有最大值，
此时点M(，).
类型二　面积问题
1. 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(4，0)，
∴，解得，
∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－3x－4.
∵y＝x2－3x－4＝(x－)2－，且P为顶点，
∴P(，－)；
(2)如解图，过点P作PE⊥y轴于点E，则梯形PEOB的面积为×(＋4)×＝.
由(1)知，C(0，4)，
∴OC＝4，∴CE＝.
又∵S△PEC＝PE·CE＝××＝，S△BOC＝×4×4＝8，
∴S△BCP＝S梯形PEOB－S△PEC－S△BOC＝.
第1题解图
2. 解：(1)由y＝－x2＋4x得，当y＝0时，－x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝4.
∵点A在x轴正半轴上，
∴A(4，0).
设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A，B两点的坐标(4，0)，(1，3)分别代入y＝kx＋b，得，解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋4.
将x＝0代人y＝－x＋4，得y＝4，
∴点C的坐标为(0，4)；
(2)①∵点P在第一象限内二次函数y＝－x2＋4x的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为m.
∴点P，D的坐标分别为P(m，－m2＋4m)，D(m，－m＋4)，
∴PE＝－m2＋4m，DE＝－m＋4，OE＝m.
∵ 点C的坐标为(0，4)，
∴ OC＝4.
∵ PD＝OC，
∴ PD＝2.如解图①，当点P在直线AB上方时，
PD＝PE－DE＝－m2＋5m－4.
∵PD＝2，∴－m2＋5m－4＝2，解得m1＝2，m2＝3.
如解图②，当点P在直线AB下方时，PD＝DE－PE＝m2－5m＋4.
∵ PD＝2, ∴m2－5m＋4＝2.
解得m＝.
∵0综上所述，m的值为2或3或；
②如解图③，由①得OE＝m，PE＝－m2＋4m，DE＝－m＋4.
∵ BQ⊥x轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为(1，3)，
∴ OQ＝1.∵点P在直线AB上方，∴ EQ＝m－1.
∵ PE⊥x轴于点E,
∴∠OQF＝∠OEP＝90°，
∴ FQ∥DE.
∵∠FOQ＝∠POE, ∴△FOQ∽△POE，∴＝，
∴＝，
∴FQ＝＝－m＋4，
∴ FQ＝DE，∴四边形FQED为平行四边形．
∵BQ⊥x轴，
∴四边形FQED为矩形，
∴ S＝EQ·FQ＝(m－1)(－m＋4)，
即S＝－m2＋5m－4＝－(m－)2＋，
∵ 1∴ 当m＝时，S的最大值为.
【一题多解】 ②如解图③，由①得OE＝m，PE＝－m2＋4m，DE＝－m＋4.
由题可得，点P的坐标为(m，－m2＋4m)，设直线OP的函数表达式为y＝k1x(k1≠0)，
∴－m2＋4m＝mk1，解得k1＝－m＋4，
∴直线OP的函数表达式为y＝(－m＋4)x.
当x＝1时，代入直线OP的函数表达式得，y＝－m＋4，∴F(1，－m＋4)，
∴FQ＝－m＋4.
∵ BQ⊥x轴于点Q，交OP于点F，PE⊥x轴于点E，
∴ FQ∥DE.∵FQ＝DE，∴四边形FQED为平行四边形．
∵BQ⊥x轴，∴四边形FQED为矩形．∵EQ＝m－1，
∴ S＝EQ·FQ＝(m－1)(－m＋4)，
即S＝－m2＋5m－4＝－(m－)2＋.
∵ 1∴ 当m＝时，S有最大值为.
图①
图②
图③
第2题解图

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