资源简介

【第二练】5.7三角函数的应用
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题．
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展．
【目标分析】
1．利用三角函数模型解决物理问题，培养运算求解能力，如第5题；
2．能够灵活应用利用三角函数模型解决生活中的问题问题，培养建模能力，运算求解能力，如第10题．
（2023下·浙江宁波·高一统考期末）
1．据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y（单位：量）与时间t（单位：）满足如下函数关系式：（为常数，）.已知早上8：30（即）时的车流量为500量，则下午15：30（即）时的车流量约为（ ）（参考数据：，）
A．441量 B．159量 C．473量 D．127量
（2022下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）
2．健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg和60~89mmhg，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压（mmhg），为时间（min）．给出以下结论：
①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内
③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·江苏省南京市学情调研）
3．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ）
A． B． C．1s D．
（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）
4．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．一简谐运动的图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．该质点的振动周期为
B．该质点的振幅为
C．该质点在和时速度最大
D．该质点在和时加速度最大
（2023上·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）
6．如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为12
B．
C．时，过山车距离地平面40m
D．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s
（2024上·海南·高一统考期末）
7．已知某段电路中电流（单位：A）随时间（单位：）变化的函数解析式是，若时的电流为，则时的电流为 .
（2023上·广东揭阳·高三统考期中）
8．某时针的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标有12的点重合，将、两点间的距离表示成的函数，则 ，其中.
（2023上·福建·高三校联考期中）
9．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形的面积之比为，则 .

（2023下·贵州毕节·高一统考期末）
10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与时间之间的关系为.
①；
②点第一次到达最高点需要的时间为；
③在转动的一个周期内，点在水中的时间是；
④若在上的值域为，则的取值范围是；
其中所有正确结论的序号是 .
（2023·全国·高一随堂练习）
11．如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度为h（单位：cm），由下列关系式决定：，以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题

(1)小球开始振动时的位置在哪里？
(2)小球位于最高、最低位置时h的值是多少？
(3)经过多长时间小球振动一次（即周期是多少）？
(4)小球每1s能往复振动多少次（即频率是多少）？
（2023·全国·高一随堂练习）
12．已知某海滨浴场的浪高是时间（时）（）的函数，记作．下表是某日各时刻的浪高数据.经长期观测，可近似地看成是函数．
/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)根据以上数据，求出该函数的周期、振幅及函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，试依据（1）的结论，判断一天内8：00至20：00之间有多长时间可供冲浪者进行运动．
（2023上·高一单元测试）
13．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
条件①：的最小值为；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点.
(1)确定的解析式；
(2)若函数在区间上的最小值为，求的取值范围．
【易错题目】第11题
【复盘要点】三角函数在物理学中的应用最为广泛，借助物理知识渗透考查用数学知识求解问题的能力，其实质还是三角函数的图象与性质．
典例
（2023上·广东东莞·高二校考期中）
14．如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是（，，），则（ ）

A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3
C．第4秒该质点的位移为 D．当时，位移随着时间的增大而减小
【复盘训练】
（2023上·福建宁德·高一校考期末）
15．从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移与时间（单位：）的关系符合函数．从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片．已知连拍的间隔为，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，则小球正好处于平衡位置的所有照片的编号有（ ）
A．4 B．6 C．12 D．18
（2021上·高一课时练习）
16．（多选题）如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（　　）

A．该质点的运动周期为0.8 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
（2023·全国·高一随堂练习）
17．一个单摆如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为，α与摆动时间t（单位：s）之间的函数解析式为．求：
(1)最初时α的值；
(2)单摆摆动的频率；
(3)经过多长时间单摆完成5次完整摆动？
（2023上·甘肃白银·高一校考期末）
18．主动降噪耳机工作的原理：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同 相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线，其中振幅为，且经过点.
(1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
(2)求函数的单调递减区间与图象的对称中心.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】根据时的车流量为500求出，再求时的车流量可得答案.
【详解】由题意可得，可得，
解得，所以，
当时，
（量）.
故选：A.
2．C
【分析】根据所给函数解析式及正弦函数的性质求出的取值范围，即可得到此人的血压在血压计上的读数，从而判断①②③，再计算出最小正周期，即可判断④.
【详解】因为某人的血压满足函数式，
又因为，所以，即，
即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg，故①正确；
因为收缩压为mmhg，舒张压为mmhg，均超过健康范围，
即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；
对于函数，其最小正周期（min），
则此人的心跳为次/分，故④正确；
故选：C
3．D
【分析】先确定函数的一个周期，再解不等式求另一个周期，最后计算总时间即可.
【详解】由题意得，，故函数的周期为，，可得，令，解得，故总时间为，
综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为.
故选：D
4．D
【分析】由过点，得到，，再由它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，得到，进而得到，将代入求解.
【详解】解：因为过点，
代入得，
所以，则，
解得，.
所以，，
因为它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，
所以由图象知：，所以，
又因为，所以，
所以，
因为点M到y轴的距离为，即，
当时，，
所以，即点N的纵坐标为.
故选：D.
5．ACD
【分析】利用三角函数的物理应用分析即可.
【详解】周期为，故A错误；
由题中图象可知，振幅为，故B正确；
在最高点时，速度为零，加速度最大，故C，D错误．
故选：ACD．
6．ACD
【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求，根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式判断CD.
【详解】由题意可知，周期满足，得，
所以，得，又，解得，.
所以，又，即，得，因为，所以，所以.
对于A，，A正确；对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，由，得，即，，，解得，，
所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是，D正确.
故选：ACD.
7．
【分析】由题意得，结合角、平方关系以及二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】由题意，所以，
又因为，
所以，
所以时的电流为.
故答案为：.
8．
【分析】根据圆的几何性质，利用半径及即可表示.
【详解】如图，
设，过点作，垂足为，
则，即，
当时，，；
当时，，，
综上，，.
故答案为：.
9．##
【分析】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为，分别求得，结合，求得，利用同角三角函数基本关系得，结合两角差的余弦公式即可求解.
【详解】设大正方形的边长为，则直角三角形的直角边分别为，
则，
则，所以，
所以，因为，所以，
所以.
故答案为：.
10．①④
【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断①；根据旋转角度即可判断②和③；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断④.
【详解】对于①，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，
所以点距离水面的高度的最值为，所以，
因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，
因为，所以，
又因为，所以，故①正确；
对于②，由已知得，与轴正方向的夹角为，
所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故②错误；
对于③，在转动的一个周期内，点在水中转动，
则所需要的时间是，故③错误；
对于④，若在上的值域为，
则在上的值域为，
因为，所以，
所以，则，故④正确.
故答案为：①④
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案.
11．(1)位置在处，即平衡位置上方处；
(2)最高、最低位置时的分别为2，；
(3)
(4)每秒钟小球能往复振动次.
【分析】（1）根据函数的解析式，即可作出其一个周期上的图象，令，即可求得小球在开始振动（即）时的位置在哪里.
（2）根据函数的最大值和最小值，即可求得答案；
（3）求出函数的周期，即得答案；
（4）根据函数的频率为周期的倒数，即得答案.
【详解】（1）作出函数在一个周期的闭区间上的图象如图，

当时，，即小球在开始振动（即）时的位置在处，即平衡位置上方处；
（2）的最大值为2，最小值为，
则小球的最高、最低位置时的分别为2，；
（3）由于，故经过小球振动一次；
（4）每秒钟小球能往复振动次.
12．(1)；
(2)6个小时.
【分析】（1）根据表中数据可知，再根据最大值和最小值求出和，从而得解析式；
（2）解，得，再结合，可得的范围，从而得答案.
【详解】（1）解：由表中数据可知，的最大值为1.5，最小值为0.5，
所以，，，
所以；
（2）解：由（1）可知，
由，得，
所以，
所以，
因为，
所以，，
所以一天内从上午9点天下午3点共有6个小时可以冲浪.
13．(1)
(2)
【分析】（1）结合不同的条件组合，利用三角函数的性质，求函数的解析式；（2）根据（1）的结果求的范围，再根据三角函数的图象和性质，列出关于端点的不等式，即可求解.
【详解】（1）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期，
故，此时，
选条件①②：
因为的最小值为，所以.
因为图象的一个对称中心为，
所以,
所以，
因为，所以，
所以
选条件①③：
因为的最小值为，所以.
因为函数的图象过点，
即，即，
因为，所以，
所以
则，所以.
选条件②③：
因为函数的一个对称中心为，
所以
所以，
因为，所以，此时.
所以
因为函数的图象过点
所以，即，
即
所以，所以
（2）因为，所以，
函数在区间上的最小值为，
则，即，
所以的取值范围为.
14．BD
【分析】先根据函数图象求出函数解析式，结合选项逐个判定即可.
【详解】由图可知，时，，时，，所以,;
因为，所以或；
因为时，，所以，，所以或，；
由图可知周期满足，即，解得，所以，此时；
解析式为，该简谐运动的初相为，周期为，A不正确，B正确；
当时，，位移是，C不正确；
令，当时，，
结合的简图可得，在区间为减函数，D正确.
故选：BD.
15．BCD
【分析】首先分析出弹簧振子运动时的最小正周期，并求出的值，然后结合已知条件求出的值，令，可求出结果.
【详解】因为仅有第5张，第13张，第17张照片与第1张照片完全一样，
则弹簧振子运动时的最小正周期为，
则，所以，
由题意可知，，
所以，则，
所以，则，，则，
令，可得，所以，
令，则，由，可得，
因为，则，
当时，，对应第6张照片，
当时，，对应第12张照片，
当时，，对应第18张照片.
故选：BCD
16．ABD
【分析】利用三角函数图像性质求得质点的运动周期和振幅判断选项AB；利用简谐运动的特点判断该质点在0.1 s、0.5 s时运动速度是否为零判断选项CD.
【详解】由题图可知，运动周期为，故A正确；
该质点的振幅为5 cm，B正确；
由简谐运动的特点知，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C错误，D正确．
故选：ABD．
17．(1)
(2)
(3)s.
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）由解析式求周期，再求频率即可；
（3）根据周期直接计算即可.
【详解】（1）代入得；
（2）由解析式可知其周期；
（3）由（2）知该函数的周期为，故完成5次完整摆动需要s.
18．(1)，
(2)单调递减区间为，对称中心为
【分析】（1）利用函数的振幅可求得的值，由结合的值，可得出函数的解析式，再利用两个函数的图象关于轴对称可求得函数的解析式；
（2）求出函数的解析式，利用余弦型函数的对称性可求得函数的单调递减区间，利用余弦型函数的对称性可求得函数的对称中心坐标.
【详解】（1）解：因为函数的振幅为，且，则，所以，，
由题意可得，可得，
因为，则，所以，，解得，
所以，.
易知与的图象关于轴对称，所以，.
（2）解：由（1）知，
，
由，可得，
故函数的单调递减区间为.
令，可得，
故函数的图象的对称中心为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第二课】5.7三角函数的应用
题型一: 三角函数模型在物理中的应用
例1 已知交变电流与时间的关系为．
（1）如图所示的是在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式．
（2）如果在任意一段的时间内，电流都能取到最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少
【解】（1）由图知，最小正周期．
又当时，，即，∴．
又．故所求解析式为．
点透 充分利用图象信息，结合物理含义，确定三个量中的，再通过条件求解的值．
（2）依题意，周期，即，故所求最小正整数．
【方法总结】本题中的函数模型已经给出，观察图象并利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数的解析式．此类问题的解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的一般思路．
【变式训练1-1】
1．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（ ）
A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2
【变式训练1-2】
[上海嘉定区第一中学2022高一期中]
2．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动 次.
题型二: 三角函数在实际生活中的应用
例2. [陕西咸阳实验中学2022高一月考]健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．设某人的血压满足函数式，其中为血压为时间，试回答下列问题：
（1）求函数的最小正周期；
（2）求此人每分钟心跳的次数；
（3）求出此人的收缩压和舒张压及血压计上的读数，并与正常值比较．
【解】（1）函数的最小正周期．
（2）（次），所以此人每分钟心跳的次数为80．
（3），
即收缩压为，舒张压为，在血压计上的读数为，血压在正常范围内．
【方法总结】将实际问题与已知的三角函数解析式相联系，确定三角函数式中各量的实际含义，然后进行求解分析，解决实际问题．
【变式训练2-1】
3．如图，是自行车前轮外边沿上的一点，前轮半径为，若单车向前直行时（车轮向前顺时针滚动，无滑动），下列描述正确的是（ ）

A．点在前轮的左下位置，距离地面约为
B．点在前轮的右下位置，距离地面约为
C．点在前轮的左上位置，距离地面约为
D．点在前轮的右上位置，距离地面约为
易错点: 确定的值时因选用的点不当而致错
例 如图表示某海湾相对于平均海平面的水面高度（米）在某天时的变化情况，则水面高度（米）关于时间（时）的函数解析式为______．
【错解】设．
根据图象可知．∵图象过点，
∴可取，∴．
【错因分析】是下降零点，对应相位是．
【正解】设．
根据图象可知，∴．∵图象过点，
∴可取，
∴．
【答案】
易错警示：确定值的方法是选一个特殊点，找出对应相位，一般选最高点或最低点，若选择零点，需注意是上升零点还是下降零点，注意对应的相位．
针对训练:
4．如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m).
(1)求函数h＝f(t)的关系式；
(2)画出函数h＝f(t)(0≤t≤12)的大致图象.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】根据求解.
【详解】解：因为距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，
所以单摆来回摆动的振幅为3和一次所需的时间为，
故选：A
2．
【分析】求正弦型函数的频率.
【详解】函数，的周期，故频率为.
所以每秒钟小球能振动次.
故答案为：.
3．C
【分析】计算出点转过的弧度数，确定旋转后点的位置，即可得出结论.
【详解】自行车在向前直行的过程中，点在前轮上按照顺时针的方向在旋转，
点转过的弧度数为，
以前轮的圆心为原点，以向前的方向为的正方向，建立平面直角坐标系，
以轴的正半轴为始边，以射线的初始位置为终边的角为
则向前直行后，射线转到图中的位置，其中，

故点在前轮的左上位置，
距离地面约为.
故选：C.
4．（1）h＝f(t)＝－2cost＋2.5.（2）见解析
【分析】(1)根据题意建立坐标系，设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.设，则cos θ＝，y＝－2cos θ＋2，结合两式可得到函数表达式；（2）根据第一问的表达式可得到函数的周期，最值等条件，大致画出函数图像.
【详解】(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.
设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.
设∠OO1A＝θ，则cos θ＝，y＝－2cos θ＋2.
又θ＝×t，即θ＝t，
所以y＝－2cost＋2，
h＝f(t)＝－2cost＋2.5.
(2)函数h＝－2cost＋2.5(0≤t≤12)的大致图象如下.
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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