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【第二练】5.5.1课时1 两角和与差的正弦、余弦公式
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.直接利用两角和与差的正弦、余弦公式求解问题，培养数学运算，如第1题.
2.能逆用两角和与差的正弦、余弦公式，锻炼运算求解能力，如第2题.
3.利用两角和与差的正弦、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系解题，培养数学运算能力，如第4题.
4.能熟练应用两角和与差的正弦、余弦公式化简与证明，锻炼逻辑推理能力，如第13题.
（2020·高一课时练习）
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
（2020下·江苏徐州·高一统考期中）
2．（ ）
A． B． C． D．
（2023上·高一课时练习）
3．已知，，，是第四象限角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（2024上·河南郑州·高一统考期末）
4．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东省青岛市月考）
5．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·北京市丰台区期末）
6．古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过如图来构造无理数，记，，则（ ）

A． B． C． D．
（2023·广东省佛山市期末）
7．赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理．仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角，另一对直角三角形含有锐角（位置如图2所示）．借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）
8．已知角均在第一象限，终边上有一点，且，则 .
（2024上·广东广州·高一华南师大附中校考期末）
9．在中，，且，则 ．
10．已知，cos(α-β)=,sin(α+β)= ,那么sin2α= .
11．的值为 .
12．已知则的值是 ．
13．已知,求证:.
【易错题目】第5，10题
【复盘要点】两角和与差的正弦、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系的综合应用，一是注意准确选用公式，二是注意三角函数值的符号.
典例 （2023上·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）在中，，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】讨论分别为钝角、锐角的情况，然后根据同角的三角函数关系式以及两角差的正弦公式求解出的可能值.
当均为锐角时，
所以，
所以；
当为钝角，为锐角时，
此时，且，
所以，即，符合要求，
所以，
；
当为锐角，为钝角时，
此时，且，
所以，即，不符合要求；
显然不可能同为钝角，
综上可知的值可能是，，
故选：BD.
【复盘训练】
14．若，是第三象限的角，则
A． B． C． D．
（2023·陕西省榆林市月考）
15．已知sin＝，∈，则cos的值为 ．
（2023下·高一课时练习）
16．已知，，则 ．
（2021·高一课时练习）
17．在中， ，且，则的值是 .
（2023上·高一课时练习）
18．已知，，，，则 ， .
19．已知，且为锐角，则的值为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故选：C
2．D
【分析】根据两角和的正弦公式和特殊角三角函数求解.
【详解】.
故选：D.
3．C
【分析】运用同角三角函数平方关系及差角的余弦公式计算即可.
【详解】由已知得，，
则.
故选：C.
4．A
【分析】根据诱导公式、同角三角函数关系及两角和余弦公式求解即可.
【详解】由诱导公式得，因为，，
所以，
所以.
故选：A
5．C
【解析】利用三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的最值，即可求得结果.
【详解】原式
，所以函数的最小值为.
故选：C
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式以及求函数的最值，属综合基础题.
6．B
【分析】根据题意，利用直角三角形中的边角关系，两角和余弦公式，求得的值，即可求解.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：B.
7．B
【分析】表示出直角三角形的边长，继而表示出面积，求得中间矩形的面积，根据菱形面积等于四个直角三角形面积加上中间矩形面积，化简可得答案.
【详解】由图形可知：含锐角的直角三角形两直角边长为 ，
含锐角的直角三角形两直角边长为 ，
故菱形的面积为 ，
不妨假设 ，
中间长方形的面积为 ，
故 ，
即，
故选：B
8．
【分析】根据终边上点的坐标可得，然后再利用余弦两角和公式，从而求解.
【详解】根据终边上点的坐标可得，得：
化简得：
所以：.
故答案为：.
9．
【分析】将设为，然后把角都用表示，展开求解.
【详解】设，则，因为，
所以.
由已知可得
所以
所以，解得或（舍）
故答案为：
10．
【详解】试题分析：∵，∴，，又cos(α-β)=,sin(α+β)= ,∴，，∴sin2α=
考点：本题考查了两角和差的正余弦公式
点评：熟练运用两角和差的正余弦公式及同角关系是此类问题常用方法，属基础题
11．4
【解析】利用诱导公式、辅助角公式以及二倍角公式化简即可求解.
【详解】
.
故答案为：4
【点睛】本题考查了诱导公式、辅助角公式以及二倍角公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题.
12．
【分析】由已知等式可得，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，从而可得结果.
【详解】因为，
所以，
，
故答案为.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围确定角．
13．见解析
【解析】令，，则，，代入，得到的关系，再代入化简即可.
【详解】证明:设，，则，.
由，得，即.
，
，
即.
【点睛】本题主要考查了利用平方关系化简证明，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．B
【分析】先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值.
【详解】是第三象限角，，且，
因此，，
故选B.
【点睛】本题考查两角和的正弦公式计算三角函数值，解题时充分利用同角三角函数的基本关系进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.
15．##
【详解】∵sin＝，∈，
∴cos＝－，
∴cos＝coscosα＋sinsinα＝×＋×＝.
故答案为
16．
【分析】首先根据正余弦的平方关系求出的值，再利用余弦两角和公式化简，把得到的，代入即可．
【详解】，，
，
故答案为：.
17．
【分析】由同角三角函数的基本关系求出、，再根据及两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为在中，，可知为锐角，
所以，
因为，可知B也为锐角，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
18．
【分析】由同角三角函数的关系及两角和的正弦余弦公式即可求解.
【详解】由题意,因为，则,
因为，则，
所以
同理，
故答案为：；
19．##45°
【分析】由题先求出的值，再求出的值，再利用的范围求出角即可．
【详解】为锐角，，
，
，
为锐角，，
故答案为：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第二课】5.5.1课时1 两角和与差的正弦、余弦公式
题型一: 给角求值
例1. 求值：．
【解】
．
【方法总结】当题目中含多个非特殊角时，注意观察这些角之间的关系，特别是可以考虑能否与某些特殊角建立联系，从而通过角的变换减少角的个数，实现求解．
【变式训练1-1】
1．等于
A． B． C． D．
【变式训练1-2】
2． .
题型二: 给值求值
例2. 已知，都是锐角，且，，求的值．
【思路分析】
通过角的变换，求的值，为此需要已知和各自的正、余弦值，然后运用两角差的余弦公式求解．
【解】因为是锐角，且，所以．
因为，都是锐角，所以．
又，所以．
所以．
点透 观察已知式中的角与所求表达式中角的关系，通过角的变换，再利用和角或差角公式求解．
【方法总结】
在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角等技巧，同时分析角之间的关系，利用角的变换化异角为同角．具体做法：
（1）当条件中有两角时，一般把所求角表示为已知两角的和或差；
（2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
【变式训练2-1】
（2023上·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考期中）
3．已知，均为锐角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】
4．若，是第三象限的角，则
A． B． C． D．
【变式训练2-3】
（2023上·高一课时练习）
5．若，是第三象限的角，则＝ .
题型三: 给值求角
例3.已知，且，，求的值．
【思路分析】
求角的问题可以转化为求角的某个三角函数值的问题，再结合角的范围求角．由，可求，又由可得，最后求得的值．
【解】因为，，且，
所以，
，
所以
．
因为，
所以，所以．
【方法总结】
（1）解决给值求角问题的一般步骤：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出符合要求的角．
（2）在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的三角函数．
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正弦或余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正弦、余弦函数皆可；若角的范围是，选余弦函数较合适；若角的范围是，选正弦函数较合适．
【变式训练3-1】
6．已知，为锐角，且，，则 ．
【变式训练3-2】
（2023下·高一课时练习）
7．设，均为钝角，且，，则的值为 .
题型四: 三角函数式的化简与证明
例4.已知，求证：．
【思路分析】
观察条件与结论间的差异可知：
①函数名称间的差异是正切与正弦，可考虑切化弦，实现化异为同；
②角的差异是，，与，通过观察可得已知角与未知角之间的关系为，，由此可以化异为同．
【证明】由已知得，．
又，
，
∴．
【方法总结】
（1）证明三角恒等式的思路：观察等式两端的结构形式，本着从复杂到简单，高次到低次，复杂角化简单角的原则进行处理，若等式的两端都比较复杂，则将两端都化简，采用两端向中间凑的原则处理．
（2）证明三角恒等式的方法：
①证明等式的一边等于另一边，相当于化简；
②从两边着手，证明等式的左、右两边等于同一个数或式子；
③比较法：作差（或作商），左边－右边＝0（或，右边≠0）；
④分析法：从要证明的等式出发，一步步寻求使等式成立的条件．
（3）在证明三角恒等式的过程中，应注意：
①强化“目标”意识，就是在证明过程中，应盯住目标，逐步向它靠拢；
②强化“化异为同”意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次，这就需要找到待化简的三角函数式与目标函数式之间的差异及联系，再利用三角函数公式进行恒等变换，使之相互转化，常用方法有直推法、代入法、换元法等．
【变式训练4-1】
8．化简．
【变式训练4-2】
9．求证：．
【变式训练4-2】
（2023·上海·高一校考期中）
10．求证：.
易错点1 忽略角的范围致误
例1 在中，，，则______．
【错解】因为，所以．
因为，所以．
又，
当时，；
当时，．
【错因分析】若取，则，与三角形内角和定理相矛盾，错解中没有注意到这一隐含条件．
【正解】因为，所以，．
又因为，所以或．
若，则，与三角形内角和定理相矛盾，
所以，所以，
所以．
【答案】
易错警示
对于求值、求角问题，应尽量缩小角的范围．缩小角的范围大致可从以下四个方面考虑：①利用已知角的范围确定所求角的范围；②利用三角函数值的符号确定所求角的范围；③利用三角函数值的大小进一步缩小所求角的范围；④利用题干中隐含的条件确定所求角的范围．
针对训练1-1:
11．已知，，且，则
A． B． C． D．
针对训练1-2:
12．已知锐角三角形中，三内角A，，分别对应三边，，．若，则的取值范围为 ．
易错点2 求角时选择的三角函数类型不当致误
例2 已知，，和都是锐角，则（ ）
A． B． C．或 D．
【错解】因为和都是锐角，且，，
所以，，
所以．
又因为，所以或．故选C．
【错因分析】上述错解中根据的正弦值得到了两个结果，但没有根据条件进一步缩小角，的取值范围．
本题已知，若选用的余弦值即可避免多解，也可减少对角的取值范围的进一步探求．
【正解】因为和都是锐角，且，，
所以，，
所以．
又因为，所以．
【答案】A
易错警示
已知三角函数值求角时，先根据题目中的条件确定角的范围，由角的范围确定是求角的正弦值、余弦值还是正切值，尽量使所选的三角函数在已确定的范围内无需进一步讨论角的范围．如若已知，求的余弦值或正切值比较合适；若已知，求的正弦值或正切值比较合适．
针对训练2-1:
13．已知，，且和均为钝角，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由展开求解即可.
【详解】故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式及两角和的余弦展开，属于基础题.
2．
【分析】利用展开计算即可
【详解】.
故答案为：.
3．C
【分析】首先求出，，再由两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为，均为锐角，且，，
所以，，
所以.
故选：C
4．B
【分析】先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出的值.
【详解】是第三象限角，，且，
因此，，
故选B.
【点睛】本题考查两角和的正弦公式计算三角函数值，解题时充分利用同角三角函数的基本关系进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.
5．
【分析】利用同角公式、差角的正弦公式求解作答.
【详解】因为，是第三象限的角，则，
所以.
故答案为：
6．
【分析】先根据题目范围可得到的范围以及的值，再根据的范围求出，即可得出的值．
【详解】因为，且，，
所以，，．
故，
由于，
所以．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查给值求角问题的解法，解题关键是根据角度的范围计算恰当的三角函数值，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
7．
【分析】先求出和，再运用两角和公式求解.
【详解】∵ ， ，且，，，
∴.
∵ ，∴ ；
故答案为：.
8．
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简即得.
【详解】原式．
9．证明见解析
【分析】利用证明等式成立方法及两角差的正弦公式即可.
【详解】证明：左边
右边，
所以原式成立．
10．证明见解析
【分析】将要证等式等价转化后，根据后项角的特点考虑按照进行拆角，合并同类项后逆用两角差的正弦公式化简即得.
【详解】证明：因为，要证，即要证.
由
,
故成立.
11．D
【分析】利用同角三角函数之间的关系求出，再利用求解即可.
【详解】 ，，且，
，
，
，故选D.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
12．
【分析】根据三角形内角关系以及三角恒等变换整理得，注意到，结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】因为，则，即，
则
，
由于为锐角三角形，所以，解得，
则，可知，
所以的取值范围为．
故答案为：.
13．D
【分析】根据同角三角函数的关系分别求解，再结合两角和的余弦公式，结合角度大小判断即可.
【详解】∵和均为钝角，
∴，．
∴．
由和均为钝角，得，∴．
故选：D
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