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2.2.3 直线的一般式方程【第一课】
[课标要求]
1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式．
2．会进行直线方程的五种形式间的转化．
[明确任务]
1．求直线的一般式方程，直线的一般式方程与其他形式的互化． (数据分析)
2．二元一次方程与直线关系的理解，直线的一般式方程的应用． (数学运算)
1．直线点斜式、斜截式、两点式、截距式的方程形式及其适用范围；
2．二元一次方程与直线的关系
核心知识点1 直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，
简称一般式． 若A＝0，则y＝－，它表示一条与x轴平行或重合的直线；若B＝0，则x＝－，
它表示一条与y轴平行或重合的直线．
例1． 根据下列条件求直线的一般式方程．
（1）直线的斜率为2，且经过点A(1，3)；
（2）斜率为，且在y轴上的截距为4；
（3）经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；
（4）在x，y轴上的截距分别为2，－4．
【解析】 （1）因为k＝2，且经过点A(1，3)，
由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，
整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0．
（2）由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，
得直线的斜截式方程为y＝x＋4．
整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0．
（3）由直线的两点式方程可得＝，
整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0．
（4）由直线的截距式方程可得＋＝1，
整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0．
归纳总结 求直线的一般式方程
1．由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了)．
2．反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的适用条件．
【举一反三】
1．已知直线的斜率，且直线不过第一象限，则直线的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．将直线的方程作如下转换：
(1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距．
(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距．
核心知识点2 用直线的一般式方程解决平行、垂直问题
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
（1）平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；
（2）垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0．
温馨提示　（1）A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情况．
（2）A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个不存在的垂直．
例2． 判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由．
（1）l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
（2）l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
（3）l1：x＝2，l2：x＝4；
（4）l1：y＝－3，l2：x＝1．
【答案】见解析
【解析】 （1）法一　将两直线方程各化为斜截式：
l1：y＝－x＋；l2：y＝－x－，
则k1＝－，b1＝，k2＝－，b2＝－．
∵k1＝k2，且b1≠b2，∴l1∥l2．
法二　∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，∴l1∥l2．
（2）法一　将两直线方程各化为斜截式：
l1：y＝x＋；l2：y＝－2x＋2，
则k1＝，k2＝－2．
∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2．
法二　∵3×2＋(－6)×1＝0，∴l1⊥l2．
（3）因为l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2．
（4）l1：y＋3＝0，l2：x－1＝0，
∵0×1＋1×0＝0，∴l1⊥l2．
归纳总结 判定平行、垂直的方法与及技巧
1．判定平行、垂直的两种方法：
（1）化成斜截式方程看斜率和截距的关系，但要注意k＝0和k不存在情况；
（2）化成一般式方程，用充要条件判断．
2．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；
与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0．
【举一反三】
3．直线与直线平行，则
A． B．或 C． D．或
4．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求下列直线l′的方程，l′满足：
（1）过点(－1,3)，且与l平行；
（2）过点(－1,3)，且与l垂直；
核心知识点3 直线一般式方程的应用
例3． 直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 （1）①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意；
②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，
令y＝0，则x＝．
∵l在两坐标轴上的截距相等，
∴a－2＝，
解得a＝2或a＝0．
综上，a的值为2或0．
（2）直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
故要使l不经过第二象限，只需
解得a≤－1．
∴a的取值范围为(－∞，－1]．
归纳总结 关于直线方程应用类问题的解题策略
1．含参直线方程的研究策略
（1）若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0．
（2）令x＝0可得在y轴上的截距；令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，
可将一般式化为斜截式．
（3）解分式方程要注意验根．
2．直线方程的实际应用问题解题策略： 建立平面直角坐标系，将实际问题转化为与直线方程有关的问题．
【举一反三】
5．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（ ）
A． B．或
C． D．或
6．如图，为了绿化城市，拟在矩形区域内建一个矩形草坪，另外△内部为一文物保护区域不能占用，经过测量，，，，，应该如何设计才能使草坪面积最大？
7．直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
9．过点和，的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．过点且与平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．直线的倾斜角为45°，则的值为(　　)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
12．三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．5
13．直线与两坐标轴围成的面积为 ．
14．已知过点的直线与直线互相垂直，则 ．
15．已知直线经过点和两点，求直线的一般式方程和截距式方程，并画出图象．
16．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
（1）求实数m的范围；
（2）若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
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参考答案：
1．B
【详解】A、D斜率为错误；对于C令得与x轴正半轴交点为
，经过第一象限，错误；故选B
2．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，化简得到直线的斜截式方程，并求得斜率和截距；
（2）根据题意，化简得到直线的截距式方程，进而求得坐标轴上的截距.
【详解】（1）解：将原方程移项，可得，可得直线的截距式方程为，
则直线的斜率为，在轴上的截距为.
（2）解：将原方程化简为，可得直线的截距式方程为，
所以直线在轴和轴上的截距分别为.
3．B
【分析】两直线平行，斜率相等；按，和三类求解.
【详解】当即时，
两直线为，，
两直线不平行，不符合题意；
当时，
两直线为 ，
两直线不平行，不符合题意；
当即时，
直线的斜率为 ，
直线的斜率为，
因为两直线平行，所以，
解得或，
故选B.
【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.
4．(1)3x＋4y－9＝0; （2）4x-3y+13＝0.
【分析】（1）由直线平行可得直线斜率，进而由点斜式即可得解；
（2）由两直线垂直可得斜率之积为-1，从而得斜率，进而利用点斜式即可得解.
【详解】(1)∵l∥l′，∴l′的斜率为－
∴直线l′的方程为：y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
（2）l′的斜率为，
∴直线l′的方程为：y－3＝(x＋1)，即4x-3y+13＝0.
【点睛】本题主要考查了两直线平行和垂直时斜率的关系，属于基础题.
5．B
【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得.
【详解】令，得；令,得．
故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得.
故选：B
6．点P为线段上靠近F点的六等分点时，可使草坪面积最大.
【分析】建立直角坐标系，求出线段的方程为，在线段上取一点，作于Q，于R，表示出矩形面积．利用在线段上，消元得到求得面积最大值得解.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则．
线段的方程为．
在线段上取一点，作于Q，于R，则矩形即为要建的矩形草坪，
设矩形的面积是S，则．
又因为，
所以，
故，
当时，S有最大值，此时，
即当点P为线段上靠近F点的六等分点时，可使草坪面积最大．
【点睛】本题考查二次函数模型在实际中的应用，建模是解题关键，属于基础题.
7．C
【分析】根据直线截距式变形即可得到结果.
【详解】由得：
直线的一般式方程为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查直线一般式方程的形式，属于基础题.
8．C
【分析】由直线的方程得直线的斜率，得直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率为，设倾斜角为，
则，且，所以.
故选：C.
9．C
【分析】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解.
【详解】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为，
整理得，即直线的一般式方程为.
故选：C.
10．C
【分析】根据两直线平行，可设所求直线方程为，将点的坐标代入，求得c，即可求得答案.
【详解】由题意可设所求直线方程为，
因为在该直线上，
所以，得，
故该直线方程为，
故选：C
11．D
【分析】由倾斜角为45°，直线斜率为1，所以，且，可解得m.
【详解】由题意得，即，解得m=2或m=3,
当m=2时，斜率不存在，所以m=2不符，经检验m=3符合，选D.
【点睛】考查由直线方程求直线斜率及倾斜角与斜率关系，注意斜率不存在的情况．
12．CD
【分析】经分析可得三线不共点，所以只需直线与另两条直线不平行，即可求得的范围．
【详解】由题意可得直线与都经过原点，
而无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以.
故选：CD
13．
【分析】根据直线的方程，分别求得在两坐标轴上的截距，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】由直线方程，
令，可得；令，可得，
所以直线与两坐标轴围成的面积为.
故答案为：.
14．
【分析】利用两直线垂直斜率之积为求解.
【详解】因为两条直线垂直，直线的斜率为，
所以过点的直线的斜率，解得．
故答案为：
15．一般式方程为，截距式方程为；作图见解析
【分析】根据题意，结合直线的两点式方程，求得直线的一般式方程和截距式方程，并画出图象.
【详解】由直线过点和两点，
根据直线的两点式方程，可得，
可得直线的一般式方程为，
可得，可得截距式方程为，
图象如图所示，
16．（1）m≠2；（2）m＝0.
【分析】（1）由直线方程的定义可知，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，即可求出结果.
（2）求出直线斜率，列方程即可求出结果.
【详解】（1）由解得m＝2，
若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2.
（2）由，解得m＝0.
【点睛】本题考查了直线方程的定义、已知直线一般方程和斜率求参数，考查了计算能力，属于基础题目.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2.2.3 直线的一般式方程【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的．
【目标分析】
1．直线一般式方程与其它方程形式的互化，培养逻辑推理、直观想象和数学运算素养，如第1题、第2题、第3题、第9题、第10题；
2．考查直线一般式方程判定平行与垂直，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第5题、第6题、第7题、第11题；
3．直线一般式方程的综合应用：根据条件求直线一般式方程中的参数、用直线一般式方程解决实际问题，培养逻辑推理、数学建模和数学运算能力，如第4题、第8题、第13题；
一、填空题
（2023·山东潍坊高二期中）
1．直线在轴上的截距等于 ．
（2023·福建三明高二期中）
2．若方程表示直线．
（1）则实数m的取值范围是 ；
（2）若该直线的斜率为1，则实数m＝ ．
（2023·山东泰安高二期中）
3．已知直线在轴上的截距为，且它的倾斜角为，则 .
（2023·山东潍坊高二期中）
4．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则 ．
（2023·安徽铜陵高二期中）
5．已知直线与直线平行，则的值为 ．
（2023·江西上饶高二期中）
6．设直线，直线，若，则 ，若，则 ．
（2023·山西师大附中高二期中）
7．已知直线l与直线垂直，且经过点，则直线l的方程为 ．
（2023·四川泸州高二期中）
8．不论k为何实数，直线通过一个定点，这个定点的坐标是 .
（2023·广东佛山高二期末）
9．下列说法正确的是 （填序号）．
①直线必过定点；
②直线在y轴上的截距为-2；
③直线的倾斜角为120°；
④若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
二、解答题
（2023·宁夏银川高二期中）
10．根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为，且经过点；
(2)斜率为，且在轴上的截距为；
(3)经过两点, ；
(4)在轴上的截距分别为．
（2023·江西宜春高二期中）
11．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求下列直线l′的方程，l′满足：
（1）过点(－1,3)，且与l平行；
（2）过点(－1,3)，且与l垂直；
（2023·河北邯郸高二期中）
12．已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)．
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；
(3)求AC边上的中垂线的方程．
（2023·江西赣州高二期末）
13．如图，在两条互相垂直的道路，的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路的垂直距离为4米，到道路的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米．
【易错题目】第9题 、第10题、第12题
【复盘要点】 根据条件灵活选用直线方程的五种形式，并能根据需要进行变形和转换．
【典例】（2023·安徽霍邱高二期中）下列说法不正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为
D．过点且垂直于直线的直线方程为
【答案】C
【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；根据直线截距的定义可判断B选项；求出直线的倾斜角，可判断C选项；根据两直线垂直求出所求直线方程，可判断D选项．
【解析】对于A选项，直线方程可化为，
由，解得，
故直线必过定点，A对；
对于B选项，直线在轴上的截距为，B对；
对于C选项，直线的斜率为，故该直线的倾斜角为，C错；
对于D选项，直线的斜率为，
故过点且垂直于直线的直线方程为，即，D对．故选：C
易错警示：
【归纳总结】直线方程形式的原则
（1）已知直线过某点，常设点斜式方程． 此时，应讨论斜率是否存在．
（2）已知直线的斜率，常设点斜式或斜截式方程．
（3）已知截距，常设斜截式或截距式方程． 此时应注意截距式不能表示平行或重合于坐标轴的直线和过原点的直线．
（4）已知两点，常设两点式方程． 注意两点式不能表示平行或重合于坐标轴的直线．
（5）已知条件过少或难以利用时，可设直线的斜截式，但不要忘记讨论斜率是否存在．
（6）若所求的是直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，则应选用截距式方程．
【复盘训练】
（2023·安徽霍邱高二期中）
14．已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．直线l在x轴上的截距为1
C．若直线m：，则
D．过与直线l平行的直线方程是
（2023·四川凉山·高二期中）
15．已知直线经过第一、二、四三个象限，则（ ）
A．若，则， B．若，则，
C．若，则， D．若，则，
（2023·甘肃武威高二期中）
16．已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏盐城高二期末）
17．在同一平面直角坐标系中，直线和直线不可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·吉林长春高二东北师大附中校考期中）
18．已知的三个顶点是，，.求：
(1)边上的中线所在直线方程；
(2)边上的高所在直线方程.
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参考答案：
1．
【分析】由截距概念直接求解.
【详解】令，得.
故答案为：
2． 0
【分析】由直线的一般式方程概念计算即可；利用直线一般式方程的斜率公式计算即可.
【详解】（1）若该方程表示直线，则与不能同时为0，
而由，故，即；
（2）由第一空知，，
其斜率可表示为.
故答案为：；0
3．2
【分析】根据截距求，根据倾斜角和斜率关系求即可.
【详解】因为直线在轴上的截距为，
所以，所以，
则直线方程可化为，
又因为直线倾斜角为，所以，
所以.
故答案为：2
4．或
【分析】求出函数与坐标轴的交点，根据三角形的面积求的值.
【详解】直线，交轴于，交轴于.
故与坐标轴围成的三角形的面积为：．
故答案为：或
5．6
【分析】根据两直线平行的条件求解即可.
【详解】因为两直线平行，
所以，解得，
此时，经检验符合题意．
故答案为：6
6．
【解析】根据两直线平行：，求出，再代入直线，两直线不重合可得答案；由直线垂直：，即可求解.
【详解】当，则，解得，
当时，两直线不重合，即；
当时，则，解得，
故答案为：；
7．
【分析】根据直线l与直线垂直，设其方程为，代入点可得答案.
【详解】根据题意，因为直线l与直线垂直，设l的方程为，
又由直线l经过点，则有，解可得，
故直线l的方程为.
故答案为：．
8．(2,3)
【详解】将直线方程变形为，它表示过两直线和的交点的直线系，解方程组，得上述直线恒过定点，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查待定直线过定点问题. 属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
9．①③④
【分析】①将点代入判断；
②转化为斜截式即可；
③转化为斜截式即可；
④设直线l方程为，求出平移后的直线方程，根据系数对应相等得等式，利用该等式可求出斜率.
【详解】因为，所以点在直线上，①正确；
对，即，所以直线在y轴上的截距为2，②错误；
直线，即，其斜率为，倾斜角为120°，③正确；
设直线l方程为，沿x轴向左平移3个单位长度，
再沿y轴向上平移2个单位长度后得到，
即，由题意得，所以，④正确．
故答案为：①③④.
10．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式；
（2）先求斜截式方程，再化为一般式；
（3）先求直线的两点式方程，再化为一般式；
（4）先求直线的截距式方程，再化为一般式.
【详解】（1）因为，且经过点，
由直线的点斜式方程可得，
整理可得直线的一般式方程为．
（2）由直线的斜率，且在轴上的截距为
得直线的斜截式方程为．
整理可得直线的一般式方程为．
（3）由直线的两点式方程可得，
整理得直线的一般式方程为
（4）由直线的截距式方程可得，
整理得直线的一般式方程为
11．(1)3x＋4y－9＝0; （2）4x-3y+13＝0.
【分析】（1）由直线平行可得直线斜率，进而由点斜式即可得解；
（2）由两直线垂直可得斜率之积为-1，从而得斜率，进而利用点斜式即可得解.
【详解】(1)∵l∥l′，∴l′的斜率为－
∴直线l′的方程为：y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
（2）l′的斜率为，
∴直线l′的方程为：y－3＝(x＋1)，即4x-3y+13＝0.
【点睛】本题主要考查了两直线平行和垂直时斜率的关系，属于基础题.
12．(1)直线：，直线：
(2)2x－y＋10＝0
(3)2x＋y＋6＝0
【分析】（1）由截距式写出直线方程并整理，求出斜率，用斜截式写出方程后整理；
（2）求出中点的坐标，由两点式得直线方程并整理；
（3）再求出直线的斜率，得中垂线斜率，写出点斜式方程并整理．
【详解】（1）解：由已知直线方程为，即，
，直线方程为，即；
（2）由已知，，即，
所以中线方程为，整理得；
（3），所以边中垂线斜率为，
中垂线方程为，即．
13．10
【分析】建立平面直角坐标系，设出直线方程为，分别写出点坐标，进而根据三角形面积公式结合均值不等式求解即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
根据题意设人行道所在直线方程为，
所以，，
所以的面积，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
此时，，
所以人行道的长度为 米.
14．D
【分析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B. 令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D. 设要求直线的方程为，将代入即可.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；
对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；
对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；
对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；
故选：D
15．D
【分析】根据直线所过象限得到，从而进行判断.
【详解】经过第一、二、四三个象限，则，
故变形为，
故，则同号，异号，
若，则，若，则，
D选项正确，其他三个选项均错误.
故选：D
16．D
【分析】分别令、得直线在y轴、x轴上的截距，再由在x轴的截距大于在y轴的截距可得答案.
【详解】由已知，
令得直线在y轴的截距为，
令得直线在x轴的截距为，
由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得，
即.
故选：D.
17．ABCD
【分析】先把方程化成斜截式，然后分别分析各选项中的斜率和纵截距，进而可求解.
【详解】由题意，
A项，，，所以A项不可能；
B项，，，两直线的纵截距相同，所以,两直线重合，所以B项不可能；
C项，，，所以C项不可能；
D项，，，所以D项不可能.
故选：ABCD．
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出点的坐标为，由两点式斜率公式求出的斜率，代入点斜式即可求解.
（2）由两点式斜率公式求出斜率，利用垂直关系得的斜率，代入点斜式即可求解.
【详解】（1）由题知的中点，所以直线的斜率，
则边上的中线所在直线的方程为，化简得.
（2）由题意得直线AC的斜率，且，所以.
则边上的高所在直线的方程为，化简得.
答案第1页，共2页
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