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2.4.1 圆的标准方程【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.根据条件求圆的标准方程，培养直观想象和数学运算素养，如第1题、第3题、第5题、第8题、第11题；
2.考查判断点与圆的位置关系，与圆的对称性有关问题，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第2题、第6题、第7题、第9题；
3.与圆有关的最值问题，培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第4题、第10题、第12题.
（2023·湖南邵阳高二期中）
1．已知圆的圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·河南省安阳市三十九中月考）
2．点在圆的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
（2023·黑龙江哈尔滨双城区高二期中）
3．已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（ ）
A． B． C． D．
（2023·广东东莞松山湖学校高二期中）
4．已知点，Q是圆O：上的动点，则线段长度的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
（2023·山西运城·高二校联考期中）
5．已知，则外接圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．5
（2023·广东惠州·高二期中）
6．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
（2023·湖南张家界·高二期中）
7．圆，则（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
（2022·江苏昆山高二期中）
8．设有一组圆，下列命题正确的是（　　）
A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为4
（2023·云南师大附中高二期中）
9．已知半径为1的圆关于直线对称，写出圆的一个标准方程 ．
（2023·福建泉州·高二期中）
10．若实数，满足，那么的最大值是
（2023·江西南昌·高二期中）
11．赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥．如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度和圆拱高表示出赵州桥圆弧所在圆的半径．

（2023·河南洛阳·高二期中）
12．已知点，求
(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；
(2)过点A，B且圆心在直线上的圆的标准方程.
【易错题目】第6题、第7题、第9题
【复盘要点】圆具有良好的对称性，解决问题需关注对称性，并掌握关于点、直线对称的基本算法.
例1.（2023·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果.
由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，
所以圆的标准方程为.
故选：A
易错警示： 解决圆对称性问题的方法
（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置，其半径与已知圆相等．
（2）两圆关于点对称，则对称点为两圆圆心连线的中点．
【复盘训练】
（2023·山东泰安高二期中）
13．方程表示的圆（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
（2023·北京大兴区高二期中）
14．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
（2023·黑龙江哈尔滨双城区高二期中）
15．已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏无锡·高二统考期中）
16．若圆的半径为1,点与点关于点对称,则圆的标准方程为 .
（2023·四川凉山·高二期中）
17．若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是
（2023·四川成都双流中学高二期中）
18．已知点C（-1，-1），以C为圆心的圆与直线x-y-2=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）如果圆C上存在两点关于直线ax+by+3=0对称，求3a+3b的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】设圆心坐标，圆心到圆上一点距离等于半径1得到，即得圆的标准方程.
【详解】设圆心，
则半径，
解得：，
所以圆的标准方程为，
故选：D.
2．A
【分析】点在圆内，则把点的坐标代入圆中，满足，解出结果.
【详解】∵点在圆的内部
∴
解得：
故选：A
3．D
【分析】先给出点的坐标，所求直线应平行于已知直线，且点到这两条直线的距离相等.
【详解】点坐标为，设所求直线方程为
则有
两直线不能重合，
所以
故选：D.
4．C
【分析】利用圆的性质计算即可.
【详解】易知圆心，半径为，且点在圆O外，
所以.
故选：C
5．A
【分析】求和的垂直平分线方程，然后解方程组可得圆心，然后可解.
【详解】依题意可得，线段的垂直平分线方程为，
又的中点为，直线的斜率，
所以线段的垂直平分线斜率为，得方程为，即，
解方程组得，即圆心坐标为，
所以半径．
故选：A

6．B
【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9.
故选：B.
7．ABC
【分析】由圆的方程可确定圆心，由圆心位置和直线是否过圆心可确定各个选项的正误.
【详解】对于A，由圆的方程知其圆心为，则圆关于点对称，A正确；
对于B，由A知其圆心在轴上，则圆关于轴对称，即关于对称，B正确；
对于C，过圆心，圆关于直线对称，C正确；
对于D，不过圆心，圆不关于直线对称，D错误.
故选：ABC.
8．AB
【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径.
对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确；
对于选项B：令，整理得，
因为，可知方程无解，
所以所有圆均不经过点，故B正确；
对于选项C：令，整理得，
因为，可知方程有两个不同的解，
所以经过点的圆有且只有两个，故C错误；
对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误；
故答案为：AB.
9．（答案不唯一，只要圆心在直线上，半径为1，均可）
【分析】根据题意，可知圆心在直线上，半径为1，取满足题意的圆心坐标，即可得出圆的一个标准方程.
【详解】解：由题可知，圆关于直线对称，半径为1，
则圆心在直线上，则当时，，
所以当圆心为，圆的标准方程为.
故答案为：.（答案不唯一，只要圆心在直线上，半径为1，均可）
10．
【详解】解：满足等式（x-2）2+y2=3的图形如下图所示：
表示圆上动点与原点O连线的斜率，
由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值，
连接BC，在Rt△OBC中，BC=，OC=2
易得∠BOC=60°
此时=
11．
【分析】作出示意图如图所示，其中表示跨度，为中点，为圆拱高，以为原点，建立平面直角坐标系，再利用勾股定理即可得解.
【详解】作出示意图如图所示，其中表示跨度，为中点，为圆拱高，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
根据已知条件有，
则圆弧所在圆的圆心在轴的负半轴上，设圆弧所在圆的半径为，
则，解得，
即赵州桥圆弧所在圆的半径为．

12．(1)
(2)
【分析】（1）所求的圆，即以AB为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果；
（2）解法一：求出的垂直平分线的方程是，又圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是，，可得圆的标准方程；解法二：利用待定系数法求解．
【详解】（1）当为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．
即的中点为圆心，半径，
则圆的标准方程为．
（2）解法一：的斜率为，则的垂直平分线的方程是，即，
由圆心在直线上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是．
．
故所求圆的标准方程是．
解法二：待定系数法
设圆的标准方程为，
则
故所求圆的标准方程为．
13．D
【分析】先求圆心坐标，再确定圆心轨迹方程，即可确定选项.
【详解】易得圆心，圆心在直线上，所以该圆关于直线对称.
故选：D
【点睛】本题考查圆的标准方程、圆的对称性，考查基本分析判断能力，属基础题.
14．A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
15．D
【分析】先给出点的坐标，所求直线应平行于已知直线，且点到这两条直线的距离相等.
【详解】点坐标为，设所求直线方程为
则有
两直线不能重合，
所以
故选：D.
16．
【详解】因为点与点关于点对称,所以点C的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为.
故答案为
17．
【分析】由题意，先求得线段的中点坐标，再求得直线的斜率为即可.
【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为，
则线段的中点为，
因为圆和圆关于直线对称，
所以，
所以直线的方程是，即，
故答案为：
18．（1）（x+1）2+（y+1）2=2（2）6
【分析】（1）以C为圆心的圆的方程设为，由直线和圆相切的条件：，（为圆心到直线的距离），即可得到所求圆的方程；
（2）由题意可得直线经过C，再由指数函数的值域和基本不等式，即可得到所求最小值．
【详解】（1）点，以C为圆心的圆的方程设为，
由圆C与直线相切，可得，
则圆C的方程为；
（2）如果圆C上存在两点关于直线对称，
可得直线经过，即有，
可得．
当且仅当时，取得最小值．
【点睛】本题考查圆的方程和应用，考查直线和圆相切的条件和基本不等式的应用：求最值，考查运算能力，属于中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2.4.1 圆的标准方程【第二课】
题型一 求圆的标准方程
例1（2023·北京朝阳区高二期中）求圆心在直线上，且过点，的圆的方程．
【解析】方法一（几何性质法） 设点C为圆心，
∵点C在直线上，
∴可设点C的坐标为．连接CA，CB．
∵该圆经过A，B两点，
∴，，
解得，∴圆心为，半径．
故所求圆的标准方程为．
方法二（待定系数法） 设所求圆的标准方程为，
由题设条件知解得
故所求圆的标准方程为．
方法三（几何性质法）连接AB，则线段AB的中点的坐标为，
直线AB的斜率，
∴弦AB的垂直平分线的斜率为，
∴弦AB的垂直平分线的方程为，即．
又圆心是直线与直线的交点，
由得圆心坐标为，
圆的半径，故所求圆的标准方程为．
【方法技巧与总结】求圆的标准方程的方法
（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆的圆心坐标和半径，进而写出圆的方程．
（2）待定系数法：设出圆的方程，根据条件列出关于三个参数的方程组，解出参数的值，代入即得圆的方程．选用标准方程还是一般方程的原则是：如果已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径建立方程，则通常设圆的标准方程；否则可设圆的一般方程．
【变式训练1-1】（2023·山西朔州高二期中）
1．已知圆C的标准方程为，则与圆C有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】（2023·福建三明高二期中）
2．设圆心在直线与直线上，点在上，则的方程为 ．
【变式训练1-3】（2023·天津塘沽区高二期中）
3．已知圆经过点，两点，且圆心在直线上．则圆的标准方程为 ．
题型二 点与圆的位置关系
例2（2023·江西宜春高二月考）已知圆心为C（1，1）的圆经过点A（4，5），求圆C的标准方程，并判断点P（3，4），与此圆的位置关系．
【解析】方法一：∵圆C的圆心为C（1，1），半径，
∴圆C的标准方程为．
∵，∴点P在圆内．
∵，∴点Q在圆外．
方法二：∵圆C的圆心为C（1，1），半径，
∴圆C的标准方程为．
∵，∴点P在圆内．
∵，∴点Q在圆外．
【方法技巧与总结】判断点与圆的位置关系的方法
（1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
（2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断．
【变式训练2-1】（2023·浙江嘉兴高二期中）
4．已知点，与圆O：，则（ ）
A．点A与点B都在圆O外
B．点A在圆O外，点B在圆O内
C．点A在圆O内，点B在圆O外
D．点A与点B都在圆O内
【变式训练2-2】（2023·山西运城高二期中）
5．若点在圆的内部，则实数的取值范围是
A． B．
C．或 D．
【变式训练2-3】（2023·海南海口·高二期中）
6．已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（ ）
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．在圆外
【变式训练2-4】（2023·广西·桂林高二期中）
7．已知圆，点，若圆上任意一点都满足，则实数的取值范围为 .
【变式训练2-5】（2023·甘肃武威高二期中）
8．已知三角形ABC的三个顶点为，，，
(1)求三角形ABC外接圆的方程；
(2)判断点是否在这个圆上.
题型三 与圆有关的最值问题
例3．（2023·北京大兴区高二期中）已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任意一点.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x－2y的最大值和最小值；
(3)求(x－1)2＋(y－1)2的最大值和最小值.
【解析】 (1)表示圆上的点P(x，y)与点M(1，2)连线的斜率，
设为k，则过点M的圆的切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
由圆心到切线的距离等于半径，可得＝1，
解得k＝，故的最大值为，最小值为.
(2)令t＝x－2y，即y＝t，
表示斜率为、在y轴上的截距为－的直线，
故当此直线和圆(x＋2)2＋y2＝1相切时，t取得最值.
由圆心(－2，0)到直线x－2y－t＝0的距离为半径1，
可得＝1，解得t＝－2－或t＝－2＋，
故t＝x－2y的最大值为－2＋，t＝x－2y的最小值为－2－.
(3)(－2，0)与(1，1)的距离为，
∴(x－1)2＋(y－1)2的最大值为(＋1)2＝11＋2，
最小值为(－1)2＝11－2.
【方法总结】与圆有关的最值问题常见的几种类型
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题；
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
【变式训练3-1】（2023·江苏淮安高二统考期中）
9．圆上的点到点的距离可能为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【变式训练3-2】（2023·广东梅州高二期中）
10．已知实数x，y满足方程，求的最大值和最小值．
【变式训练3-3】（2023·江西赣州高二期中）
11．已知实数x，y满足方程，求的取值范围．
【变式训练3-4】（2023·陕西宝鸡高二期中）
12．在平面直角坐标系中，已知点，，，，为原点，以为直径作圆．
(1)求圆的方程；
(2)设是圆上的动点，求的最大值和最小值．
易错点1 圆的对称性理解不透，造成思路受阻
【典例】（2023·辽宁省营口市期中）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由题意可知圆心在直线上，设圆心坐标为，由求得或，再根据圆的标准方程即可求解.
【解析】∵圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，
∴圆心在直线上．
设圆心坐标为，则由，解得或，
∴圆的标准方程为或．
故选：AD．
易错警示： （1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置，其半径与已知圆相等．
（2）两圆关于点对称，则对称点为两圆圆心连线的中点．
针对训练1-1（2023·大连金州区高二期中）
13．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．
针对训练1-2（2023·江苏扬州·高二期中）
14．圆关于原点对称的圆的方程为 ．
针对训练1-3（2023·四川省成都七中高二期末）
15．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是
易错点2 与圆有关的最值问题解题失策、思路受阻
例2．（2023·山东泰安高二期末）已知x和y满足圆的标准方程．
求：（1）的最值；
（2）圆上一点P与，所围成的三角形的面积的最大值和最小值．
【思路分析】首先观察x，y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，最后结合图形求出其最值．
【解析】（1）表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，
显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，
其平方也相应取得最大值和最小值．
原点O（0，0）到圆心的距离，圆的半径为，
故圆上的点到坐标原点距离的最大值为，最小值为．
因此的最大值和最小值分别为和．
（2）．
由截距式可得直线AB的方程为，
圆心到直线AB：的距离．
因为圆的半径为，
所以点P到直线AB的距离的最大值和最小值分别为，．
所以的最大值和最小值分别为，
．
易错警示：解决与圆有关的最值问题的基本思路
（1）形如形式的最值问题，可转化为过点和（a，b）的动直线斜率的最值问题（需结合直线与圆的位置关系解题）．
（2）形如形式的最值问题，可转化为动直线在y轴上的截距的最值问题（需结合直线与圆的位置关系解题）．
（3）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点（a，b）的距离的最值问题．
（4）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点（a，b）的距离的平方的最值问题．
针对训练2-1（2023·甘肃酒泉高二期中）
16．点在圆上，点，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
针对训练2-2（2023·江苏宿迁·高二统考期中）
17．已知满足，则的取值范围是 .
针对训练2-3（2023·山东潍坊·高二校联考期末）
18．圆上的点到直线的距离的最大值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据题意设出圆的方程，代入点运算可得解.
【详解】根据题意设所求圆的方程为，
代入点，得，
所以所求圆的方程为．
故选：B．
2．
【分析】两直线联立求出圆心坐标，再将点代入圆的方程求出半径即可.
【详解】由题意解得，
设的方程为，将代入得，即，
所以的方程为，
故答案为：.
3．
【分析】根据弦的中垂线过圆心即可求解.
【详解】由题可知,的斜率为,所以中垂线的斜率等于，
且的中点为，所以中垂线的直线方程为
联立解得，
所以圆心，所以圆的半径等于,
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
4．C
【分析】将点，代入圆的方程，根据点与圆位置关系的判断方法，即可得解.
【详解】将代入圆的方程，可得，
所以点A在圆O内；将代入圆的方程，
可得，所以点B在圆O外．
故选：C．
5．A
【分析】利用点到圆心O（-a，a）的距离小于半径4即可得答案．
【详解】∵点在圆O：（x+a）2+（y﹣a）2＝16的内部，
∴|PO|＜4，
∴（2+a）2+（2﹣a）2＜16，
∴a2＜4,
∴﹣2＜a＜2．
故选:A．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，考查理解与运算能力，属于基础题．
6．ABC
【分析】根据条件求圆心和半径，即可求得圆的标准方程，再将点代入圆的方程，即可判断点与圆的位置关系.
【详解】线段的中点坐标为，
又，
因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，
对于A，点代入，所以点在圆上，故A正确；
对于B，点代入，所以点在圆外，故B正确；
对于C，点代入，所以点在圆内，故C正确；
对于D，点代入，所以点在圆上，故D错误.
故选：ABC.
7．
【分析】设点，利用题中条件得到，转化为点到点的距离，进一步得到圆上的点到的距离的最小值大于，列出不等式，解出即可.
【详解】设点，则
即：，则，
设，即，即圆上的点到点的距离的最小值大于，
又圆心，半径，则圆上的点到的距离的最小值为，
故只需，即，
解得：
故答案为：.
8．(1)
(2)点在这个圆上，点不在这个圆上
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入计算即可；
（2）将点的坐标代入圆方程判断即可.
【详解】（1）设三角形ABC外接圆的方程为
由已知可得方程组：解得：，
则圆的方程为.
（2）圆的标准方程化为.
把点的坐标代入圆的方程，得，
即点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上，
把点的坐标代入圆的方程得，
即点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上.
9．B
【分析】求出圆心到点的距离，则距离在之间，选项一一比较即可.
【详解】设圆心为，半径为，坐标为，则，所以距离范围为，即，而5在此范围内，
故选：B.
10．最大值为，最小值为
【分析】根据方程表示以（2，0）为圆心，为半径的圆以及表示圆上的一点与原点距离的平方即可求解.
【详解】方程表示以（2，0）为圆心，为半径的圆．
表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心所连的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图）．
又圆心到原点的距离为，
所以的最大值为，最小值为，
即的最大值为，最小值为．
11．
【分析】根据两点间距离公式模型，结合圆的性质进行求解即可.
【详解】如图所示，
可以看成圆上的点到点的距离．
圆心到点的距离．

由图可知，圆上的点到的距离的取值范围是，
即的取值范围是．
12．(1)
(2)最大值为37，最小值为17
【分析】（1）由题意分别求出圆的圆心坐标和半径，从而得出圆的方程.
（2）设,根据两点间的距离公式得到，结合三角换元从而得出答案.
【详解】（1），的中点为
则，以为直径的圆的半径为
所以圆的方程为：
（2）设，则，设
则
，其中
当时，有最大值37.
当时，有最大值17.
13．A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
14．
【详解】试题分析：圆的圆心关于的对称点为，圆的半径为，所以圆的方程为
考点：圆的方程
15．
【分析】设圆心关于直线对称点，根据垂直和中点在对称轴上这两个条件列方程求出的值，即得对称圆的圆心，再由半径等于1，求出圆的标准方程.
【详解】圆圆心为，半径等于1，
设圆心关于直线对称点，
则有，且，
解得，故点，
由于对称圆的半径与圆的半径相等，
故圆的方程为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查圆的方程与性质解析几何中的轴对称问题，属于中档题. 解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.
16．D
【分析】可判断在圆外，则，计算即可．
【详解】圆的圆心，半径为，
由于在圆外，
．
故选：D.
17．
【分析】将问题转化为圆上动点到定点的距离的平方，从而得解.
【详解】表示圆上的动点与原点的距离的平方，
因为圆的圆心，半径，则，
因为，所以，
则，即，
所以的取值范围为.
故答案为：.
18．
【分析】先求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最大值为.
故答案为：
答案第1页，共2页
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