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2.3.1 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.求两直线的交点坐标，由交点坐标判断直线位置关系，培养逻辑推理、直观想象和数学运算素养，如第2题、第6题、第9题；
2.考查两点间距离公式及其应用，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第1题、第7题、第10题；
3.根据两直线的交点求直线方程、求定点问题，培养逻辑推理、数学建模和数学运算能力，如第3题、第4题、第5题、第8题、第11题、第12题；
（2023·广东江门高二期末）
1．已知点，，，若，，是的三个顶点，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
（2023·海南海口高二校联考期中）
2．在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（ ）
A． B． C． D．
（2023·福建三明高二期中）
3．已知，满足，则直线必过定点（ ）
A． B．
C． D．
（2023·广东东莞·高二期中）
4．设，过定点的直线和过定点的直线交于点．则的值为（ ）
A．5 B． C． D．与的取值有关
（2023·江西抚州·高二期中）
5．点到直线的最大距离为（ ）
A．2 B． C． D．1
（2023·山东济南市历城高二期中）
6．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东泰安高二期中）
7．（多选题）对于，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点与点的距离
B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离
D．可看作点与点的距离
（2023·江苏连云港高二期中）
8．已知两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，与相交于点
D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于
（2023·上海普陀高二期中）
9．已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 .
（2023·福建莆田一中高二期中）
10．设，，点在轴上，使得取到最小值为 ，此时的点坐标为 ．
（2023·重庆南岸·高二期中）
11．已知直线与直线交于点.
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
（2023·山东泰安高二期中）
12．已知直线，，．
(1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程．
(2)当为何值时，原点到直线的距离最大．
【易错题目】第4题 、第5题 、第12题
【复盘要点】用直线交点法确定直线过定点。需要根据条件确定问题方向，确定解解法，注意优化算法，提高解题准确率和速度。
（2023·广东湛江高二期中）
13．求证：不论m为何值，直线都通过一定点.
【复盘训练】
（2023·安徽合肥·高二联考期中）
14．已知直线，直线，则（ ）
A．当时，与的交点为 B．直线恒过点
C．若，则 D．存在，使
（2023·四川绵阳·高二期中）
15．直线和直线分别过定点A和B，则 ．
（2023·河北邢台高二统考期中）
16．点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】计算，，，且，得到答案.
【详解】，
，故，且，
故为等腰三角形.
故选：B.
2．C
【分析】先求解出的交点坐标，然后根据点到点的距离公式求解出结果.
【详解】因为，所以，所以交点坐标为，
所以原点到交点的距离为，
故选：C.
3．D
【分析】利用已知条件消去，令的系数为0即可.
【详解】由，得，
代入直线方程中，
得，即，
令，解得，
所以该直线必过定点.
故选：D
4．A
【分析】确定，，确定两直线垂直得到，计算得到答案.
【详解】直线过定点，直线过定点，
且直线和直线满足，故两直线垂直，
故.
故选：A.
5．C
【分析】由题意可得直线恒过定点，题意所求最大距离即为点到定点的距离，结合两点求距离公式计算即可求解.
【详解】由题意知，
直线即，
所以该直线恒过定点，
则点到直线的最大距离即为点到定点的距离，
即.
故选：C.
6．B
【分析】由题求出欧拉线方程，即可得直线l方程，后可得交点坐标.
【详解】由的顶点坐标，可知其重心为.
注意到，直线BC斜率不存在，则为直角三角形，
则其垂心为其直角顶点，则欧拉线方程为：.
因其与垂直，则.
则，则直线与的欧拉线的交点坐标满足，即交点为.
故选：B
7．BCD
【分析】化简，结合两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，可得，
可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，
故答案为：BCD.
【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题.
8．ABD
【分析】对取值后运用直线方程逐项分析即可.
【详解】时，，所以，故A正确；
此时与坐标轴交于
所以D项所求面积，故D正确；
时，，
所以，，故B正确；
时，，解得，故C错误；
故选：ABD.
9．
【分析】求出两直线交点的坐标，根据交点位置可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.
【详解】联立可得，
所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限，
则，解得，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
10．
【解析】求得关于轴的对称点，可知当取最小值即为，为直线与轴交点；利用两点式求得直线方程，进而求得点坐标.
【详解】由题意得：点关于轴的对称点，
（当且仅当三点共线时取等号），
又，
则，
直线的方程为：，
即，
当取最小值时，
为直线与轴交点，
故答案为：；.
【点睛】本题考查定直线上的点到两点距离之和的最小值的相关问题的求解，关键是能够利用对称性确定最小值取得的情况，属于较易题.
11．(1)
(2)或
【分析】（1）首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程即可；
（2）讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0进行求解即可．
【详解】（1）联立，解得，即，
由题意，设直线的方程为，
将代入直线方程，得，即，
所以直线的方程为.
（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的斜率为，
则直线的方程为，即；
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为，
将代入直线方程，得，即，
所以直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
12．(1)或；
(2)
【分析】（1）分直线过、的中点和直线与平行两种情况讨论，分别计算即可；
（2）首先求出直线过定点，当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，即可求出.
【详解】（1）因为，，所以、的中点为，
若直线过、的中点为，
则，解得，此时直线为，满足条件；
又，所以当时直线的方程为，
此时直线与直线平行，满足、两点到直线的距离相等，
综上可得直线的方程为或.
（2）由，得，
联立，解得，则直线过定点，
由，得，当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，

最大值为，
因为，所以，即当时原点到直线l的距离最大．
13．证明见解析.
【解析】先将直线整理为，再建立方程求出，最后证明不论m为任意实数时，直线必过定点.
【详解】证明：将原方程按m的降幂排列，整理得，
此式对于m的任意实数值都成立，
根据恒等式的要求，m的一次项系数与常数项均等于零，
故有解得
所以m为任意实数时，所给直线必通过定点.
【点睛】本题考查直线所过恒定点的问题，是基础题.
14．ABC
【分析】将代入解得两直线交点坐标为可判断A；令解得可判断B，由直线垂直的条件可判断C，由直线平行的条件可判断D.
【详解】对于A，当时，直线，直线，
联立解得
所以两直线的交点为，故A正确；
对于B，直线，令解得即直线恒过点，故B正确；
对于C：若，则，解得，故C正确；
对于D，假设存在，使，则，解得或，
当时，，，两直线重合，舍去，
当时，直线，直线，两直线重合，舍去，
所以不存在，使，故D错误.
故选：ABC.
15．
【分析】通过直线和直线分别计算定点坐标A和B，从而计算的大小.
【详解】直线经过的定点坐标为，直线经过的定点坐标为，
从而计算.
故答案为：.
16．
【分析】首先求出直线恒过点，再求出，即可求出点到直线的距离的最大值.
【详解】将直线方程变形为，
令，解得，由此可得直线恒过点，
所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于，
又，
所以到直线的距离的最大值为．
故答案为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2.3.1 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式【第二课】
题型一 两直线的交点坐标
例1
（2023·安徽铜陵高二期中）
1．已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.两直线交点的交点坐标
（1）求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解，就是这两条直线的交点坐标.
（2）应用：方程解的个数与两条直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
提示　(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.
(2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
2.求过两直线交点的直线方程的方法
(1)方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程.
(2)直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，
最后确定直线方程.
【变式训练1-1】
（2023·江苏连云港·高二高二期末）
2．已知两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，与相交于点
D．当时，直线与坐标轴围成的三角形面积等于
【变式训练1-2】
（2023·福建三明高二其中）
3．下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】
（2023·山西师大附中高二其中）
4．如果三条直线，和将平面分为六个部分，那么实数的取值集合为 .
【变式训练1-4】
（2023·江苏南京师大附中高二期中）
5．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 .
题型二 两点间的距离
例2
（2023·江西宜春高二月考）
6．在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1.计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.
2.若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数.
【变式训练2-1】
（2023·江苏徐州·高二期中）
7．已知三点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】
8．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
【变式训练2-3】
（2023·北京市怀柔区高二期末）
9．过点和的直线与平行，则的值为 ．
【变式训练2-4】
（2023·内蒙古·高二联考期中）
10．已知为直线上的一点，则的最小值为 ．
题型三 坐标法的简单应用
例3．
（2023·湖北鄂州·高二期中）
11．用坐标法证明：平行四边形的对角线的平方和等四条边的平方和．
【方法总结】利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量.
(2)进行有关代数运算.
(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
用框图表示如图
【变式训练3-1】
（2023·江西赣州高二期中）
12．如图所示，正方形ABCD中，在BC上任取一点P（点P不与B、C重合），过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q．用坐标法证明：．
【变式训练3-2】
（2023·陕西神木高二期中）
13．在△ABC中，AD，BE，CF分别为三边上的高，求证：AD，BE，CF三线共点.
易错点1 过两直线交点坐标问题问法多样，解法灵活，造成错解
【典例】
（2023·江西省抚州市高二期中）
14．过两直线和的交点和原点的直线方程为
A． B．
C． D．
针对训练1-1
（2023·广东深圳红岭中学高二月考）（2023·安徽合肥·高二联考期中）
15．已知直线，直线，则（ ）
A．当时，与的交点为 B．直线恒过点
C．若，则 D．存在，使
针对训练1-2
（2023·江西新余高二期末）
16．已知直线与的交点在第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
针对训练1-3
（2023·北京顺义高二期中）
17．已知，，直线与线段恒相交，则的取值范围为 ．
针对训练1-4
（2023·安徽铜陵高二期中中）
18．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当△的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为
例2．
（2023·山西运城高二期末）
19．若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为（ ）
A． B． C． D．
针对训练2-1
（2023·山东德州高二期中）
20．若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（ ）
A． B． C． D．
针对训练2-2
（2023·河北邯郸高二统考期中）
21．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ）
A．5 B． C．4 D．
针对训练2-3
（2023·江苏南通高二统考期中）
22．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为( )
A．4 B．8 C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】求出直线与轴的交点坐标，代入直线得，即可求出直线斜率.
【详解】在直线方程中，令，得，
即直线与轴的交点为，
因为点在直线上，所以，即，
所以：，即，所以直线的斜率为.
故选：D.
2．ABD
【分析】对取值后运用直线方程逐项分析即可.
【详解】时，，所以，故A正确；
此时与坐标轴交于
所以D项所求面积，故D正确；
时，，
所以，，故B正确；
时，，解得，故C错误；
故选：ABD.
3．C
【解析】先由直线与联立求出交点的坐标，再由题中条件，得到过点，或分别与、平行，进而可求出结果.
【详解】由解得，即直线与的交点为，
因为直线，，不能构成三角形，
所以过点，或分别与、平行，
若过点，则，即；
若，则，即；
若，则，所以.
综上，的可能取值为.
故选：C.
4．，，
【分析】根据三条直线把平面分为六个部分，分析直线的位置关系，分别求出a的值.
【详解】若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分；
如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，
①是过另外两条直线的交点，
由和的交点是，代入解得：
；
②是这条直线与另外两条直线平行，
当和平行，只需，解得；
当和平行，只需此时.
综上，的取值集合是，，.
故答案为：，，.
【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:
(1)若两直线斜率都不存在, 两直线平行；
(2)两直线的斜率都存在,且k1=k2,b1≠b2,则两直线平行；
(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1B2=A2B1,B1C2≠B2C1.
5．
【分析】首先求出两直线的交点坐标，设所求直线方程为，代入交点坐标求出的值，即可得解.
【详解】由，解得，
所以直线与的交点为，
设所求直线方程为，则，解得，
所以所求直线方程为.
故答案为：
6．C
【分析】先求解出的交点坐标，然后根据点到点的距离公式求解出结果.
【详解】因为，所以，所以交点坐标为，
所以原点到交点的距离为，
故选：C.
7．D
【分析】直接根据两点间距离公式计算得到答案.
【详解】，则，解得.
故选：D.
8．C
【分析】先求出直线，的斜率，从而可得kAC·kBC＝－1，再求出,进而可得三角形的形状
【详解】因为kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC.
又AC＝＝a，|BC|＝＝a，
所以△ABC为直角三角形．
故选：C
9．
【详解】由题意可得：，由两点之间距离公式可得：.
10．
【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可.
【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和，
即．
设关于直线对称的点为，
则解之得即．
易得，当三点共线时，取到最小值，
且最小值为．

故答案为：.
11．证明见解析
【分析】以顶点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，根据平行四边形的性质得到点的坐标为，然后利用两点间距离公式即可证明.
【详解】如图所示，以顶点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则．设，，由平行四边形的性质得点的坐标为．
因为，，，，，
所以，
，所以，
因此，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
12．证明见解析
【分析】建立平面直角坐标系，设P点坐标，利用点斜式表示出和，联立方程组求出点Q坐标，两点间距离公式可证.
【详解】以B为原点，射线BC、BA分别为x、y轴的正半轴建立坐标系．如图所示，
设正方形边长为a，则，，设点P的坐标为．
，①， ②．
联立①②可得（或利用三角形全等求得点Q坐标）．
∵，，∴．
13．证明见解析
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)，F(0，0)，求得直线CF的方程，直线AC的方程，直线BC的方程，设直线CF和直线AD交于点O，联立方程组求得点O的坐标，再代入直线BE中可得证.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)，F(0，0)，
则直线CF的方程为x=0.
由直线的截距式方程可得直线AC的方程为=1，即cx+ay-ac=0.
直线BC的方程为=1，即cx+by-bc=0.
由于AD为BC边上的高，则直线AD的斜率为，由直线的点斜式方程得直线AD的方程为y=(x-a).
由于BE为AC边上的高，则直线BE的斜率为，得直线BE的方程为y=(x-b).
设直线CF和直线AD交于点O，
由得点O的坐标为0，-.
将点O的坐标代入直线BE中，则O点坐标也满足直线BE的方程，
所以直线BE也过点O.所以AD，BE，CF三线共点.

【点睛】本题考查运用解析法证明三角形的高交于一点，证明时，注意建立合适的平面直角坐标系，利用点的坐标间的关系可得证，属于中档题.
14．D
【详解】试题分析：过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，求得，故所求直线方程为，即.
考点：两直线的位置关系、直线方程两点式．
【易错点晴】过直线交点可以联立这两条直线的方程，求出交点的坐标，由于所求直线过原点，故由两点式可以求出直线的方程.由于联立方程组来求结算量较大，我们可以采用直线系方程来做，具体过程是，先设出直线系方程，代入原点坐标，求得，即可得到所求，这样运算量非常小.
15．ABC
【分析】将代入解得两直线交点坐标为可判断A；令解得可判断B，由直线垂直的条件可判断C，由直线平行的条件可判断D.
【详解】对于A，当时，直线，直线，
联立解得
所以两直线的交点为，故A正确；
对于B，直线，令解得即直线恒过点，故B正确；
对于C：若，则，解得，故C正确；
对于D，假设存在，使，则，解得或，
当时，，，两直线重合，舍去，
当时，直线，直线，两直线重合，舍去，
所以不存在，使，故D错误.
故选：ABC.
16．C
【分析】先求出两直线的交点，再解不等式组即得解.
【详解】联立解得，
由直线与的交点在第四象限可得，
解得，即实数的取值范围为．
故选：C．
17．
【分析】由题意，作图，根据直线方程，求其所过定点，结合图象，利用斜率的求解公式以及性质，可得答案.
【详解】如图所示，
直线经过定点，表示直线的斜率，
设线段与轴交于点C，
由图形知，当直线与线段的交点在线段上时，
大于或等于的斜率，即，即.
当直线与线段的交点在线段上时，小于或等于的斜率，
即，即.
综上，的取值范围为．
故答案为：.
18．
【分析】由题设可得，进而写出△的面积关于的函数关系式，应用换元法并结合分式及二次函数的性质，判断面积取最小的值.
【详解】由题设得：，
∴当△的面积，
令，则，
∴当，即时，取得最小值．
故答案为：
19．C
【分析】求出关于直线对称的点为，则，从而得出答案.
【详解】点关于直线对称的点为,如图
则,所以
当且仅当三点共线时取得等号.
故选：C

20．D
【分析】由直线过直线与得交点可得，再由两点间的距离公式求出d的最小值.
【详解】联立，解得，
把代入，得，，
点到原点的距离
，
当且仅当时取等号．
点到原点的距离的最小值为．
故选：D．
21．B
【分析】首先求出直线恒过点，再求出，即可求出到直线的距离的最大值.
【详解】将直线方程变形为，
令，解得，由此可得直线恒过点，
所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于．
又，
所以到直线的距离的最大值为．
故选：B．
22．A
【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解.
【详解】直线，当，得，
即点，
直线，当，得，即点，
且两条直线满足，所以，即，
，
，当时，等号成立，
所以的最大值为4.
故选：A
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