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2.4.2 圆的一般方程【第二练】
【试题来源】来自名校、重点市区的月考、期中、期末的优质试题.
【试题难度】难度中等，配合第二课的题型训练，加强考点的理解和扩展.
【目标分析】
1.根据二元二次方程判定是否为圆，由圆的一般方程确定圆心和半径；培养直观想象和数
学运算素养，如第1题、第3题、第5题、第7题、第8题；
2. 根据综合条件求圆的一般方程，判断点与圆的位置关系；发展直观想象，逻辑推理和数
学运素养，如第2题、第9题、第12题；
3.求轨迹方程，解决与圆有关的最值问题；培养逻辑推理、直观想象和数学运算能力，如第4题、第6题、第10题、第11题.
（2023·四川南充高二期中）
1．若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023·陕西渭南高二校联考期中）
2．过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山东菏泽高二期中）
3．方程表示圆心在轴上的圆，当半径最小时，方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·天津耀华中学高二期中）
4．已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．6
（2023·广东深圳高二期中）
5．由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2023·浙江杭州·高二校联考期中）
6．已知圆O：和点，点，M为圆O上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南邵阳·高二期中）
7．已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切
（2023·广东广州高二期中）
8．已知圆：，，.若圆上存在点P使，则正数m的可能取值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023·云南师大附中高二期中）
9．圆关于直线对称的圆的标准方程是 .
（2023·江苏扬州·高二统考期中）
10．已知平面内的动点到两定点的距离分别为和，且，则点到直线的距离的最大值为 .
（2023·天津河西·高二统考期中）
11．已知两点为定点，动点到两点的距离比是常数，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
（2003·陕西安康高二期中）
12．在以O为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于0．
（1）求的坐标；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程．
【易错题目】第6题、第10题、第11题
【复盘要点】 与圆有关的最值问题，问题情境较为复杂，涉及的知识点多，方法灵活，综合性较强.既要有几何视角借助相关几何性质、也要有函数或基本不等式观点，处理问题.
例1.（2023·福建福州三中期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，且，点为的中点．
(1)求点的轨迹方程和点的轨迹方程；
(2)若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围．
【答案】(1);
(2)
【分析】（1）利用直接法和相关点代入法求轨迹方程.
（2）借助几何性质，根据代数式的几何意义，应用数形结合思想求解与圆有关的最值问题.
【解析】（1）设，．则，
化简得：，所以点的轨迹方程为；
设，因为点为的中点，所以点的坐标为，
将代入中，得到，
所以点的轨迹方程为.
（2）因为点在（1）的轨迹上运动，所以，
变形为，即点为圆心为，半径为的圆上的点，
则，表示的几何意义为圆上一点到的距离的平方加上，当、、三点共线时，取到最值，
又，所以，
所以，，
故的取值范围是．
易错警示： 与圆有关的最值问题常见的几种类型
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题；
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－截距的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
【复盘训练】
（2023·湖北十堰高二期中）
13．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最小值为是（ ）
A． B．
C． D．
（2022上·四川雅安·高二期中）
14．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，将军从点出发，河岸线所在直线方程为，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（ ）
A． B． C． D．
（2019·辽宁大连金州区高二期中）
15．已知点，点是坐标原点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东泰安高二期中）
16．已知点P是直线：和：（m，，）的交点，点Q是圆C：上的动点，则的最大值是 .
（2023上·河北保定·高二统考期中）
17．已知A，B是圆M：上不同的两个动点，，O为坐标原点，则的取值范围是 ．
（2023·江苏泰州·高二期中）
18．已知，，，且，点．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】运用圆的标准方程即可求解
【详解】方程表示圆，
则，
解得，即的取值范围为.
故选：A.
2．D
【分析】求出过四点，，，中的三点的所有圆的方程可得答案.
【详解】设过点，，的圆的方程为，
所以，解得，
即方程为，或；
设过点，，的圆的方程为，
所以，解得，
即方程为，或；
设过点，，的圆的方程为，
所以，解得，
即方程为，；
设过点，，的圆的方程为，
所以，解得，
即方程为，或，
故选：D.
3．D
【分析】分析得，再化为标准方程，利用二次函数的性质得到半径的最小值即可.
【详解】由题意得，则，
，
则，对称轴为，代入得最小值为，
此时圆的方程为.
故选：D.
4．D
【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为的高的最大值，由此求解出的面积的最大值.
【详解】因为，，所以，
又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为，
所以圆上点到直线的最大距离为，
所以的面积的最大值为，
故选：D.
5．D
【分析】分两种情况写出曲线方程，再做出图像，求出面积.
【详解】
当时，曲线为
当时，曲线
画出图像如上图，
所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积
圆的半径为，两圆对称，
故为
故选：D
6．C
【分析】作出辅助线，由三角形相似得到，当三点共线时，取得最小值，利用两点间距离公式求出最小值.
【详解】取，连接，
则，又，
所以，
又，故∽，
故，从而，
所以，
当三点共线时，取得最小值，
最小值为.
故选：C
7．BCD
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，方程，可化为，
可圆的圆心坐标为，
A中，当时，此时半径为，所以A错误；
B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；
C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；
D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，
又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．
故选：BCD.
8．BCD
【分析】设，根据题意得到，再根据的几何意义得到，从而得到答案.
【详解】圆，圆心，半径，
设，则，，
因为，所以，
即，
因为表示圆上点到原点的距离，
，
所以，即，
故选：.
9．
【分析】求已知圆的圆心坐标关于直线3x﹣4y+5＝0的对称点的坐标，求出半径 即可得到对称圆的方程．
【详解】圆x2+y2+4x﹣12y+39＝0化为：（x+2）2+（y﹣6）2＝1，
圆心O坐标是（﹣2，6），
半径R＝1，
直线3x﹣4y+5＝0，与这条直线垂线的直线方程应该是 yx+c，
将圆心O（﹣2，6）代入方程，
得到经过O点和直线3x﹣4y+5＝0垂直的直线方程是：yx垂足是 a（1，2），
那么对称点O′的坐标是O′（4，﹣2），
所以求出对称圆的圆心坐标 O′（4，﹣2），半径r＝R＝1，
得到对称圆方程：
（x﹣4）2+（y+2）2＝1．
故答案为（x﹣4）2+（y+2）2＝1．
【点睛】本题是基础题，考查对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，本题考查函数和方程的思想，注意垂直条件的应用．
10．
【分析】由题意，结合两点距离公式求得动点的轨迹为圆，再利用圆上的点到直线的距离的最值求法即可得解.
【详解】设动点为，
由题意可得，
整理得，即，
故动点的轨迹是半径为，圆心为的圆，
因为圆心到直线的距离，
所以点到此直线的最大距离为．
故答案为：.
11．答案见解析．
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，设，则求出点轨迹方程，然后由方程确定曲线形状．
【详解】建立如图所示的坐标系，设，设，则

由题意得，所以，
化简得
当时，即，
点的轨迹方程是，其轨迹是直线（轴）；
当且时，点的轨迹方程是，点的
轨迹是以为圆心，为半径长的圆.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）设出要求的向量的坐标，根据所给的模长的关系和直角三角形两条直角边垂直的关系，写出关于向量坐标的关系式，解方程，舍去不合题意的结果，得到向量的坐标．
（2）求出直线的方程以及已知圆的圆心及半径，求出圆心关于直线的对称点，进而可得结果.
【详解】（1）设，则由，，
即，得或，
∵，
∴，得，
∴.
（2）由，得，
于是直线OB方程：，
由条件可知圆的标准方程为：，
得圆心，半径为，
设圆心关于直线OB的对称点为，
则，得，
∴所求圆的方程为.
13．A
【分析】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设，由已知条件应用两点距离公式求P的轨迹方程，进而可得，求出代入配方法求最值可得答案.
【详解】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，则，，
设，因为，所以，
两边平方并整理，得，即，
所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
则，
因为，所以，
由，得，
所以，
由此可知的最小值为．
故选：A.
14．B
【分析】根据题意作出图形，然后求出关于直线的对称点，进而根据圆的性质求出到圆上的点的最短距离即可.
【详解】若军营所在区域为，圆：的圆心为原点，半径为，作图如下：

设将军饮马点为，到达营区点为，设为A关于直线的对称点，
因为，所以线段的中点为，则即，
又，联立解得：，即，所以总路程，
要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离，
即为.
故选：B.
15．C
【分析】求出点的轨迹，把的最大值转化为点到圆心距离加半径，再求出到两个定点距离差的最大值即可作答.
【详解】令点，则，于是，即点的轨迹是直线，
圆的圆心，半径，而点在圆上，则，

因此，令点关于直线对称点，，
则有，解得，即，
因此，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号，
直线方程为，由，解得，即直线与直线交于点，
所以当点与重合时，，.
故选：C
16．
【分析】根据题意分析直线分别过定点，点P的轨迹是以为直径的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】因为直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点P的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆C的圆心，半径，
所以的最大值是.
故答案为：．
17．
【分析】设AB的中点为N，则，求出点的轨迹方程，再结合图象即可得出答案.
【详解】因为，所以圆M的圆心坐标，半径，
设圆心到直线AB的距离为d，由圆的弦长公式，可得，
即，解得，
设AB的中点为N，，
所以点N的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，
所以点N的轨迹方程为，
则，
又因为，所以，
即，即的取值范围为．

故答案为：．
【点睛】关键点点睛：设AB的中点为N，则，求出点的轨迹为圆，将问题转化为圆上的点到圆外一点距离的最值问题，是解决本题的关键.
18．(1)最大值为，最小值为；
(2)最大值为，最小值为0；
(3)最大值，最小值为.
【分析】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求；
（2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算；
（3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算.
【详解】（1）由题意，因为，
所以，
整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆.
所以点到的距离为，
所以的最小值为，最大值为.
（2）设，则 ，
由题意与有交点，
所以，
解得，
所以的最大值为，最小值为0.
（3）设，则
当直线与圆相切时，截距取到最值，
所以，解得或，
所以的最大值为，最小值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2.4.2 圆的一般方程【第二课】
题型一 圆的一般方程
例1判断下列二元二次方程是否表示圆．如果是，请求出圆的圆心坐标及半径．
（1）；
（2）；
（3）．
（1）方程可变形为，表示圆心坐标是（2，0），半径是2的圆．
（2）方程可变形为．当时，方程表示点（0，0）；
当时，方程表示圆心坐标是，半径是的圆．
（3）方程可变形为，即，方程不表示任何图形．
【方法技巧与总结】二元二次方程与圆的关系
一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看是否大于零；二是直接配方变形成圆的标准方程的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数．
【变式训练1-1】（2023·广西河池·高二期中）
1．已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．方程表示圆，且圆的半径为1时，
B．当时，方程表示圆心为的圆
C．当时，方程表示圆且圆的半径为
D．当时，方程表示圆心为的圆
【变式训练1-2】（2023·辽宁鞍山·高二期中）
2．方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】（2023·福建三明高二期中）
3．若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【变式训练1-4】（2023·辽宁沈阳·高二期中）
4．若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆，求:
（1）实数m的取值范围;
（2）圆心坐标和半径.
题型二 求圆的一般方程
例2（2023·江西宜春高二月考）求下列各圆的方程：
（1）圆心在直线上且过M（2，0），两点的圆的方程；
（2）经过，，C（0，6）三点的圆的方程．
【答案】（1）；（2）
（1）设圆的一般方程为，其中，
圆坐标为，因为圆心在直线上且过M（2，0），两点，
所以解得
所以圆的一般方程为．
（2）设圆的一般方程为，其中．
因为经过，，C（0，6）三点，
所以
解得所以圆的一般方程为．
【方法技巧与总结】求圆一般方程的基本方法：
（1）代数法（待定系数法）：若设圆的一般方程，根据已知条件，列出关于D，E，F的方程组，解方程组得到D，E，F的值，写出圆的一般方程．
（2）几何法（数形结合法）：根据已知条件，确定圆的要素，分别求出圆心和半径，然后再写出圆的方程．
【变式训练2-1】（2023·湖北邯郸高二期中）
5．已知的三个顶点为，则下列关于的外接圆圆M的说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心坐标为
B．圆M的半径为
C．圆M关于直线x＋y＝0对称
D．点在圆M内
【变式训练2-2】（2023·福建莆田高二期中）
6．经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】（2023·山西师大附中高二期中）
7．函数的图像与坐标轴交于点A，B，C，则过A，B，C三点的圆的方程为 ．
【变式训练2-4】（2023·安徽铜陵高二期中）
8．已知直线过点，且与轴分别交于点，为等腰直角三角形．
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，点在轴负半轴，求过，，三点的圆的一般方程．
题型三 求轨迹方程
例3．（2023·江苏盐城·高二期末）已知的斜边为AB，且，B（3，0），求：
（1）直角顶点C的轨迹方程；
（2）直角边BC的中点M的轨迹方程．
【思路分析】（1）设出点C的坐标，利用垂直关系直接由斜率之积为列出方程，注意A，B，C三点不能共线；
（2）设出点M的坐标，利用中点关系，建立点M与点C坐标之间的关系，求出轨迹方程．
【答案】见解析
（1）方法一：设顶点，因为，且A，B，C三点不共线，
所以．又，，且，
所以，化简得．
因此，直角顶点C的轨迹方程为．
它表示以（1，0）为圆心，2为半径的圆去掉与x轴的两个交点．
方法二：同方法一得．
由勾股定理得，即，
化简得．
因此，直角顶点C的轨迹方程为．
它表示以（1，0）为圆心，2为半径的圆去掉与x轴的两个交点．
方法三：设边AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知，．又由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，
以2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）．
设，则直角顶点C的轨迹方程为．
它表示以（1，0）为圆心，2为半径的圆去掉与x轴的两个交点．
方法四：由圆的定义知，直角顶点C形成的轨迹在以AB为直径的圆上，
由直径圆方程得轨迹方程为，即．
所以直角顶点C的轨迹方程为．
它表示以（1，0）为圆心，2为半径的圆去掉与x轴的两个交点．
方法五：设顶点，因为，且A，B，C三点不共线，所以．
，，因为，所以，
即，
所以直角顶点C的轨迹方程为．
它表示以（1，0）为圆心，2为半径的圆去掉与x轴的两个交点．
（2）设点，点，
因为B（3，0），M是线段BC的中点，所以，，
于是有，．
由（1）知，点C在圆上运动，
将，代入该方程得，
即．
因此直角边BC的中点M的轨迹方程为，
它表示以（2，0）为圆心，1为半径的圆去掉与x轴的两个交点．
【方法总结】求曲线的轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：它是求曲线方程较重要的方法．可分为以下五个步骤：
①建立适当的直角坐标系，设是所求曲线（轨迹）上的任意一点；
②找出（写出）动点M所满足的条件；
③用坐标表示此条件，得到方程；
④化简所列出的方程；
⑤验证以方程的解为坐标的点都在曲线上．
（2）代入法（相关点法）：主要用于处理一个主动点与一个被动点之间的问题．只需找出这两点坐标之间的关系（用被动点坐标表示主动点坐标），然后代入主动点满足的轨迹方程，便可得到被动点所满足的方程，即得到了所要求的轨迹方程．
（3）定义法：先由已知及曲线定义得到所求轨迹为何种曲线，再由该种曲线的标准方程求得轨迹方程．
注意：求一动点的轨迹除了要求出轨迹方程外，还要说明方程对应什么曲线．
【变式训练3-1】（2023·陕西宝鸡高二期中）
9．当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为 .
【变式训练3-2】（2023·广东梅州高二期中）
10．已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
【变式训练3-3】（湖北鄂西北六校2023高二期中联考）
11．已知圆C经过（2，6），（5，3），（2，0）三点．
(1)求圆C的方程；
(2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程．
易错点1 求圆的一般方程运算失策，造成出错
【典例】（2023·辽宁省营口市期中）已知一圆过，两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的一般方程．
【答案】或．
方法一：待定系数法．
设圆的方程为，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得
令，得．③
由已知可得，其中，是方程③的两根，
∴．④
联立①②④解得或
故所求圆的方程为或．
方法二：几何法．
由题意得线段PQ的垂直平分线的方程为，
∴所求圆的圆心C在直线上．
设其坐标为，则圆C的半径．①
由已知圆C在y轴上截得的线段长为，
又圆心C到y轴的距离为，则，
代入①并将两端平方得，
解得，，∴，，
故所求圆的方程为或，
即或．
易错警示： 不论是圆的标准方程还是一般方程，都必须具备三个独立条件才能确定一个圆，在选择标准方程或一般方程时，如果由已知条件容易知圆心坐标、半径或可用圆心、半径列方程，通常设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，通常选择一般方程. 利用圆的几何性质及数形结合思想易于寻找解题思路.
针对训练1-1（2023·辽宁阜新高二期中）
12．已知圆和两坐标轴的公共点分别为，则的面积为
A．4 B．2 C． D．
针对训练1-2（2023·江苏盐城高二期中）
13．已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，若直线的方程为，圆心C到直线的距离是，则m的值是 .
针对训练1-3（2023·四川绵阳高二期中）
14．在平面直角坐标系Oxy中，二次函数（a，，）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，经过A，B，C三个点的圆记为．求的方程．
易错点2 求轨迹方程问题解题失策、思路不清
例2．（2023·广东东莞高二期末）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.
【答案】见解析
（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则|MA|＝|MB|，
所以，
整理得x2＋y2＝16.
所以动点M的轨迹方程是x2＋y2＝16.
（2）设点N的坐标为（x，y），M的坐标为（x1，y1）.
因为A（2，0），且N为线段AM的中点，
所以x＝，y＝，
则x1＝2x－2①，y1＝2y②.
由（1）知，M是圆x2＋y2＝16上的点，所以M的坐标（x1，y1）满足＝16③，
将①②代入③，整理得（x－1）2＋y2＝4.
所以点N的轨迹是以（1，0）为圆心，半径为2的圆.
易错警示： 求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆及以后要学习到的椭圆、双曲线、抛物线等），可用定义直接求解.
（3）代入法（相关点法）：若动点P（x，y）随着曲线上的另一动点Q（x1，y1）运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将点Q的坐标代入已知曲线的方程，即得动点P的轨迹方程.
针对训练2-1（2023·甘肃酒泉高二期中）
15．设A为圆上的动点，PA是圆的切线，且，求点P的轨迹方程．
针对训练2-2（2023·陕西渭南高二统考期中）
16．已知平面直角坐标系中的点的坐标x，y满足，记的最大值为M，最小值为m.
（1）请说明P的轨迹是怎样的图形；
（2）求值.
针对训练2-3（2023·广东佛山·高二校联考期末）
17．已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和，且圆心C在直线l：上．
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是（5，0），端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．ACD
【分析】若方程表示圆，把一般方程化为标准方程，根据方程成立的条件，验证各选项.
【详解】由题意，方程，可化为，
若方程表示圆，则圆的圆心坐标为，半径，
中，当时，可得，所以正确；
中，当时，此时半径为，所以错误；
中，当时，表示的圆的半径为，所以正确；
中，当时，此时半径大于0，表示圆心为的圆，所以正确；
故选：ACD．
2．D
【分析】先求得圆的标准方程，再转化为一般方程，从而求得.
【详解】以为圆心，为半径的圆的标准方程为，
即，所以.
故选：D
3．A
【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以.
故选：A．
4．（1）；（2）圆心坐标为，半径.
【分析】（1）利用圆的一般方程可得，由此求得的取值范围．
（2）将圆的方程写成标准方程的形式，可得圆心坐标和半径．
【详解】解：（1）方程表示圆，
，
即，解得，
故的取值范围为；
（2）将方程写成标准方程为，
可得圆心坐标为，半径．
5．ABD
【分析】根据待定系数法求出的外接圆方程即可判断AB，根据圆心不在直线x＋y＝0上判断C，根据点与圆心的距离与半径比较判断D.
【详解】设的外接圆圆M的方程为（），
则，解得，
所以的外接圆圆M的方程为，即.
故圆M的圆心坐标为，圆M的半径为，故AB正确；
因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称，故C错误；
因为，故点在圆M内，故D正确.
故选：ABD
6．D
【分析】设圆的一般式方程，由圆心在x轴上，可得圆心纵坐标为，再将两点坐标代入方程，即可得圆的标准方程.
【详解】设圆的方程为，
因为圆心在x轴上，所以，即．
又圆经过点和，
所以即解得
故所求圆的一般方程为．
故选：D
【点睛】本题考查了待定系数法求圆标准方程，属于基础题.
7．
【分析】用圆的标准方程即可求解.
【详解】函数的图像与坐标轴的交点分别为，，，
则线段的垂直平分线为，线段的垂直平分线为．
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径，
所以所求圆的方程为．
故答案为：.
8．(1)或
(2)
【分析】（1）设直线方程为，分别解出两点坐标和，利用解出的值即可；
（2）设圆的一般方程为 ，将点代入解方法组即可.
【详解】（1）因为直线过点，所以设直线为，，
令，得，所以
令，得，所以，
又因为为等腰直角三角形，所以，
得，
解或，
当时直线过原点，不满足题意，
故直线的方程为或，
即或.
（2）由题意可知直线的方程为，即，
设圆的方程为，
将，，代入
得，解得，
所以所求圆的方程为.
9．
【分析】设出点M的坐标，根据已知表示出点P的坐标，再代入圆的方程作答.
【详解】设点，因M是线段的中点，则点，
于是得，即，
所以点M的轨迹方程为.
故答案为：
10．(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解；
（2）设点，，由得，代入圆的方程即得解.
【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，
它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；
（2）设，，由，得，
所以，又点在圆上，故，
所以，化简得的轨迹方程为
11．(1)
(2)
【分析】(1) 设圆C的方程的一般式，代入三点求系数得圆的方程.
(2) 设，表示出点的坐标，将的坐标代入圆的方程即得到点M的轨迹方程.
【详解】（1）设圆C的方程为
则有，解之得，
则圆C的方程为．
（2）设，，
则有，，．
由，可得，解之得
由点A在圆C上，得
即，
故点M的轨迹方程为
12．D
【分析】本题首先可以令解出以及令解出，然后求出圆在轴上截得的弦长以及与轴的公共点，最后求出的面积．
【详解】令，得，解得，
令，得，解得
所以圆在轴上截得的弦长为，与轴的公共点为，
所以的面积为，故选D．
【点睛】本题考查的是圆的相关性质，主要考查圆与两坐标轴的公共点，能否通过圆与两坐标轴的公共点找出的底和高是解答本题的关键，是简单题．
13．
【分析】设出圆的一般方程，根据其所过的点和圆心所在直线列方程组，求出圆的方程，再根据圆心到直线的距离列方程求出m的值即可.
【详解】设圆C的方程为，
由条件，得，解得，
因此圆的一般方程为，
故圆心，因此圆心到直线l的距离，
解得.
故答案为：
14．．
【分析】根据圆的一般方程和二次函数的图象与坐标轴的交点坐标对应的方程关系求解.
【详解】设所求圆的一般方程为，
由题意得（a，，）的图象与两坐标轴的三个交点
即为圆和坐标轴的交点，
令得，，
由题意可得，这与是同一个方程，故，．
令得，，
由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出，
∴的方程为．
15．
【分析】本题主要考查圆的基本概念和两点之间距离公式，利用勾股定理求出点P的轨迹方程．
【详解】设，圆的圆心为B，则，圆的半径为1，由题意得，∴点P的轨迹方程为．
【点睛】本题主要考查圆的基本概念和两点之间距离公式，属于简单题．
16．（1）以为圆心，3为半径的圆；（2）72
【分析】（1）将方程配成标准式，即可得到P的轨迹；
（2）将配方即可得到，设，则，
而，即可得解；
【详解】解：（1）由知，.因此，点P的轨迹是以为圆心，3为半径的圆.
（2），
设，则.
∵ ，.
∴ ，，.
【点睛】本题考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，属于中档题；
17．(1)
(2)．
【分析】（1）利用圆经过的两个点以及圆心所在的直线，结合圆的几何性质求解；
（2）根据中点坐标公式以及圆的标准方程求轨迹方程.
【详解】（1）设点D为线段AB的中点，
直线m为线段AB的垂直平分线，则．
又，所以，
所以直线m的方程为．
由得圆心，
则半径，
所以圆C的方程为．
（2）设点，．因为点P的坐标为（5，0），
所以即,
又点在圆C：上运动，
所以，即，
整理得，
即线段PQ的中点M的轨迹方程为．
答案第1页，共2页
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