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【第三练】5.5.1课时2 两角和与差的正切公式
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.能熟练应用两角和与差的正弦、余弦与正切公式解题，培养数学运算，如第6题.
2.能熟练应用两角和与差的正切公式求解与一元二次方程有关的问题，锻炼数学运算求解能力，如第3题.
3.能熟练应用两角和与差的正切公式、角的变换解题，培养转化与化归能力，如第11题.
一、单选题
（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）
1．若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
（2023上·河北保定·高三校联考阶段练习）
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．设是方程的两个根，则的值为
A．-3 B．-1 C．1 D．3
（2024上·广东深圳·高一校考期末）
4．已知，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（2024·全国·模拟预测）
5．已知，则（ ）
A．2m B． C． D．
（2023下·高一校考单元测试）
6．在中，角、、的对边分别为、、，若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知锐角α，β满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）
8．已知钝角三角形，为两锐角，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·安徽合肥·高一统考期末）
9．下列四个等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
10．已知，，则 ．
（2024·全国·模拟预测）
11．已知均为锐角，且，则的值是 ．
四、解答题
（2023下·高一课时练习）
12．在中，，且.试判断的形状.
（2023·全国·高一随堂练习）
13．已知，，求．
【易错题目】
【复盘要点】关于两个角的正切值是一元二次方程的根的问题，一般需要用到韦达定理结合两角和与差的正切公式求解.
典例:（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知，与是方程的两个根，则 ．
【答案】
【分析】根据与是方程的两个根，顶顶顶，且，再利用两角和的正切公式求解.
解：因为，且与是方程的两个根，
所以，且，
所以，且，
所以，
故答案为：
【复盘训练】
（2024上·辽宁抚顺·高三校联考期末）
14．已知，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C．2 D．
（2024上·广东·高二学业考试）
15．的三个内角是，且是方程的两个实数根，则是 三角形．
（2024上·浙江衢州·高一统考期末）
16．已知为方程的两个实数根，且，，则的最大值为 .
（2021下·河南·高一校联考期末）
17．已知，，是方程的两根．
（1）求；
（2）求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据已知条件利用两角和的正切公式求解
【详解】因为，所以，所以，
所以，所以
，
故选：D
2．B
【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求解即得.
【详解】由，得，解得，又，
所以.
故选：B
3．A
【详解】试题分析：由tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan（α+β）= -3，故选A.
考点：两角和与差的正切函数公式
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．
4．D
【分析】根据求出，从而可得的范围，即可得出的范围，再求和的值，即可得结果.
【详解】因为，，，
则，
可知，，则，
又因为，
可得，
所以.
故选：D.
5．B
【分析】根据已知条件利用倍角公式和两角和与差的正弦余弦正切公式进行求解；利用特殊值法也可以直接求解.
【详解】通解：因为，
所以，
即，
所以，
所以，
于是
，
优解： 取，
则
，
所以，
则，
故选：B．
6．A
【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简推出，再利用两角和的正切公式结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】中，∵、，∴，
即，∴为钝角，，
又，
∴，∴，
由为钝角，知A为锐角，则，
∴，
当且仅当时，即时取等号，
则的最大值为，
故选：A.
7．AB
【分析】根据同角三角函数关系判断范围判断A选项，应用两角和的正切公式计算化简得出可以判断B,C,D选项.
【详解】因为α为锐角，，
所以.
又，
所以，
所以，
又，所以.
故选：AB.
8．ACD
【分析】由题意可得，，再根据三角函数的单调性及两角和的正弦公式和两角和的正切公式逐一判断即可.
【详解】对于A，由题意，，则，
所以，故A正确；
对于B，，
因为，所以，
所以，故B错误；
对于C，，
所以，
所以，
又因，
所以，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
9．ABD
【分析】根据两角和正切公式的变形判断A，根据切化弦及三角恒等变换判断B，由诱导公式判断C，根据二倍角的正切公式判断D.
【详解】
，故A正确；
，故B正确；
根据诱导公式知，故C错误；
，故D正确，
故选：ABD.
10．.
【解析】利用角变换结合正切的差角公式可求解.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查角变换和正切的差角公式的应用，属于基础题.
11．##
【分析】根据三个锐角之和为，利用诱导公式以及两角和的正弦、余弦和正切公式计算即可求得结果.
【详解】因为，所以，
因此，故．
由，得；
即，可得，于是，
因此．
故答案为：
12．等边三角形
【分析】根据两角和的正切公式可得，即，再利用，可解得
，那么三角形为等边三角形.
【详解】根据 ，
又，可知: ，
那么 , ,
故 ，
化简可得 ，
，所以，
那么 ，则，即三角形为等边三角形.
故答案为：等边三角形
13．
【分析】由正弦的和差角公式可得，再由正切的和角公式及同角三角函数的商数关系化简，即可得解.
【详解】因为
，
所以
所以
.
14．D
【分析】根据韦达定理得，，即可结合和差角公式以及弦切互化，代入求解.
【详解】因为，是方程的两个根，
所以，，
所以.
故选：D
15．钝角
【分析】根据韦达定理可得进而根据和差角公式即可求解.
【详解】由于是方程的两个实数根，
所以
所以,
又故为钝角，
因此是钝角三角形，
故答案为：钝角
16．
【分析】由根与系数的关系及已知可求得，由,化简为关于的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果.
【详解】因为为方程的两个实数根，，
所以，解得，或，
若，则即，
因为，故，
若，则，不成立，
若，则，故，
故也不成立，故，
所以，则，
则，
化简可得
，由方程有解，可知：
，即.
解得：，
则的最大值为.
故答案为：.
17．（1）；（2）8.
【分析】（1）由根与系数的关系可得，，再由两角和的正切公式可求出的值，再结合，可求出的值；
（2）由（1）可知当时有，由此可得，利用此结论从而可得结果
【详解】（1）由已知得，，故．
∵，
∴、同号，而，
可知，，故，
∴，故．
（2）由，可得，则，
即．
∴．
故，，，
故原式．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第三课】5.5.1课时2 两角和与差的正切公式
扩展1: 两角和差的正弦、余弦、正切公式的综合应用
（2023·全国·高一随堂练习）
例1.已知，，，分别是第二、第三象限角，求，的值．
【答案】，.
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，，，的值，进而根据两角差的余弦公式，两角和的正切公式即可计算求解．
【详解】∵，，，分别是第二、第三象限角，
∴，，
∴.
∴
.
.
【方法总结】准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等．　　
（2023·全国·高一随堂练习）
1．已知，，求，的值．
（2023下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）
2．已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
扩展2: 与一元二次方程有关的问题
（2023下·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校考阶段练习）
例2.已知是方程的两根，且，则的值为 .
【答案】/
【分析】首先利用韦达定理，得到两角正切的关系式，再根据两角和的正切公式，求角.
【详解】由条件可知，，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：
【方法总结】方程的二根分别为，则，.
（2023下·高一课时练习）
3．如果是方程的两根，则＝ ．
（2023下·高一课时练习）
4．已知是方程的两个根，且，则 ．
扩展3:角变换问题
（2021·高一课时练习）
例3.已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知根据两角和的正切公式可求出，进而根据同角三角函数的基本关系，以及角的范围得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，所以.
又，所以，
所以.
又因为，，所以，
所以.
故选：A.
【方法总结】变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－.
（2024上·北京丰台·高一统考期末）
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．1
（2023下·高一课时练习）
6．若，且是第二象限角，则 （ ）
A． B． C． D．
（2019·全国·高考真题）
7．tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
（2007·江西·高考真题）
8．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于（ ）
A．3 B．－3 C． D．
（2015·重庆·高考真题）
9．若,则
A． B． C． D．
（2006·福建·高考真题）
10．已知，，则（ ）
A． B．7 C． D．-7
（2020·全国·统考高考真题）
11．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
（2004·上海·高考真题）
12．若，则 .
（2007·江苏·高考真题）
13．已知，，则 .
（1991·全国·高考真题）
14．已知为锐角，，求的值．
（2005·天津·高考真题）
15．已知，求及．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．,.
【分析】利用平方关系和商数关系求，然后由和差公式可得.
【详解】因为，，
所以，
所以.
所以.
2．AC
【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解.
【详解】因为 ( 为锐角),
故 , 故 正确;
因为 ,
所以
,
故 B 错误;
由
,
故 ,
故 C 正确;
且 ,
所以 ,
故 D 错误.
故选: AC.
3．##
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得，，再运用余弦、正弦和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.
【详解】因为是方程的两根，
所以，
∴.
故答案为：.
4．
【分析】根据韦达定理求得，再利用两角和的正切公式结合角的范围运算求解.
【详解】因为是方程的两个根，
则，
可得，
且，则，
所以.
故答案为：.
5．A
【分析】根据正切的和差角公式即可求解.
【详解】，
故选：A
6．C
【分析】首先计算，再根据展开计算得到答案.
【详解】因为，是第二象限角，所以，，
故.
故选：C.
7．D
【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】详解：=
【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
8．C
【分析】由两角差的正切公式即可求解.
【详解】解：tan(α－β)＝＝＝，
故选：C.
9．A
【详解】试题分析：，故选A.
考点：两角和与差的正切公式．
10．A
【分析】根据角的范围以及平方关系求出再利用商的关系求出，最后由两角和的正切公式可得答案.
【详解】因为，，
所以
，
故选：A.
【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.
11．D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
12．3
【分析】直接利用和角的正切公式求解.
【详解】由题得.
故答案为：3
13．
【分析】利用两角和差余弦公式将和分别展开，再将两式进行加和减，可求得和，两式相除即可求得结果.
【详解】…①，
…②，
①②得：，解得：；
①②得：，解得：
.
故答案为：.
【点睛】本题考查两角和差余弦公式的应用，涉及到同角三角函数商数关系的应用，属于基础题.
14．
【分析】根据同角三角函数的平方关系以及余弦的和差公式，通过“凑角”即可求解.
【详解】解：，
又，所以，
又，
所以，
又，所以，
所以=，
故答案为：
15．，.
【分析】利用和差角公式和二倍角公式联立求出，进而求出，利用两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，所以，即.
又，所以，所以.
与联立解得：.
所以.
所以.
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