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【第二练】5.5.1课时2 两角和与差的正切公式
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.会用两角和与差的正切公式求角、求值，培养数学运算，如第1，4题.
2.能熟练应用两角和与差的正切公式化简、证明，锻炼逻辑推理能力，如第12，13题.
（2024上·天津宁河·高一统考期末）
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一课时练习）
2．若，，则＝（ ）
A． B． C．－ D．－
（2024上·陕西榆林·高一统考期末）
3．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
（2024上·山西太原·高三统考期末）
4．已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一课时练习）
5．的值为（ ）．
A． B． C． D．
（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）
7．已知，则 .
（2023上·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）
8．若，则 ．
（2021上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）
9．若，则＝ ．
（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）
10．已知非直角三角形中，满足，，则 ， .
（2023上·高一课时练习）
11．已知都是锐角，且，则 .
（2024上·河南新乡·高三新乡市第一中学校考阶段练习）
12．计算下列各式的值：
(1)
(2)
（2024下·上海·高一假期作业）
13．在锐角中，求证：
(1)；
(2).
【易错题目】第5，8，12题
【复盘要点】三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β（或tan α－tan β），tan（α＋β）（或tan（α－β））三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
典例 （2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知角，且，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据两角差的正弦、余弦、正切公式化简求解即可.
【详解】因为，
所以，，，
又，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
【复盘训练】
（2023上·四川成都·高三校考期中）
14．已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）
15．已知，满足，则 ．
（2023上·河南·高三统考阶段练习）
16．已知为锐角，，则 ．
（2023上·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）
17．若为锐角，且，则的最小值为 .
（2023下·四川眉山·高一校考期中）
18．化简求值：
(1)；
(2)化简证明：
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由两角差的正切公式求解.
【详解】，解得.
故选：B
2．A
【分析】由正切的和角公式求出，进而利用同角三角函数关系求出正弦.
【详解】由可得，解得，
即，，
又，故，
又，所以.
故选：A
3．C
【分析】首先根据三角函数的定义，求解的值，根据的值，结合两角差的正切公式，即可求解.
【详解】由三角函数的定义可知，，得，
所以角终边上一点为，，
.
故选：C
4．C
【分析】求得，然后结合角范围可得．
【详解】由已知，
，∴．
故选：C．
5．B
【分析】利用两角和的正切公式推得，从而得，依次类推，即可求得的值，即得答案.
【详解】因为，故，
即，
所以，
同理，，，
故，
故选：B
6．D
【分析】利用诱导公式求出，再由及两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故选：D
7．
【分析】根据和差公式和同角三角函数基本关系计算即可.
【详解】因为，所以，
.
故答案为：-1.
8．
【分析】利用两角和、差的正弦公式以及两角差的正切公式求解.
【详解】由可得，
，
得，
即，
所以，
故答案为: .
9．0
【分析】利用两角和差的正弦、余弦、正切公式进行化简，代入求值即可.
【详解】解：因为，
所以，
可得，可得即，
则.
故答案为：0．
10． ## ##
【分析】由已知及三角形内角和的性质得，然后利用两角差的正切公式求得或，再结合角的范围求出，进一步求出，即可解答.
【详解】由题意知，所以，，
又即，所以，
所以，解得或，
又，所以，所以，所以，
所以，所以.
故答案为：；
11．
【分析】利用两角和的正切公式先求出，再求出，从而可求出的值.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：
12．(1)
(2)
【分析】（1）利用正切的两角和公式化简求值；
（2）利用正弦的两角差公式、二倍角公式，以及三角函数的诱导公式求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
所以.
（2）
.
13．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用锐角，通过内角和与两角和的正切公式结合将转化成从而得证；
（2）对左式提取，对运用两角和的正切公式转化，再利用锐角将转化为即可得证.
【详解】（1）由，且在锐角中，故，
两边取正切得： ，即，
整理得，故原式成立.
（2）在锐角中，有，则，
则，
又，
则左式
右式.
故原式成立.
14．D
【分析】由，结合和角正切公式求得，再利用和角正弦公式结合弦化切即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D.
15．
【分析】根据题意结合两角和差公式整理得，进而可得结果.
【详解】因为，
即，整理得，即，
所以．
故答案为：．
16．
【分析】根据给定条件，求出，再利用二倍角、差角的正切公式求解即得.
【详解】由，得，解得，，
由为锐角，，知，，
于是，所以.
故答案为：
17．
【分析】利用两角和的正切公式结合基本不等式求解即可
【详解】因为为锐角，且，
所以，所以，
所以，
因为，
即，当且仅当，即时取等号，
所以，
因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，即得解；
（2）利用二倍角公式和同角三角函数关系化简证明即可.
【详解】（1）因为，
所以，
所以.
（2）证明：因为
，
所以
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页【第二课】5.5.1课时2 两角和与差的正切公式
题型一: 给角求值
例1.＝（ ）
A． B．
C．1 D．－
【答案】A
【解析】原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝．故选A.
【方法总结】当题目中含多个非特殊角时，注意观察这些角之间的关系，特别是可以考虑能否与某些特殊角建立联系，从而通过角的变换减少角的个数，实现求解．
【变式训练1-1】
1．tan975°=（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】
2． .
题型二: 给值求值
例2.（2023上·高一课时练习）设，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件先求出的值，再利用两角差的正切公式可求得答案
【详解】因为，所以，
所以，
由，得，
所以，
故选：C
点透 观察已知式中的角与所求表达式中角的关系，通过角的变换，再利用和角或差角公式求解．
【方法总结】在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角等技巧，同时分析角之间的关系，利用角的变换化异角为同角．具体做法：
（1）当条件中有两角时，一般把所求角表示为已知两角的和或差；
（2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
【变式训练2-1】（福建福州一中2022高一期末）
3．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．
【变式训练2-2】
4．若，则 .
题型三: 给值求角
例3.已知，．若，，则的值为 ．
【答案】
【解析】因为，，所以，
又因为，所以，故
【方法总结】
（1）解决给值求角问题的一般步骤：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出符合要求的角．
（2）在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的三角函数．已知正切函数值，选正切函数．
围是，选余弦函数较合适；若角的范围是，选正弦函数较合适．
【变式训练3-1】
5．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】
6．在中，，，则角 .
【变式训练3-3】
7．已知，，且，是方程的两根，则的值为 ．
题型四 三角函数式的化简与证明
例4.已知，求证：．
【思路分析】观察条件与结论间的差异可知：
①函数名称间的差异是正切与正弦，可考虑切化弦，实现化异为同；
②角的差异是，，与，通过观察可得已知角与未知角之间的关系为，，由此可以化异为同．
【证明】由已知得，．
又，
，
∴．
【方法总结】
（1）证明三角恒等式的思路：观察等式两端的结构形式，本着从复杂到简单，高次到低次，复杂角化简单角的原则进行处理，若等式的两端都比较复杂，则将两端都化简，采用两端向中间凑的原则处理．
（2）证明三角恒等式的方法：
①证明等式的一边等于另一边，相当于化简；
②从两边着手，证明等式的左、右两边等于同一个数或式子；
③比较法：作差（或作商），左边－右边＝0（或，右边≠0）；
④分析法：从要证明的等式出发，一步步寻求使等式成立的条件．
（3）在证明三角恒等式的过程中，应注意：
①强化“目标”意识，就是在证明过程中，应盯住目标，逐步向它靠拢；
②强化“化异为同”意识，即化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次，这就需要找到待化简的三角函数式与目标函数式之间的差异及联系，再利用三角函数公式进行恒等变换，使之相互转化，常用方法有直推法、代入法、换元法等．
【变式训练4-1】（2023·高一课时练习）
8．计算 .
【变式训练4-2】（2023下·高一课时练习）
9．证明下列恒等式.
（1）；
（2）.
【变式训练4-3】（2023·高一课时练习）
10．已知，证明：.
易错点：忽略角的范围而致误
例 已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝____．
【错解】由于tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，
又α∈(0，π)，∴α∈(0，)．
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1，
而β∈(，π)，∴2α－β∈(－π，π)
∴2α－β＝－π或．
【正解】由于tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，
又α∈(0，π)，所以α∈(0，)，
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1，
而β∈(，π)，所以2α－β∈(－π，0)，
故2α－β＝－．
易错警示：注意题设隐含条件的挖掘，个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．
针对训练1-1
11．若，且，，则 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【详解】利用诱导公式以及两角和的正切公式即可求得答案.
【分析】,
故选:D．
2．##
【分析】利用正切的和角公式即可求出结果.
【详解】因为，
故答案为：．
3．B
【分析】先求出，再求出，最后可求.
【详解】因为，故，
因为，故，而，
故，所以，
故，
所以，
故选：B
4．##
【分析】利用两角和的正切公式求出，然后用同角三角函数的关系式即可求解
【详解】因为，所以，
因为，所以，
故答案为：
5．C
【分析】化切为弦结合两角和的余弦公式、诱导公式以及余弦函数的单调性即可求解.
【详解】因为，
所以，
即，
因为，，所以，，
因为在上单调递减，所以，
即，
故选：C.
6．
【分析】根据条件，利用正切的和角公式得到，再根据的范围，即可求出结果.
【详解】因为，，
所以，
又，得到,
又，所以，
故答案为：.
7．
【分析】由根与系数的关系得，，因此，．得，由两角和的正切公式求解.
【详解】因为，是方程的两根，
所以，，因此，．
又，所以，所以，
则，因此．
故答案为：
8．
【分析】根据两角差的正切公式求得正确答案.
【详解】
.
故答案为：
9．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）从左边开始，利用两角和与差的正切公式，结合平方差公式化简运算即可得到右边；
（2）根据，利用两角和的正切公式展开右边，并去分母整理得到，然后对要证等式的左边进行替换，并整理化简即得到右边.
【详解】左边
右边，
原等式成立.
（2）∵，
∴，
∴.
∴原式成立.
【点睛】本题考查利用两角和差的正切公式证明三角恒等式，关键难点是第二问中的证明中对两角和差正切公式的灵活运用，,是十分方便的一个变形公式，可以直接使用.
10．证明见解析
【分析】左式可借鉴万能公式的推导方法，分母凑一个，代入求值；右式利用，逆用正切的和角公式，即可求证
【详解】因为，
所以左边，
右边，所以左边右边，所以原等式成立.
【点睛】本题考查三角恒等式的证明，要善于分析式子的特征，分析角与角之间的关系，并能灵活运用公式，证明时可同时左右化简，属于中档题
11．
【分析】由已知得，进而求得，再利用角的范围即可求解
【详解】因为，所以，所以.又，，所以，故.
故答案为
【点睛】本题考查两角和与差的正切公式的逆用．考查考生的灵活变通能力，是基础题
答案第1页，共2页
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