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2.2.1 直线的点斜式方程【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.求直线的点斜式方程，培养直观想象和数学运算素养，如第1题、第3题、第4题、第9题、第13题、第14题；
2.考查直线斜截式方程，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第2题、第7题、第8题、第15题；
3.直线点斜式和斜截式方程的综合应用:平行与垂直的判定、过定点、截距应用，培养逻辑推理和数学运算能力，如第5题、第6题、第10题、第11题、第12题、第16题、第17题；
一、填空题
（2023·广西玉林高一期中）
1．经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是 ．
（2023·福建三明高二期中）
2．已知直线l的方程为则l在y轴上的截距为 .
（2023·广东梅州高二期中）
3．若直线：的斜率为1，则实数
（2023·江西上饶高二期中）
4．直线的倾斜角是 ．
（2023·安徽铜陵高二期中）
5．若直线与直线垂直，则 .
（2023·四川泸州高二期中）
6．已知直线过点且与直线垂直，则的点斜式方程为 ..
（2023·湖北黄石高二期中）
7．直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若直线l在y轴上的截距为6，则a＝ ．
（2023·山东潍坊高二期中）
8．已知直线在轴上的截距为，且它的倾斜角为，则 .
（2023·湖南邵阳高二期中）
9．已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ．
【点睛】关键点点睛：掌握斜率的定义和直线方程的点斜式是本题的解题关键.
（2023·山东泰安高二期中）
10．不论m为何实数，直线mx－y＋3＝0 恒过定点 （填点的坐标）
（2023·福建莆田一中高二月考）
11．若直线的斜率k与直线在y轴上的截距b相等，则该直线一定经过的点是 .
（2023·河北张家口高二期中）
12．直线l过点(3,2)，且与直线及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形．则直线l的方程为 ．
二、解答题
13．根据下列条件，分别写出直线的方程：
(1)经过点，斜率为3；
(2)经过点，斜率为；
(3)经过点，斜率为0；
(4)斜率为，在y轴上的截距为；
(5)斜率为，与x轴交点的横坐标为.
14．已知直线过点和．
（1）求直线的点斜式方程；
（2）将（1）中的直线的方程化成斜截式方程，并写出直线在轴上的截距．
（2023·山西大同高二期中）
15．已知平面内两点，.
（1）求线段的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程.
（2023·内蒙古包头高二期末）
16．已知的三个顶点分别为，，.
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程.
（2023·福建福州三中高二月考）
17．已知直线的方程为y＝－2x＋3.
(1)若直线与平行，且过点，求直线的方程；
(2)若直线与垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程．
【易错题目】第7题 、第11题、第17题
【复盘要点】 注意 “截距”与“距离”的区别
【典例】（2023·福建省南平市期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 C．或
学审题： 分两种情况讨论：当直线过原点时，斜率为，由点斜式写出直线的方程；当直线不过原点时，设直线的方程是：，把点代入方程求解即可.
C
当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是．
当直线不过原点时，设直线的方程是：，
把点代入方程得，
所以直线的方程是.综上，所求直线的方程为或.
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线的方程的求法，还考查了分类讨论的思想方法.
【归纳总结】
直线在y轴上的截距并不是距离，而是直线与y轴交点的纵坐标，它是一个数值，可正可负，可为零. 当截距为非负数时，它等于交点到坐标原点的距离，当截距为负数时，它等于交点到坐标原点距离的相反数.
【复盘训练】
（2023·福建三明高二期中）
18．与两坐标轴围成的三角形面积为4，且斜率为的直线l的方程为 ．
（2023·山东潍坊高二期中）
19．写出下列直线的斜截式方程：
(1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2；
(2)直线过点（3，1）且在y轴上截距是-1.
（2023·江西上饶高二期中）
20．根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)倾斜角为60°，与轴的交点到坐标原点的距离为3；
(2)在y轴上的截距为，且与y轴夹角为60°.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】由点斜式求得方程，化为一般式即可.
【详解】由题知，直线斜率为，
则直线点斜式方程为：
故答案为：
2．
【分析】只需把直线方程转化成斜截式方程即得.
【详解】由可得：，∴l在y轴上的截距为.
故答案为：.
3．
【分析】根据直线的一般式方程与斜率公式求解.
【详解】因为直线的斜率为1，所以解得，
故答案为:3.
4．
【分析】将直线方程化为斜截式，再利用诱导公式得到直线的斜率，从而得解.
【详解】解：直线，即，
即，即，即，
所以直线的斜率，则直线的倾斜角为.
故答案为：
5．
【分析】利用斜率相乘为可求.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得.
故答案为：.
6．
【解析】首先根据题意得到的斜率为，再利用点斜式写出直线方程即可.
【详解】因为直线的斜率为，所以的斜率为，
故的点斜式方程为：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程，同时考查了两直线的位置关系，属于简单题.
7．
【分析】令x=0，则y=2（a﹣1）+a=6，解得即可．
【详解】令x=0，则y=2（a﹣1）+a=6，
解得a=．
故答案为．
【点睛】本题考查了直线的截距，属于基础题．
8．2
【分析】根据截距求，根据倾斜角和斜率关系求即可.
【详解】因为直线在轴上的截距为，
所以，所以，
则直线方程可化为，
又因为直线倾斜角为，所以，
所以.
故答案为：2
9．
【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果.
【详解】设的中点为，则，
又斜率，
所以直线的点斜式方程为．
故答案为：
10．
【分析】将方程变形成点斜式可得.
【详解】将直线变形为，由直线方程的点斜式可知直线过定点.
故答案为：
11．
【分析】设直线方程为，由得直线恒过定点.
【详解】设直线方程为，，
，当时，，
∴直线一定经过点.
故答案为：.
12．
【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用直线点斜式方程列式作答.
【详解】因直线l与直线及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，则直线l与直线的倾斜角互补，
于是得直线l的斜率为，直线l的方程为，即，
所以直线l的方程为.
故答案为：
13．(1) ；
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据直线的点斜式方程和斜截式方程依次求解即可.
【详解】（1）因为直线过点，斜率为3，
由直线的点斜式方程可得直线方程为：，
即；
（2）因为直线过点，斜率为，
由直线的点斜式方程可得直线方程为：，
即；
（3）因为直线过点，斜率为，
由直线的点斜式方程可得直线方程为：，
即；
（4）因为直线在y轴上的截距为，斜率为，
由直线的斜截式方程可得直线方程为：；
（5）因为直线与x轴的交点的横坐标为，
所以该点的坐标为，又斜率为，
由直线的点斜式方程可得直线方程为：，
即.
14．（1）（或）；（2）；直线在轴上的截距为．
【分析】（1）根据直线斜率公式求出直线斜率再根据点斜式方程求法直接写出答案；
（2）将所求的点斜式方程化为斜截式方程，令则可求出直线在轴上的截距.
【详解】（1）直线的斜率，
故直线的点斜式方程为（或）．
（2）由得，
所以直线的斜截式方程为，
当时，，所以直线在轴上的截距为．
15．（1）；（2）.
【分析】（1）利用中点坐标公式以及两直线垂直时斜率间的关系即可得到中垂线方程；
（2）利用平行直线斜率相等以及点斜式即可得到直线的方程.
【详解】（1）因为，，所以线段中点，
因为，所以线段的中垂线的斜率为，
所以线段的中垂线方程为：，即；
（2）因为直线与直线平行，所以，又因为过，
所以直线的方程为：，即.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解；
（2）求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解.
【详解】（1）由题意得，且，所以.
则边上的高所在直线的方程为，化简得.
（2）由题知的中点，所以，
则边上的中线所在直线的方程为，化简得.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）设的方程为，代入点得出所求方程；
（2）设的方程为，求出在坐标轴上的交点，进而由面积公式得出.
【详解】（1）由直线与平行，可设的方程为，
将代入，得，
即得，所以直线的方程为
（2）由直线与垂直，可设的方程为，
令，得，令，得，
故三角形面积，
所以，解得，所以直线的方程是或
18．
【分析】由已知设直线方程为，从而可得直线的截距为，进而有，解方程可得b的值.
【详解】设直线l的方程为，
令，可得；令，可得；
由题意可得：，解得，
所以直线l的方程为.
故答案为：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）运用斜截式直线方程求解；
（2）运用两点式直线方程求解.
【详解】（1）斜率，截距，；
（2）等价于直线过两点，直线方程为 ，即；
综上，（1），（2）.
20．(1)或
(2)
【分析】（1）（2）根据倾斜角可得斜率，即可由斜截式求解方程.
【详解】（1）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率.
因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距或，
故所求直线的斜截式方程为或.
（2）与y轴夹角为60°的直线倾斜角为30°或150°，所以斜率k为或，即，
又直线在y轴上的截距为，
故所求直线的斜截式方程为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2.2.1 直线的点斜式方程【第一课】
[课标要求]
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.
[明确任务]
1.直线方程的两种形式及应用. （数学建模）
2.直线方程的两种形式的推导及应用. （逻辑推理）
1.斜率的概念及计算公式、直线的方向向量；
2.方程思想及建立方程的一般步骤.
核心知识点1 直线的点斜式方程
1.方程y－y0＝k（x－x0）由直线上一定点及其斜率确定，我们把这个方程叫作直线的点斜式方程，简称点斜式.
2.特别地，当k＝0时（如图1），过P0（x0，y0）的直线可以写成y＝y0；当k不存在时（如图2），过P0（x0，y0）的直线可以写成x＝x0.
提示：（1）经过点P0（x0，y0）的直线有无数条，可分为两类：
①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k（x－x0）；
②斜率不存在的直线，方程为x＝x0.
（2）＝k与y－y0＝k（x－x0）是不同的，前者缺少一个点（x0，y0），后者才是整条直线.
例1. 写出下列直线的点斜式方程：
（1）过点A（－4，3），斜率k＝3；
（2）经过点B（－1，4），倾斜角为135°；
（3）过点C（－1，2），且与y轴平行；
（4）过点D（2，1）和E（3，－4）.
【答案】见解析
【解析】（1）由点斜式方程可知，所求直线方程为：
y－3＝3[x－（－4）].
（2）由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为
y－4＝－[x－（－1）].
（3）∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，
∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，
故这条直线的方程为x＝－1.
（4）∵直线过点D（2，1）和E（3，－4），
∴斜率k＝＝－5，
故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5（x－2）.
归纳总结 求直线的点斜式方程
1.求直线的点斜式方程的思路
2.点斜式方程y－y0＝k（x－x0）可表示过点P（x0，y0）的所有直线，但x＝x0除外.
【举一反三】
1．在平面直角坐标系中，下列三个结论：
①每一条直线都有点斜式方程；
②方程与方程可表示同一条直线；
③直线过点，倾斜角为，则其方程为.
其中正确结论的序号为 .
2．经过点，且倾斜角为的点斜式直线方程为 .
3．已知过定点的直线m的一个方向向量是，则直线m的点斜式方程为 .
核心知识点2 直线的斜截式方程
1. 我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距.方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程y＝kx＋b叫作直线的斜截式方程，简称斜截式.
2.y＝kx＋b中k和b均有明显的几何意义，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
提示：　（1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
（2）截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.
（3）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线，直线的方程就是函数解析式，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，直线在x轴上的截距是－.
例2. 写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；
（2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
（3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【答案】见解析
【解析】 （1）由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
（2）∵倾斜角α＝150°，
∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
（3）∵直线的倾斜角为60°，
∴其斜率k＝tan 60°＝.
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3.
归纳总结 直线的斜截式方程的求解策略：
（1）求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可.
（2）当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程.
【举一反三】
4．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
核心知识点3 直线方程的应用
考向1 直线方程与平行、垂直
例3. 求经过点M（－1，2），且满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点P（1，3）；
（2）与直线2x＋y＋5＝0平行；
（3）与直线2x＋y＋5＝0垂直.
【答案】见解析　
【解析】（1）由已知得直线经过点M（－1，2），
∵直线还经过点P（1，3），
则所求直线斜率为k＝，
故方程为y－3＝（x－1）. 即x－2y＋5＝0.
（2）根据所求直线与直线2x＋y＋5＝0平行，
可设它的方程为2x＋y＋m＝0，
再把点M（－1，2）代入，可得－2＋2＋m＝0，解得m＝0，
故所求的直线的方程为 2x＋y＝0.
（3）根据所求直线与直线2x＋y＋5＝0垂直，
可设它的方程为x－2y＋n＝0，
再把点M（－1，2）代入，可得－1－4＋n＝0，解得n＝5，
故所求的直线的方程为x－2y＋5＝0.
归纳总结 两条直线平行和垂直的判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
（1）若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2，所以有l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2.
（2）若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2. 所以有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
提醒：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件.
【举一反三】
6．已知直线和互相垂直，则 .
7．若直线与直线互相平行，则 ．
8．经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为 ；与直线垂直的直线的点斜式方程为 .
考向2 “截距”的应用
例4.倾斜角为120°且在y轴上的截距绝对值为2的直线方程为（　　）
A.y＝－x＋2 B.y＝－x－2
C.y＝x＋2 D.y＝x－2
【答案】AB
【解析】由倾斜角为α＝120°得k＝tan α＝tan 120°＝－，
又纵截距为±2，故y＝－x±2，选AB.
归纳总结 “截距”与“距离”的区别
直线在y轴上的截距并不是距离，而是直线与y轴交点的纵坐标，它是一个数值，可正可负，可为零. 当截距为非负数时，它等于交点到坐标原点的距离，当截距为负数时，它等于交点到坐标原点距离的相反数.
【举一反三】
9．已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在y轴上的截距为b，则b等于（　　）
A．－2 B．2
C．－5 D．5
10．已知直线l与直线互相垂直，直线l与直线在y轴上的截距相等，则直线l的方程为 .
11．已知一直线经过点,且与轴平行,则该直线的方程为
A． B． C． D．
12．与直线的斜率相等，且过点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知直线l的方程为y+(x1)，则l在y轴上的截距为（ ）
A．9 B．9
C． D．
14．直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
15．与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 .
16．在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成30°角的直线方程是____.
17．若直线绕着其上一点逆时针旋转后得到直线，则直线的点斜式方程为 ．
18．写出下列直线的斜截式方程：
(1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2；
(2)直线过点（3，1）且在y轴上截距是-1.
19．已知直线l的方程是.
(1)求直线l的斜率和倾斜角；
(2)求过点且与直线l平行的直线的方程.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．③
【分析】根据直线的点斜式方程的意义可判断.
【详解】直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以①错误；
点不在方程所表示的直线上，所以②错误；
③显然正确；
故答案为：③.
2．
【分析】求出直线斜率，根据直线的点斜式方程即可得答案.
【详解】倾斜角为的直线的斜率为，
又该直线经过点，
所以其点斜式方程为
故答案为：
3．
【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，再根据点斜式方程即可求解.
【详解】因为直线的一个方向向量，
所以直线的斜率为，
又因为直线过点，
所以直线的点斜式方程为.
故答案为：
4．D
【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.
【详解】直线的斜率为，由题意可知，所求直线的方程为.
故选：D.
5．D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
6．
【分析】依题意可得两直线斜率之积为，即可求出参数的值.
【详解】因为直线和互相垂直，
所以，解得.
故答案为：
7．
【分析】由直线平行可得，求解即可.
【详解】由题意可知，解得．
故答案为：
8．
【分析】根据平行直线的斜率关系，找到斜率，经过点求出直线方程，改写成斜截式方程即可，根据垂直直线的斜率关系，求出斜率，写出对应的方程，改写成点斜式方程即可.
【详解】设直线的斜率为，
与直线平行的直线的斜率为，
与直线垂直的直线斜率为.
由得，
由两直线平行知.
所以所求直线方程为，即；
由两直线垂直知，
所以与直线垂直的直线的点斜式方程为.
故答案为：;
9．B
【分析】直接利用直线方程求出在y轴上的截距为b.
【详解】令x＝0，则y＝2，
所以直线2x－5y＋10＝0在y轴上的截距是2.
故选：B
10．
【分析】由两条直线垂直，斜率之积为-1，可得直线l的斜率.再由直线在y轴上的截距为6，可得直线l截距为6，由斜截式可得结果.
【详解】因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率.
又因为直线在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为.
故答案为：
【点睛】本题考查了直线方程的斜截式，考查了运算求解能力，属于基础题目.
11．D
【分析】由已知条件，结合直线的点斜式方程即可得解.
【详解】解：因为直线与轴平行,所以其斜率为,所以直线的点斜式方程为,即.
故选D.
【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，属基础题.
12．C
【分析】根据直线方程的点斜式可得答案.
【详解】由可得直线的斜率为，又直线过点，
所以所求直线方程为.
故选：C
13．B
【分析】把方程化为斜截式方程，即可得结论．
【详解】解：由y+(x1)，得y=x，∴l在y轴上的截距为.
故选：B
【点睛】本题考查求直线的截距，掌握截距概念是解题关键．直线的纵截距是直线与轴交点的纵坐标，不是距离，可以为负．
14．C
【分析】先分离参数得到（x-3）k+1-y=0，再解方程组即得直线所经过的定点.
【详解】由题得（x-3）k+1-y=0，所以，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.
故答案为C
【点睛】(1)本题主要考查直线的定点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 直线的定点问题,方法一：参数赋值法,给直线中的参数赋两个值，得到两个方程，再解方程组得到方程组的解，即是直线过的定点，最后要把点的坐标代入直线的方程证明，发现直线的方程恒成立.方法二：分离参数法,把直线的方程分离参数得到，所以，解之得定点的坐标.
15．
【分析】根据与直线垂直，求出斜率，再根据在y轴上的截距为4，求出直线方程.
【详解】设所求直线斜率为k，则，
即，又在y轴上的截距为4，
则直线为，与y轴交点为.
故答案为：；.
16．或.
【分析】由已知条件先计算出直线的倾斜角,进而求出直线的斜率,运用直线斜截式求出直线方程.
【详解】因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，
所以直线的斜率为或，
又因为在y轴上的截距为－6，
所以直线的斜截式方程为或.
故答案为：或.
17．
【分析】先根据已知直线斜率求得倾斜角，旋转得到直线的倾斜角，再根据其斜率和定点得到点斜式方程.
【详解】∵直线的斜率为1，∴倾斜角为45°．将其逆时针旋转90°后得到直线，
则直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率为．
又点在直线上，∴直线的点斜式方程为．
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）运用斜截式直线方程求解；
（2）运用两点式直线方程求解.
【详解】（1）斜率，截距，；
（2）等价于直线过两点，直线方程为 ，即；
综上，（1），（2）.
19．(1)斜率为，倾斜角是60°
(2)
【分析】（1）由直线方程直接求出斜率，进而得到倾斜角；
（2）利用点斜式方程求出直线方程.
【详解】（1）已知直线l：，
所以直线l的斜率，倾斜角是.
（2）过点且与直线l平行的直线的斜率是，
所求直线方程为：，即.
答案第1页，共2页
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