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【第三练】5.5.2简单的三角恒等变换
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的．
【目标分析】
1．会利用二倍角公式求解三角形中的问题以及数学文化题，培养直观想象，数学运算，如第9，13题．
2．能熟练利用三角公式求解与三角函数性质有关的问题，锻炼运算求解能力，如第2，4题．
一、单选题
（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）
1．设，，，则有（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·广东茂名·高一统考期末）
2．函数在区间上的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
（2024·全国·模拟预测）
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2024上·河南开封·高一统考期末）
4．下列函数中，以为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·河北保定·高一校联考期中）
5．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
（2023上·河北石家庄·高三校联考期末）
7．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·河南焦作·高一校考阶段练习）
8．下列式子中，运算结果为1的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024上·广东·高三广东华侨中学校联考期末）
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．函数在区间内有6个零点
C．的图象关于点对称
D．将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为
三、填空题
（2024下·上海·高一开学考试）
10．的值为 ．
（2023下·广西河池·高二校联考阶段练习）
11．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为7∶3，设，则 ．
四、解答题
（2024上·湖南·高二湖南师大附中校考期末）
12．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间和最小正周期；
(2)若当时，不等式有解，求实数的取值范围.
13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝，求证＝.
【易错题目】第4，9，12题
【复盘要点】涉及三角函数的性质问题，常用二倍角的降幂公式把三角函数式化为一个角的三角函数，然后再研究其性质；要结合之前所学习的公式，观察三角函数各角之间的关系，灵活运用，融会贯通．
典例：（2024上·湖南株洲·高一统考期末）已知是函数的一个零点．
（1）求实数的值；
（2）求单调递减区间．
（3）若，求函数的值域．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用函数的零点的定义，求得实数的值；
（2）利用三角恒等变换化简函数解析式，再利用余弦函数的单调性求得的单调递减区间；
（3）根据（2）问的化简得到，由..，得到的范围，结合余弦函数的图象分析即可求得值域．
【详解】（1）因为
又，解得．
（2）由（1）可得，
令得，所以的单调递减区间为，．
（3），，
，即
故时，函数的值域为．
【复盘训练】
（多选题）（2023上·湖南岳阳·高二统考期末）
14．已知的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．在单调递增
B．在上的最大值为0
C．点是的一个对称中心
D．是的一条对称轴
（2023上·江苏连云港·高一江苏省新海高级中学校考阶段练习）
15．函数的最小值为 .
（2024上·安徽阜阳·高一统考期末）
16．函数在区间上的最小值为 .
（2024上·北京石景山·高三统考期末）
17．设函数．
(1)若，求的值；
(2)已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：函数的图象经过点；
条件②：时，的值域是；
条件③：是的一条对称轴．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．C
【分析】由倍角公式化简为正切函数，再结合正切函数的单调性可得出答案.
【详解】，
，
因为在上单调递增，
所以，
即，
故选：C.
2．A
【分析】利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为，
又，则，所以，
故，则函数的最小值为0.
故选：A．
3．B
【分析】利用三角函数的基本关系式得到关于的方程，再利用倍角公式即可得解.
【详解】因为，又，
所以，则，即，
则，即，所以或（舍去），
所以.
故选：B.
4．D
【分析】对A举反例即可，对B利用辅助角公式结合正弦型函数的周期求法即可判断，对CD利用三角恒等变换并结合余弦型的性质判断即可.
【详解】对A，当时，，当时，，
则该函数在上并不是单调递减，故A错误；
对B，，其最小正周期为，故B错误；
对C，，当，
则在单调递增；故C错误，
对D，
，
则其最小正周期为，且当，，
根据余弦函数单调性知在上单调递减，故D正确；
故选：D.
5．B
【分析】先通过三倍角公式及二倍角公式计算化简，求出，进而可得关系.
【详解】由三倍角公式有，
化简得，，
解得（负值舍去），
.
故选：B.
6．C
【分析】由展开求的值，再将展开后构造齐次式，将其转化成正切的式子代入求解即得.
【详解】由可得：，解得：，
因，
，
故.
故选：C.
7．AB
【分析】利用三角恒等变换，即可化简，即可求解.
【详解】，故A正确；
故B正确；
，故C错误；
．故D错误；
故选：AB
8．AD
【分析】根据两角和的正弦和余弦公式即可判断AB，根据二倍角的余弦、正切公式即可判断CD.
【详解】对A，，A正确；
对B，，B错误；
对C，，C错误；
对D，，D正确．
故选：AD.
9．AD
【分析】首先化简得，对于A：直接用周期公式求解；对于B：求出的范围，然后结合的图象得零点个数；对于C：直接计算的值即可判断；对于D：求出，结合图象来列不等式求解.
【详解】
，
对于A：，A正确；
对于B：当时，，则分别取时对于的的值为函数在区间上的零点，只有个，B错误；
对于C：，故点不是的对称中心，C错误；
对于D：由已知，
当时，，
因为在上的最大值为，
所以，解得，D正确.
故选：AD.
10．##-0.5
【分析】直接利用二倍角公式以及诱导公式化简求解即可．
【详解】．
故答案为：．
11．
【分析】由已知得到，利用二倍角公式，同角三角函数关系化弦为切，代入求值．
【详解】依题意，所以，
所以
．
故答案为：.
12．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦函数的性质可得出函数的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）根据题意可知小于等于的最大值，结合正弦函数的定义域求出最大值，即可知的取值范围.
【详解】（1）
.
所以函数的最小正周期.
由，解得.
所以函数的单调递减区间为.
（2）由题意可知，即.
因为，所以.
故当，即时，取得最大值，且最大值为.
所以，实数的取值范围为.
13．证明见解析
【分析】将已知条件化为，结合二倍角公式，化简证得结论成立
【详解】依题意，
所以，
，
所以，
而，
，
所以，
即＝.
14．BD
【分析】应用三角恒等变换及正弦型函数的最小周期可得，根据正弦函数性质，应用整体法、代入法判断各项正误.
【详解】由题设，又，
所以，
，则，显然在上不单调，A错；
，则，显然在上的最大值为0，B对；
，故点不是的一个对称中心，C错；
，故是的一条对称轴，D对.
故选：BD
15．
【分析】利用二倍角公式可得，再由余弦函数值域以及二次函数性质可得其最小值为.
【详解】根据题意可得，
令，则，
根据二次函数性质可得，
所以函数的最小值为.
故答案为：
16．1
【分析】由三角恒等变换得，通过换元法即可得解.
【详解】，
由，得，所以，
令，则在上单调递减，
所以时，y取最小值1，故的最小值为1．
故答案为：1.
【点睛】关键点睛：关键是由三角恒等变换化简函数表达式，结合换元法即可顺利得解.
17．(1)
(2)选②或③，
【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；
（2）选①，由可判断；
选②，由题意，，由三角函数的性质可得周期，即可得；
选③，由题意，得，又是的一条对称轴，所以，由此可解得.
【详解】（1）因为，所以
．
因为，所以．
（2）选①，
∵，∴函数的图象不可能经过点，不合题意；
选②，
因为在区间上单调递减，且当时，的值域是，
所以，.
此时，由三角函数的性质可得，故．
因为，所以.
选③，
因为在区间上单调递减，
所以，即，解得．
因为是的一条对称轴，所以.
所以，即，
解得.
由，可知.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第三课】5.5.2简单的三角恒等变换
扩展1： 二倍角公式在三角形中的应用
例1． 在中，，，求的值．
【思路分析】，可考虑先求的值，再用二倍角公式求的值．
【解】在中，由，，得，∴．
∵，∴．
∴．
【方法总结】在三角形中解三角函数问题时，要注意三角形内角和定理的应用．在中，．
常用结论还有，，，，．
【举一反三1-1】
1．关于x的方程有一根为1，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【举一反三1-2】
2．在中，若cosA=，则sin2+cos2A=（ ）
A．- B． C．- D．
扩展2： 二倍角公式与数学文化的结合
例2．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边直角边，．已知以直角边，为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）
A.4 B.2 C． D．
【解析】因为以直角边，为直径的半圆的面积之比为，所以半径比为，所以．
不妨设，，易知，所以，
所以，，
则，
于是，．故选A．
【答案】A
【方法总结】此类题往往选择角作为变量，然后通过已知条件得到三角函数式或三角函数值，再求未知量，解决实际问题．
【举一反三2-1】
3．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大的锐角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【举一反三2-2】
4．一个三角形的腰与底边（或底边与腰）的比值等于黄金比，则称此三角形为黄金三角形．黄金三角形有锐角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形的顶角，底角，而钝角三角形顶角，底角．如图，在一个锐角黄金中，．根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
扩展3： 利用辅助角公式研究函数性质
例3．（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，并求函数在上的最小值．
条件①：的最大值为；
条件②：的一个对称中心为；
条件③：的一条对称轴为．
【答案】（1）
（2）条件选择见解析，答案见解析
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；
（2）选①，利用函数的最大值求出的值，由求出的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求出在上的最小值；选②，根据函数的一个对称中心坐标求出的值，由求出的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求出在上的最小值；选③，根据函数的一条对称轴方程可知，不确定．
【详解】（1）解：因为
，
故函数的最小正周期为．
（2）解：选①，，解得，则，
当时，，
故当时，函数取得最小值，即；
选②，因为函数的一个对称中心为，
则，解得，所以，，
当时，，
故当时，函数取得最小值，即；
选③，因为函数的一条对称轴为直线，的值无法确定．
综上所述，选①，函数在上的最小值为；
选②，函数在上的最小值为；
选③，的值不确定．
【方法总结】（1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角恒等变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
（2）解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障．
【举一反三3-1】（2024上·山西阳泉·高一统考期末）
5．已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时x的值．
【举一反三3-2】（2024上·湖南·高一校联考期末）
6．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间的最大值和最小值；
(3)荐在区间上恰有两个零点，求的值.
（2017·山东·高考真题）
7．函数y＝sin2x＋cos 2x的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
（2023·全国·统考高考真题）
8．已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
（2005·北京·高考真题）
9．函数（ ）
A．在上递增，在上递减
B．在上递增，在上递减
C．在上递增，在上递减
D．在上递增，在上递减
（2004·安徽·高考真题）
10．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
（2004·安徽·高考真题）
11．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2021·全国·统考高考真题）
12．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2007·山西·高考真题）
13．函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
（2020·江苏·统考高考真题）
14．已知 =，则的值是 .
（2022·浙江·统考高考真题）
15．若，则 ， ．
（2023·北京·统考高考真题）
16．设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】将1代入，根据二倍角公式和两角差的余弦公式，整理可得
，即，根据角的范围，即可求出结果.
【详解】因为1是的根，
所以，
又，
所以有，，
整理可得，，即.
因为，，，所以.
则由可得，，所以.
所以一定是等腰三角形.
故选：A.
2．A
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】sin2+cos2A
=+2cos2A-1
=+2cos2A-1
=.
故选：A
3．B
【分析】根据题意可得出，平方可得，即可求出.
【详解】因为大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，所以大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，
所以，即，两边平方得，即.
因为是直角三角形中较大的锐角，所以，所以，
所以.
故选：B.
4．A
【分析】取的中点，连接，计算出的值，利用二倍角的余弦公式可求得，再利用诱导公式可求得结果.
【详解】取的中点，连接，如下图所示：
则，
所以，，
所以，.
故选：A.
5．(1)最小正周期为，单调递减区间为
(2)时取得最小值，时取得最大值
【分析】（1）化简的最小正周期，然后求得的最小正周期，利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）根据三角函数最值的求法求得正确答案.
【详解】（1）
，
．
函数的单调递减区间为：
，
，
．
函数的单调递减区间为：
（2）由得，，
当，即时，取得最小值为，
当，即时取得最大值为1．
6．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由三角恒等变换化简表达式得，，令，解不等式组即可得解.
（2）由，得 ，结合正弦函数单调性即可得解.
（3）由题意得即，进一步结合换元、诱导公式以及平方关系即可得解.
【详解】（1）
.
由，可得，
即的单调递减区间为.
（2）因为，所以，
所以，所以，
当时，即时，，
当时，即时，.
（3）因为，所以，同理
由题意可得，.
即，所以，
所以，即可得，
因为，所以，所以，
所以，
因为，可设，则，
所以，
因为，且，所以，
所以.
7．C
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再利用周期公式计算可得.
【详解】∵y＝2＝2sin，
，
故选：C.
【点睛】该题考查三角函数的性质与辅助角公式，属于基础题目.
8．D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
9．A
【分析】先化简函数的解析式，再根据正切函数的单调性即可求解
【详解】因为，
当时，此时，所以，
当时，此时，所以，
因为在,上单调递增，
所以在上递增，在上递减，
故选：A
10．B
【分析】根据平方关系结合二倍角的正弦公式及降幂公式化简，再根据余弦函数的周期性即可得解.
【详解】解：
，
因为函数的最小正周期.
故选：B.
11．D
【分析】首先利用二倍角公式化简求出，再利用二倍角变形即可求得.
【详解】
，
故选：D
12．C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
13．A
【分析】化简为关于的二次函数，然后换元，分别求出单调区间，再利用单调性的性质即可判断每个选项
【详解】解：由题意，，
令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
而的单调增区间是，单调减区间是，
对于A，当时，单调递减，且，此时单调递减，所以是的一个单调增区间；
对于B，当时，单调递减，，此时不是单调函数，所以不是的一个单调增区间；
对于C，当时，单调递减，，此时单调递增，所以不是的一个单调增区间；
对于D，当时，单调递减，，此时单调递增，所以不是的一个单调增区间，则也不是的一个单调增区间；
故选：A
14．
【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
16．(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
答案第1页，共2页
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