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2.1.1 倾斜角与斜率【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.考查倾斜角的概念与范围，培养直观想象和数学运算素养，如第1题、第3题、第10题；
2.直线斜率的计算，倾斜角与斜率的关系，直线方向向量与斜率关系，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第2题、第4题、第5题、 第6题、第8题、第9题、第11题、第12题、第15题；
3.运用斜率的几何意义求范围，培养逻辑推理和数学运算能力，如第7题、 第14题、第16题；
一、单选题
（2023·浙江温州高二统考期末）
1．已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
（2023·上海浦东新区上海师大附中高二期末）
2．已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2023·北京顺义高二期末）
3．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
（2023·河南安阳高二期中）
4．已知点，直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽铜陵高二期末）
5．已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（ ）
A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5
（2023·四川宜宾高二期末）
6．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
（2023·河北邯郸高二期末）
7．已知两点，，直线l过点且与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽六安高二期末）
8．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
（2023·湖南衡阳高二期末）
9．已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
（2023·山东青岛高二期末）
10．如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
（2023·江西赣州高二期中）
11．已知直线过两点且倾斜角为，则的值为 .
（2023·安徽安庆高二期末）
12．已知点A的坐标为，在坐标轴上有一点B，若，则点B的坐标为 ．
（2023·山东泰安高二期末）
13．台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过轴（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为 .
（2023·贵州遵义高二期末）
14．一束光射向轴，与轴相交于点，经轴反射，与以连接、两点的线段总有公共点，这束光所在直线的斜率取值范围为 .
四、解答题
（2023·宁夏银川高二期末）
15．（1）设坐标平面内三点 ，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；
（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
（2023·山西太原高二期末）
16．已知坐标平面内三点.
(1)求直线的斜率和倾斜角；
(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)若是线段上一动点，求的取值范围.
【易错题目】第7题、第14题、第16题
【复盘要点】
利用直线斜率的几何意义求最值（或取值范围）要点：
①直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且和是直线上横坐标不相等的两点）；
②在求形如的式子的最值（或取值范围）时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值或取值范围．
典例（2023·安徽亳州高二期末）
17．已知直线l过点且与线段（）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【复盘训练】
（2023·山东青岛高二校考期中）
18．已知两点，，过点的直线与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
（2023·内蒙古呼和浩特高二期末）
19．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北邯郸高二期末）
20．已知函数，且，则，，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2023·江西上饶高二期末）
21．已知实数满足，且，若直线l的方向向量为，则直线l的斜率的取值范围为 ．
（2023·福建三明高二期末）
22．已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围．
（2023·湖北黄石高二期中）
23．已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求的最大值与最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得答案.
【详解】因为是直线的一个方向向量，故直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则 ，
所以 ，
故选：D
2．A
【分析】根据斜率和倾斜角的对应关系，结合充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】由直线的斜率可得，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
3．C
【分析】根据5颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E并确定∠OO3E的大小，即可知AB所在直线的倾斜角.
【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，
∴OO3平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，
过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，
∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.
故选：C
4．C
【分析】根据斜率公式列式计算即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，，
可得直线的斜率为，
可得.
故选：C
5．C
【解析】根据，知直线斜率存在，利用斜率相等求解.
【详解】因为三点，，在同一条直线上，且直线斜率存在，
所以，
解得或
故选：C
6．A
【分析】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，由图可得的范围，即可得答案.
【详解】设直线的倾斜角为，
则有，，
作出()的图象，如图所示：
由此可得.
故选：A.
7．A
【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.
【详解】如图所示，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率．
故选：A．
8．ABD
【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算.
【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点，
设直线的倾斜角为，斜率为，
①若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
②若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
③若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
综上所述：的可能值为.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，数形结合处理问题.
9．ABC
【分析】根据斜率公式求解.
【详解】由题可得，
所以，
结合选项可得实数的可能取值有11,12,13，
故选:ABC.
10．BC
【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.
【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；
故选：BC
11．
【分析】由两点求得得斜率与倾斜角的正切值相等可求得m.
【详解】因直线的倾斜角为，则其斜率，
又由，，
则的斜率，
则有．
故答案为：.
12．或
【分析】设或，根据斜率公式可得或，再根据解出的值即得点B的坐标.
【详解】解：设或，
∴或，
∴或，
∴或，
∴点B的坐标为或．
故答案为：或．
13．
【分析】求点关于轴的对称点，由题意可知三点共线，利用斜率公式，即得解
【详解】设，点关于轴对称的点，
则，，
由题意，三点共线，
，即，解得，故点的坐标为.
故答案为：
14．
【分析】利用直线斜率公式、直线及其对称直线的关系分析运算即可得解.
【详解】解：

由斜率公式，射线的斜率为，
射线的斜率为，
如上图，由题意，一束光射向轴，经轴反射，与线段
始终相交，则射线即与关于对称，射线即
与关于对称，
∴，，
∴这束光所在直线的斜率取值范围为.
故答案为：.
15．（1）1或2；（2）.
【分析】（1）由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果.
（2）根据斜率与倾斜角关系，应用倍角正切公式求直线的斜率.
【详解】（1）由，即，解得或，
经检验均符合题意，故m的值是1或2；
（2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为.
由已知，，则直线的斜率为.
16．(1)斜率为1，倾斜角为；
(2)；
(3).
【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
(2) 设，根据求解即可；
(3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案.
【详解】（1）解：因为直线的斜率为.
所以直线的倾斜角为；
（2）解：如图，当点在第一象限时，.
设，则，解得，
故点的坐标为；
（3）解：由题意得为直线的斜率.
当点与点重合时，直线的斜率最小，；
当点与点重合时，直线的斜率最大，.
故直线的斜率的取值范围为，
即的取值范围为.
17．A
【分析】设线段（）的左右端点分别为，计算出，由此求得的取值范围.
【详解】设线段（）的左右端点分别为，
如图，，，∴.
故选：A
【点睛】本小题主要考查直线的斜率，属于基础题.
18．A
【分析】求出与线段端点所成直线的斜率，即可得直线l的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围.
【详解】由题设，如下图示，
所以，，故，
若直线l的倾斜角，则，
所以.
故选：A
19．B
【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案.
【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，，
可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率，
当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为
故选：B.
20．A
【分析】构造函数，该式表示点和点连线的斜率，结合的图像，即可得答案.
【详解】函数，该式表示的几何意义为点和点连线的斜率，
如图所示：

根据图像知， ，
故选：
【点睛】本题考查指数函数图像的应用，难点在于根据所给形式，构造函数，并根据几何意义进行求解，考查数形结合的思想，属中档题.
21．
【分析】先根据直线的方向向量表示出直线的斜率，再由，且，结合不等式的性质可求出直线l的斜率的取值范围
【详解】直线l的方向向量为，则直线l的斜率，
因为，所以，
因为，所以，所以，
即，
所以，即，
故答案为：
22．
【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可.
【详解】因为、、，
所以，
当，即，此时，，，则的斜率不存在，
此时、、三点能构成一个三角形，
当，即时，，
要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得，
综上可得实数的取值范围.
23．的最小值为，最大值为2.
【分析】将 看成直角坐标系中的线段，而 的几何意义是线段AB上的一点与原点连线的斜率，进而求出的最大值和最小值．
【详解】如图，AB为线段2x＋y＝8(2≤x≤3)，由已知点P(x，y)在线段AB上运动，其中A、B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，的几何意义是直线OP的斜率，因为kOA＝2，kOB＝，所以的最小值为，最大值为2.
【点睛】本题主要考查直线的几何意义，属于中档题．关于 的二元一次方程表示的是直线，而 的几何意义是线段AB上的一点与原点连线的斜率，注意数形结合思想．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2.1.1 倾斜角与斜率【第三课】
扩展1 倾斜角与斜率的关系
分析直线的斜率、倾斜角及其之间的关系时要注意特殊情况，即当直线的倾斜角为时，其斜率不存在的情况．涉及斜率的变化范围时也要注意分倾斜角，，三种情况讨论．同时注意斜率为正时，倾斜角随斜率的增大而增大；斜率为负时，倾斜角也随斜率的增大而增大．但不能笼统地认为倾斜角随斜率的增大而增大．
直线的倾斜角并非总随着直线斜率的增大而增大，即倾斜角随斜率的增大而增大是有限制条件的，当（或）时，倾斜角随斜率的增大而增大．
倾斜角（范围）
斜率（范围） 不存在
例1（2023·湖南永州高二期中）
1．直线经过点，，，则直线倾斜角的取值范围是 .
【方法总结】
（1）由图形直观求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：．
（2）根据直线的斜率求倾斜角时，注意利用进行求解，在求取值范围时，注意结合正切函数的性质求解．
【举一反三1-1】（2023·四川泸州高二期末）
2．若两直线l1，l2的倾斜角和斜率分别为α1，α2和k1，k2，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若α1<α2，则k1B．若α1=α2，则k1=k2
C．若k1D．若k1=k2，则α1=α2
【举一反三1-2】（2023·山西吕梁高二期末）
3．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三1-3】（2023·河北邯郸高二期中）
4．已知直线过点，直线的倾斜角为锐角时的取值范围为 ．
【举一反三1-4】（（2023·福建三明高二期中）
5．若直线k的斜率满足，则该直线的倾斜角α的范围是 ．
【举一反三1-5】（2023·河南郑州外国语学校高二月考）
6．已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是 ．
扩展2 斜率公式几何意义的理解和应用
斜率是从代数角度描述直线倾斜程度的几何量，具有数与形两重含义，深刻理解斜率的概念，是灵活运用斜率解决问题的关键.
例2（2023·福建龙岩高二期末）
7．颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）．
该研究小组得到以下结论，正确的是（ ）
A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高
B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高
C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高
D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低
【方法总结】利用直线斜率的几何意义求最值（或取值范围）注意两点：
①直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且和是直线上横坐标不相等的两点）；
②在求形如的式子的最值（或取值范围）时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值或取值范围．
【举一反三2-1】（2023·湖北襄阳高二期末）
8．已知，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三2-2】（2023·江西景德镇高二期末）
9．点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
【举一反三2-3】（2023·重庆万州高二期末）
10．在平面直角坐标系中有两点，，函数的图象与线段延长线相交（交点不包括，则实数的取值范围是 .
【举一反三2-4】（2023·山东淄博高二期末联考）
11．在线段上运动，已知，则的取值范围是 .
【举一反三2-5】（2023·河南南阳高二期末）
12．已知实数满足，且，若直线l的方向向量为，则直线l的斜率的取值范围为 ．
【举一反三2-6】（2023·辽宁沈阳高二期末）
13．若实数、满足，，则代数式的取值范围为
（1995·全国·高考真题）
14．图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A． B．
C． D．
（2002·北京·高考真题）
15．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·全国·统考高考真题）
16．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
（2013·安徽·高考真题）
17．函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（2004·湖南·高考真题）
18．设直线的倾斜角为，且，则满足
A． B．
C． D．
（2001·上海·高考真题）
19．若直线的倾斜角为，则
A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在
（2004·北京·高考真题）
20．直线（a为常实数）的倾斜角的大小是 ．
（2006·北京·高考真题）
21．若三点，，，（）共线，则的值等于 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．
【分析】根据两点间斜率公式可得斜率，再结合参数范围可得斜率取值范围，进而可得倾斜角范围.
【详解】直线经过点，，
，
，
，
设直线的倾斜角为，则，
得，
故答案为：.
2．D
【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系且，以及图象依次判断即可
【详解】由于直线的倾斜角和斜率满足：且
且图象如下图所示
由图象可知，斜率关于倾斜角不是单调函数，故A，C错误；
令α1=α2=90°，则k1、k2不存在，故B错误；
若k1=k2，必有α1=α2，故D正确.
故选：D
3．B
【分析】求出直线的斜率，结合已知条件求出斜率的范围，然后求解倾斜角的范围．
【详解】解：由题意，
，
，
直线的倾斜角为，则．
．
故选：．
4．
【分析】根据倾斜角为锐角得到，解得答案.
【详解】由于直线的倾斜角为锐角，故，解得.
故答案为：.
5．
【分析】根据斜率范围得到，数形结合求出直线的倾斜角α的范围.
【详解】根据，得到，
结合正切的函数图象可得：.
故答案为：
6．
【分析】确定，得到，解得答案.
【详解】，则，
设直线的倾斜角为，故，
当时，直线的倾斜角；
当时，直线的倾斜角；
综上所述：直线的倾斜角
故答案为：
7．AD
【分析】根据实验数据图表逐个分析选项即可.
【详解】分别将原点与图中各点相连.
设线段的斜率为，根据题意有，
即越小，颗粒物过滤效率越高。
由图可知，；
在第2种口罩的4次测试中，最小，所以第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项A正确；
在第1种口罩的4次测试中，最小，所以第1次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项B错误；
由图知，，所以第3次测试中第2种口罩的颗粒物过滤效率更高，选项C错误；
，所以第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，选项D正确.
故选：AD.
8．A
【分析】首先，得到可以看成点与坐标原点O连线的斜率，再根据图形即可得到答案.
【详解】设，则可以看成点与坐标原点O连线的斜率．
当在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，
如图所示：
又，，所以，即的取值范围是．
故选：A
【点睛】本题主要考查直线的斜率，同时考查了数形结合的思想，属于简单题.
9．BC
【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围.
【详解】由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.
故选：BC
10．
【分析】由题意可得函数过定点，找出两临界点即可得出答案.
【详解】函数过定点.可以旋转（调整斜率，
可知临界点是与直线平行，此时斜率为：；
另一个临界点是两点所在直线的斜率：.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
11．
【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可
【详解】表示线段上的点与连线的斜率，
因为
所以由图可知的取值范围是．
故答案为：
12．
【分析】先根据直线的方向向量表示出直线的斜率，再由，且，结合不等式的性质可求出直线l的斜率的取值范围
【详解】直线l的方向向量为，则直线l的斜率，
因为，所以，
因为，所以，所以，
即，
所以，即，
故答案为：
13．
【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案.
【详解】
如图，，，，
则，.
因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，
由图象可知，，
所以有.
故答案为：.
14．C
【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.
【详解】由图象可得，，
故选：C
15．B
【分析】直线恒过点，结合图象以及交点所在象限可得答案.
【详解】因为直线恒过点，直线与坐标轴的交点分别为;
直线的斜率，此时倾斜角为；
直线的斜率不存在，此时倾斜角为；
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：B.
16．D
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
17．B
【详解】表示到原点的斜率；
表示与原点连线的斜率，
而在曲线图像上，
故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显分别有2、3、4个，故选B.
【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.
18．D
【详解】因为，所以，，
，，．
故选D
19．C
【分析】由题意结合倾斜角的定义确定倾斜角即可.
【详解】绘制直线如图所示，由直线倾斜角的定义可知等于.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查直线方程的理解，直线倾斜角的定义及其确定等知识，意在考查学生的转化能力和概念掌握程度.
20．##
【分析】将直线方程化为斜截式，求出直线斜率，即可得出倾斜角.
【详解】设直线倾斜角为，直线可化为，斜率为，
则，所以.
故答案为：.
21．##0.5
【分析】由三点共线，利用斜率的公式可得，进而可求目标式的值.
【详解】由题知，直线的斜率存在，由三点共线可知.
由得：，即，又，
∴.
故答案为：
答案第1页，共2页
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