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2.3.1 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式【第一练】
【试题来源】来自人教A，人教B，苏教版，北师大版的课本试题，进行整理和组合；
【试题难度】本次训练试题基础，适合学完新知识后的训练，起到巩固和理解新知识的目的.
【目标分析】
1.求两直线的交点坐标，由交点坐标判断直线位置关系，培养逻辑推理、直观想象和数学运算素养，如第1题、第4题、第8题、第11题、第12题；
2.考查两点间距离公式及其应用，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第2题、第3题、第5题、第7题；
3.根据两直线的交点求直线方程、用坐标法解决简单几何问题，培养逻辑推理、数学建模和数学运算能力，如第4题、第8题、第13题；
一、填空题
（2023·山东潍坊高二期中）
1．已知点，，那么两点之间的距离等于 .
（2023·福建三明高二期中）
2．经过点和两直线；交点的直线方程为 .
（2023·山东潍坊高二期中）
3．已知点与点间的距离是，则实数 .
（2023·湖北黄石高二期中）
4．已知三条直线和交于一点，则实数的值为 ．
（2023·江西宜春高二期中）
5．在x轴上找一点Q，使点Q与A（5，12）间的距离为13，则Q点的坐标为 ．
（2023·安徽霍邱高二期中）
6．直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为 .
（2023·四川绵阳高二期中）
7．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为 .
（2023·安徽霍邱高二期中）
8．已知两条直线，，若与相交，则实数a满足的条件是 .
（2023·湖南师大附中高二期中）
9．已知，，则S的最小值是 .
（2023·江西景德镇高二期中）
10．已知直线在y轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为
二、解答题
（2023·福建莆田高二期中）
11．判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标.
(1)，；
(2)，.
（2023·四川泸州高二期中）
12．已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为.
(1)求顶点的坐标；
(2)求边所在的直线方程.
（2023·宁夏银川高二期中）
13．已知点.
(1)判断四点能否围成四边形，并说明理由；
(2)已知点D到直线的距离，求的面积.
（2023·安徽安庆高二期中）
14．已知为直角三角形，斜边的中点为，建立适当的直角坐标系，证明：.
【易错题目】第6题 、第8题、第10题
【复盘要点】解含参数的直线交点问题，因为选择不同的运算路径致使运算量有较大差别，而容易出错，需注意一题多解，优化算法..
【典例】（2023·江苏淮安高二期中）已知直线l经过直线和的交点P，且垂直于直线，则直线l的方程为______.
思路点拨 可以求出已知两直线的交点坐标，结合条件求出直线l的斜率，由点斜式写出直线l的方程；也可以设出与直线垂直的直线系方程，把交点坐标代入求解；还可以设出过两直线交点的直线系方程，求出参数即可.
【解析】方法一 由得即点P的坐标为，
因为直线l与直线垂直，
所以直线l的斜率为1，由点斜式得l的方程为，即.
方法二 由得即点P的坐标为，
因为直线l与直线垂直，
所以可设直线l的方程为，
把点P的坐标代入得，解得.
故直线l的方程为.
方法三 直线l的方程可设为（其中为常数），
即，
因为直线l与直线垂直，
所以，解得.故直线l的方程为.
答案
易错警示：解含参数的直线恒过定点问题的策略
（1）方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
（2）方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).
【复盘训练】
（2023·江西九江市高二期中）
15．两直线和的交点在y轴上，则k的值是（ ）
A．-24 B．6 C．±6 D．24
16．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为 ．
（2023·天津市津南区高二期中）
17．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ．
（2023·天津市津南区高二期中）
18．若，且a，b不同时为0，求证：直线必过一个定点.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．3
【分析】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答.
【详解】因为点，，则，所以两点之间的距离等于3.
故答案为：3.
2．
【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解.
【详解】设所求直线方程为，
点在直线上，
，
解得，
所求直线方程为，即．
故答案为：.
3．或
【分析】通过两点之间的距离公式求解即可.
【详解】∵，
∴，解得或；
故答案为：或
4．
【详解】试题分析：与的交点为代入得
考点：直线交点
5．或##或
【分析】根据两点之间距离公式求解.
【详解】设，则有，解得或.
即或.
故答案为：或.
6．
【分析】由两直线垂直可得，联立解方程组可得交点坐标.
【详解】易知直线的斜率为，
由两直线垂直条件得直线的斜率，解得；
联立，解得；
即交点为
故答案为：
7．
【分析】先求BC中点 ，进而得，再求模长即可.
【详解】BC中点为D，，
∴
故答案为：
8．
【分析】在同一个平面内两条直线不平行就相交，由两条直线的斜率关系得到答案.
【详解】直线的斜率为，直线的斜率为.
因为与相交，所以，即.
故答案为：.
9．2
【分析】表示点到点与点的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】表示点到点与点的距离之和，
即，如图所示：
由图象知：，
当点在线段上时，等号成立.
所以取得最小值为2.
故答案为：2.
10．3x＋4y＋12＝0或3x－4y－12＝0
【分析】设直线交x轴于（a，0），结合已知有求a值，再应用截距式写出直线方程.
【详解】设直线与x轴交于点（a，0），与y轴交于点（0，－3），
由题设，解得a＝±4，
故所求的直线方程为或，即3x＋4y＋12＝0或3x－4y－12＝0.
故答案为：3x＋4y＋12＝0或3x－4y－12＝0
11．(1)相交，
(2)重合
【分析】（1）联立方程求出交点坐标；
（2）化简得到，可得两直线重合.
【详解】（1）解方程组，得，
所以这两条直线相交，交点坐标是.
（2）由化为方程可知，
所以有无数多个解，
故与重合，
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据点及斜率求出直线的方程，再和所在直线方程联立可得顶点的坐标；
（2）设，表示出中点的坐标，代入所在直线方程，再结合点在边的高上，解方程组可得点的坐标，进而可得边所在的直线方程.
【详解】（1）由及边上的高所在直线为，
得所在直线方程的斜率为，
则直线的方程为，即.
又所在直线方程为，
由，求得点；
（2）设，又，为中点，则，
由已知得，
解得，
又，则，
化简得直线的方程为.
13．(1)不能，理由见解析
(2)30
【分析】（1）利用斜率判断是否存在三点共线；
（2）点D到直线的距离为中在边上的高，求出即可得到答案.
【详解】（1）由点得，即.
因为且直线与直线有公共点，所以三点共线.
故四点不能围成四边形.
（2）因为点D到直线的距离为中在边上的高，
又，
所以的面积.
14．证明见解析
【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，，可得，利用两点间距离公式表示出，由此可得结论.
【详解】以为坐标原点，以的直角边所在直线为坐标轴建立如图所示平面直角坐标系，

设两点的坐标分别为，.
是的中点，点的坐标为，
由两点间的距离公式得：，
，
.
15．C
【解析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解即可．
【详解】因为两条直线和的交点在轴上，
所以设交点为，
所以，消去，可得．
故选：．
【点睛】本题考查两条直线的交点坐标的求法与应用，考查计算能力，属于基础题．
16．4x＋3y－6＝0
【解析】直接求出两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程．
【详解】由方程组可得P（0，2）．
∵l⊥l3，∴kl=﹣，
∴直线l的方程为y﹣2=﹣x，
即4x＋3y－6＝0．
故答案为：4x＋3y－6＝0
17．
【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程.
【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①．
又直线l的斜率为，则，解得．
将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．
故答案为：.
18．证明见解析
【分析】根据题意，结合条件，代入直线方程计算，即可证明直线过定点.
【详解】证明：因为，且不同时为0，
不妨设，则.
代入直线方程，得，
即，
此方程可视为过直线与的交点的直线系方程(不包括直线).
解方程组，解得，
即两条直线的交点的坐标为.
故直线必过定点.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2.3.1 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式【第一课】
[课标要求]
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会用代数方法判定两直线的位置关系.
3.记住两点间的距离公式并会应用.
[明确任务]
1.求两直线的交点坐标、两点间的距离公式及应用.（数学运算）
2.理解方程组解的个数与两条直线相交、平行或重合的对应关系.（数学建模）
1.直线方程、两直线位置关系的判定
2.二元一次方程组的解法、绝对值的概念、勾股定理
核心知识点1 求两直线的交点
求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系.当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必须满足其它直线.
例1.（1）直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是________.
【答案】(0，2)
【解析】由得
即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是(0，2).
（2）若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为________.
【答案】±6
【解析】法一：联立方程得
消去y得x＝.
由题意知＝0，解得k＝±6.
法二：显然k≠0，在2x＋3y－k＝0中，
令x＝0，得y＝，
在x－ky＋12＝0中，令x＝0，得y＝，
由题意可得＝，解得k＝±6.
归纳总结 两直线交点的交点坐标
1.求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解，就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可.
2.应用：方程解的个数与两条直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
提示：（1）虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.
（2）两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
【举一反三】
1．直线 和无公共点，则a的值为（ ）
A．－1或2 B．0或3
C．－1或0 D．－1或3
2．三条直线，和相交于一点，则m的值为 ．
3．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.
（1）l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
（2）l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
（3）l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
核心知识点2 求过两直线交点的直线方程
例2.求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直
的直线l的方程.
【答案】4x＋3y－6＝0
【解析】法一：由方程组
得即P(0，2)，
设l：4x＋3y＋c＝0，将(0，2)代入，得c＝－6，
∴l：4x＋3y－6＝0.
法二：设l：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，①
∵l3的斜率为，
∴－＝－，得λ＝11，
代入①中，整理得4x＋3y－6＝0.
归纳总结：求过两直线交点的直线方程的方法
（1）方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程.
（2）直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，
最后确定直线方程.
【举一反三】
4．已知直线，．
（1）求直线与交点的坐标；
（2）若直线经过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般方程．
5．若直线经过直线和的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程.
核心知识点3 两点间的距离公式及应用
1.点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
2.原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
提示：（1）此公式与两点的先后顺序无关.
（2）当A，B两点的连线平行x轴时，|AB|＝|x1－x2|；当两点的连线平行y轴时，|AB|＝|y1－y2|.
例3. 计算下列两点之间的距离：
（1）A(2，3)，B(－1，0)；
（2）C(3，－1)，D(5，－1)；
（3）直线y＝2x＋b上横坐标分别为－1，3的E，F两点.
【答案】见解析
【解析】（1）|AB|＝＝＝3.
（2）|CD|＝|3－5|＝2.
（3）法一：由题E(－1，－2＋b)，F(3，6＋b)，
得|EF|＝＝4.
法二：|EF|＝|－1－3|＝4.
归纳总结：1.计算两点间距离的方法
（1）对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝
＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
（2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.
2.若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数.
【举一反三】
6．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则的值为(　　)
A． B． C．3 D．2
7．已知点A(a,3)和B(3,3a＋3)间的距离为5，则a的值为
8．已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值.
核心知识点4 坐标法的应用
坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法.
提示：建系的原则主要有两点：
（1）让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
（2）如果条件中有互相垂直的两条直线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.
例4求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
【答案】见解析
【解析】证明：如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
其中D，E分别为边AC和BC的中点.
设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|.
又由中点坐标公式，
得D，E，
∴|DE|＝＝，
∴|DE|＝|AB|，
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
归纳总结 利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
（1）建立坐标系，用坐标表示有关的量.
（2）进行有关代数运算.
（3）把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
用框图表示如图
提示：用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.
【举一反三】
9．已知的三个顶点的坐标是，，.
(1)判断的形状；
(2)求的面积.
10．已知：等腰梯形ABCD中，，对角线为AC和BD.求证：|AC|=|BD|.
11．下列选项中，正确的有（ ）
A．直线和的交点坐标为
B．直线和的交点坐标为
C．直线和交点坐标为
D．直线和，两两相交
12．已知、，则（ ）．
A． B． C． D．
13．下列各直线中，与直线相交的是（ ）
A． B．
C． D．
14．若轴的正半轴上的到原点与点到原点的距离相等，则的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
15．△ABC的三个顶点是A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是（ ）
A． B．1＋ C．1＋ D．
16．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝ .
17．直线和及轴所围成的三角形的面积为 .
18．若动点P的坐标为，，则动点P到原点的最小值是 .
19．已知两条直线l1：，l2：，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？
20．已知直线和轴、轴分别交于两点，且线段的中点到原点的距离为，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】两直线无公共点，由两直线平行求解.
【详解】当时，这两条直线分别为和，无公共点.
当时，，
解得.
综上，或.
故选：C
2．
【分析】先求出和的交点，再代入中，即可得m的值
【详解】解方程组，得，所以这两条直线的交点坐标为．
由题意知点在直线上，
将代入，得，解得．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求直线的交点坐标，三条直线交于一点，只需要利用其中两条直线的交点也在第三条直线上即可，属于基础题.
3．答案见解析.
【分析】直接将两直线方程联立方程组，根据方程组解的个数判断两直线是否相交.
【详解】（1）方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，-1).
（2）方程组有无数个解，
这表明直线l1和l2重合.
（3）方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
【点睛】本题考查了直线方程的解的个数与直线的位置关系，考查了运算求解能力，属于基础题目.
4．（1）；（2）或．
【分析】（1）联立两直线方程，解方程组，即可得出结果；
（2）根据题意，分截距为和截距不为两种情况，设出直线方程，根据直线过点，即可求出结果.
【详解】（1）由解得，所以直线与交点的坐标为；
（2）因为直线经过点且在两坐标轴上的截距相等，
若截距均为，则直线过原点，又，
所以，直线的斜率为，因此直线的方程为，即；
若截距不为，则可设直线的方程为：，
因为直线过点，所以，即；
因此，直线的方程为；
综上，直线的一般方程为或.
【点睛】本题主要考查求两直线交点坐标，以及求直线的方程，根据解方程组法求交点坐标，由直线的截距式求直线方程即可，属于常考题型.
5．或
【分析】方法一：联立方程得出交点，由截距式设出方程，再由面积公式以及点与线的关系，列出方程组，得出直线l的方程；
方法二：联立方程得出交点，由点斜式设出方程，再由面积公式，列出方程，得出直线l的方程；
方法三：设出直线系方程，并求出与坐标轴的交点，进而由面积得出得出直线l的方程；
【详解】方法一：由
得交点，由题意可知直线在x轴、y轴上的截距均不为零，
故可设直线的方程为.
由题意得，所以 (无解，舍去)或
解得或，
所以直线l的方程为或，
即或.
方法二：由，得交点，
由题意得直线的斜率k存在且，设直线的方程为.
令，得；令，得.
由，解得或.
当时，直线的方程为，即；
当时，直线的方程为，即.
方法三：易知直线与坐标轴围成的三角形的面积，
所以直线的方程不可能是.
故可设直线的方程为 (为常数)，
即.
由题意得，
令，得；令，得.
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积，
所以，解得或.
当时，直线的方程为；
当时，直线的方程为.
6．D
【分析】根据所给的三个点的坐标，利用两点间的距离公式，写出要用的两点之间的距离，代入分式求出两个距离的比值，得到结果．
【详解】∵，，，
∴，，
∴，故选D．
【点睛】本题考查两点间距离公式的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.
7．-1或
【分析】利用两点之间的距离公式求解即可.
【详解】∵点和间的距离为5，
∴，
即，解得或，
故答案为：或.
8．
【分析】通过两点距离公式联立求解即可.
【详解】设所求点为，
则，
，
由得
解得，
所以，所求点，
.
9．(1)等腰直角三角形
(2)26
【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形；
（2）由三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】（1）因为，，，
所以，，
，
所以，
所以是等腰直角三角形.
（2）由（1）得.
10．证明见解析
【分析】根据题设条件建立平面直角坐标系，利用坐标法即可作答.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，在等腰梯形ABCD中，，作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，

设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，因AD=BC，则AF=BE= a-b，则点D的坐标是(a-b，c)，
由两点间的距离公式得：|AC|==，|BD|==，
所以|AC|=|BD|.
11．AD
【分析】通过联立方程组求直线的交点坐标.
【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确；
方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误；
方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误；
方程组的解为
方程组的解为
方程组的解也为
所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确.
故选：AD
12．C
【分析】利用两点间距离公式即可求解.
【详解】因为、，
所以，
故选：C.
13．C
【分析】分别确定直线的斜率，利用两直线相交时，斜率不相等，就可以得出结论．
【详解】解：直线的斜率为：2
与直线相交的直线的方程的斜率不等于2
，，的斜率均为2，的斜率为
故选：C．
【点睛】两直线相交时，斜率不相等，这是判断两直线相交的一种方法，属于基础题．
14．D
【详解】设，
∴，
∴．
故选．
15．A
【分析】根据A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，得到，进而得到点D，E的坐标，再根据利用三角形面积公式求解.
【详解】如图所示：

因为A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，
所以，
所以，
因为，
所以，即
解得，
故选：A
【点睛】本题主要考查两直线的交点坐标，三角形面积问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
16．
【分析】根据两直线垂直得到的值，根据点在直线得到的值.
【详解】由两直线垂直得，解得.
又点在直线上，所以，
所以.
故答案为：
17．9
【分析】分别求出两直线交点坐标和两直线与轴交点坐标，根据三角形面积公式求得结果.
【详解】由得交点坐标为：
又两条直线与轴交点分别为：，
所求三角形面积为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查直线与坐标轴围成三角形面积的求解，关键是能够通过直线求得交点坐标，进而得到面积.
18．##
【分析】利用两点之间距离公式即可判断.
【详解】由两点间的距离公式得P到原点的距离为：
.
故答案为：
19．交点坐标是方程组的解，图像见解析.
【分析】作出直线l1，l2的图象，由点M既在直线l1上，也在直线l2上求解.
【详解】直线l1，l2的图象如图所示.
点M既在直线l1上，也在直线l2上.，
即满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.
即交点坐标是方程组的解.
20．
【分析】根据，，求得的中点为即可解决.
【详解】由题易知，，
直线中，
令，有，则，
令，有，则，
所以的中点为，
因为线段的中点到原点的距离为，
所以，解得.
答案第1页，共2页
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