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2.3.1 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式【第三练】
【试题来源】来自各地期中期末的联考试题，进行整理和改编；
【试题难度】本次训练试题难度较大，适合学完第三课后，起到提升解题能力和素养的目的.
【目标分析】
1.求两直线的交点坐标，由交点坐标判断直线位置关系，培养逻辑推理、直观想象和数学运算素养，如第1题、第5题、第9题；
2.考查两点间距离公式及距离的最值问题，发展直观想象，逻辑推理和数学运素养，如第3题、第4题、第8题、第10题、第11题；
3.根据两直线的交点求直线方程、求定点，直线对称问题，培养逻辑推理、数学建模和数学运算能力，如第2题、第6题、第7题、第12题、第13题、第15题、第16题；
一、单选题
（2023·江西上饶高二期中）
1．已知直线，是直线l外一点，那么直线（ ）
A．过点P且与直线l斜交
B．过点P且与直线l重合
C．过点P且与直线l平行
D．过点P且与直线l垂直
（2023·海南海口高二期中）
2．台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中．如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过直线（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·黑龙江哈尔滨高二期中）
3．设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P．线段AB中点为Q，则的值为（ ）
A． B． C． D．与m的取值有关
（2023·福建福州高二联考期中）
4．已知函数与的图像相交于，两点，则，两点间的距离为（ ）
A．7 B． C．5 D．1
（2023·河北沧州·高二联考期中）
5．已知，直线：与轴的交点为，：与轴的交点为，与的交点为，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B．16 C． D．
（2023·重庆万州·高二期中）
6．唐代诗人李的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
（2023·辽宁沈阳高二期中）
7．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽安庆高二期末）
8．在平面直角坐标系中，定义两点间的折线距离，该距离也称曼哈顿距离．已知点，若，则的最小值与最大值之和为（ ）
A．0 B． C． D．
二、多选题
（2023·山东临沂·高二统考期中）
9．已知直线与，下列选项正确的是（ ）
A．若，则或
B．若直线不经过第四象限，则
C．直线恒过点
D．若直线在轴上的截距为6，则直线的斜截式方程为
（2023·辽宁大连金州区高二期末）
10．已知函数，设曲线在第一象限内的图像为E，过O点作斜率为1的直线交E于，过点作斜率为的直线交x轴于，再过点作斜率为1的直线交E于，过点作斜率为的直线交x轴于，…，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示．给出下列四个结论，其中正确的是（ ）

A．的长为
B．点的坐标为
C．与的周长之比是
D．在直线左侧有2023个三角形
三、填空题
（2023·湖南长沙·高二期中）
11．写出一个同时满足下列条件①②的点的坐标 .
①该点的横、纵坐标均为正整数；
②该点到点的距离比到点的距离大4.
（2023·福建莆田·高二校考期中）
12．已知两点，和直线，则直线恒过定点 ；若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是 .
（2023·浙江温州·高二校联考期中）
13．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为 ．
（2023·北京大兴区·高二统考期中）
14．我们把横、纵坐标均为整数的点叫做“格点”，且把顶点都是格点的凸多边形称做“格点多边形”，已知“格点多边形”的面积公式为（其中m为多边形边上的格点数，n为多边形内部的格点数），则由直线围成的格点三角形边上的格点数 ，面积 ．
四、解答题
（2023·江西九江高二期中）
15．已知动点到轴的距离等于它到轴的距离的2倍.
(1)求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形：
(2)直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，求直线的方程：
(3)直线与曲线交于两点，且，求直线的方程.
（2023·安徽铜陵高二期中）
16．已知直线的方程分别是，点的坐标为．过点的直线的斜率为，且与分别交于点的纵坐标均为正数
(1)若，且为线段中点，求实数的值及的面积；
(2)是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由．
【易错题目】第2题、第6题、第7题
【复盘要点】 与直线有关的对称问题
与直线有关的对称问题，包括点关于直线对称、直线关于点对称及直线关于直线对称.问题情境较为复杂，涉及的知识点多，方法灵活，综合性较强.
典例（2023·四川眉山高二期中）已知直线，求：
(1)点关于直线的对称点坐标；
(2)直线关于直线对称的直线的方程；
(3)直线关于点对称的直线的方程.
【分析】 (1)设出点关于直线的对称点，构建方程组求解；(2)注意到两直线相交，对称直线过此交点，然后取直线上一点，求出关于直线的对称点，从而求出对称直线方程；(3)在直线上取两点，求出它们关于点的对称点，进而求出直线方程.
【解析】　(1)设点关于直线的对称点为，
则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线，
即，解得
∴点的坐标为.
(2)解方程组，得
则点在所求直线上. 在直线上取一点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得
∴点也在所求直线上.
由两点式得直线方程为，
化简得直线方程为.
(3)在直线上取两点，，
则关于点的对称点为
∵点在所求直线上，∴由两点式得直线方程为，
即.
易错提示：与直线有关的对称问题
1. 点关于点对称
点关于点的对称点可利用中点坐标公式求得，
由，得
2. 点关于直线对称
设点关于直线的对称点为，则线段的中点在已知直线上且直线与已知直线垂直.
即解此方程组可得，即得点的坐标.
3. 直线关于点对称
直线关于点的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点关于点的对称点的坐标，则直线的方程即所求的直线方程.
4. 直线关于直线对称
(1)若已知直线与已知对称轴相交，则交点必在与直线对称的直线上，然后求出直线上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线的方程；
(2)若已知直线与已知对称轴平行，则直线关于对称轴对称的直线与直线平行，可以利用直线与对称轴间的距离等于直线与对称轴间的距离求解.
1.直线关于点的对称
【复盘训练】
（2022·山东菏泽高二校联考期中）
17．一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2023·四川雅安·高二期末）
18．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P（如图11）．若光线QR经过的重心，则Q的坐标等于（ ）

A． B．
C． D．
（2022上·云南·高二校联考阶段练习）
19．如图，已知，，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川绵阳高二期中）
20．直线上一点P到与的距离之差的绝对值最大，则P的坐标为 .
（2023·福建三明高二期中）
21．以为一个顶点，试在x轴上找一点B，直线l：上找一点C，构成，则的最小周长为 .
（2023·江西宜春高二期末）
22．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是 .
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据f（x0，y0）为常数，得到两直线方程中x与y的系数相同，常数项不相等，得到两直线的位置关系是平行.
【详解】解：在直线外，所以，
方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同，
它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行，
又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行.
故选：C
2．B
【分析】求得点关于的对称点坐标，由此可得直线方程，将方程与联立即可求得点坐标.
【详解】点关于对称的点为，
直线的方程为：，即，
由得：，点的坐标为.
故选：B.
3．A
【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解.
【详解】由于经过的定点为，所以，
直线变形为，所以经过定点，故，
且两直线垂直，因此为直角三角形，所以，
故选：A

4．C
【分析】作出两个函数图像，去绝对值，联立方程，求得，两点的坐标，再由两点间距离公式，得解．
【详解】在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，如下所示：
联立，解得，，即点，，
联立，解得，，即点，，
所以．
故选：．
5．A
【分析】根据题意分别求得的坐标，从而根据可求得四边形的面积，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为直线：，：都过点，
所以点的坐标是.
在中，令，得，所以，
在中，令，得，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立.
所以当时，四边形的面积取最小值为.
故选：A.
6．C
【分析】利用直线方程及坐标，确定关于的对称点的坐标，则是“将军饮马”的最短路程，利用两点距离公式求距离即可.
【详解】若是关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为，
∴，解得，即.
∴.
故选：C
7．B
【分析】根据直线方程求出、坐标，然后分和两种情况讨论，利用直线垂直的条件可证两直线垂直，从而得出，再利用基本不等式求得的最大值即可得解.
【详解】解：对直线：，当时，则直线过定点，
对直线：，当时，则直线过定点，
当时，如上图，直线为，直线为， 则交点，
此时，，∴；
当时，如上图，直线的斜率为，直线的斜率为，
∵，∴，则是直角三角形，
∴，
又∵，
且，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最大值为.
故选：B.
8．B
【分析】由题意得，．令，作出所表示的平面区域，而表示点到原点的距离的平方，即可求得的最小值与最大值之和.
【详解】由题意得，．令，
作出所表示的平面区域如图中实线所示，
则，而表示点到原点的距离的平方，
结合图形可知的最小值为2，最大值为4，故的最小值与最大值之和为，
故选：B．
9．CD
【分析】由可得，或.代入的方程检验，即可判断A项；分以及，列出关系式，求解即可判断B；由，即可得出定点；直线过点，代入得出，化为斜截式，即可得出答案.
【详解】对于A项，由可得，或.
当时，直线可化为，
直线，此时，满足；
当时，直线，
直线，可化为，此时重合，不满足，舍去.
所以，，故A错误；
对于B项，当时，直线可化为，不经过第四象限；
当时，将直线化为，.
要使不经过第四象限，则应有，所以.
综上所述，当时，直线不经过第四象限，故B错误；
对于C项，直线可化为，
由可得，，所以直线恒过点，故C正确；
对于D项，由已知可得，直线过点，
所以有，所以.
直线的方程为，化为斜截式方程可得，故D正确.
故选：CD.
10．BC
【分析】依次联立直线与曲线方程，归纳可得，，，，，，，的坐标，进而判断各选项即可.
【详解】由，可得，则，
由，可得，则，
所以，故A错误；
由，可得，则，故B正确；
由，可得，则，
以此类推，可得，，
所以，，
，，
所以的周长为，
的周长为，
所以与的周长之比是，故C正确；
因为，所以在直线左侧有2024个三角形，故D错误.
故选：BC.
11．（答案不唯一，或任写一个即可）
【分析】设该点为，由已知条件根据两点距离公式列式并化简计算得，再由，，从而得答案.
【详解】设该点为，则，
即，
即，即
且，化简计算得.
又，，所以该点为或.
故答案为：（答案不唯一，或任写一个即可）
12．
【分析】根据直线的点斜式方程，结合直线的斜率公式进行求解即可.
【详解】空一：，该直线的斜率为，
所以直线恒过；
空二：如下图所示：

因为，
所以当直线与线段AB有公共点时，则有，或，
则实数的取值范围是，
故答案为：；
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用数形结合思想进行求解.
13．
【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合进行求解.
【详解】，
可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差.
，
所以的最大值为.
故答案为：
14． 6 6
【分析】根据题意画出图形，由图形可求出，从而可求出，
【详解】直线围成的图形如图所示，
由，得，即，
由，得，即，
由，得，即，
由图可得还有点在多边形边上，
所以格点三角形边上的格点数，
三角形内部的格点有，共4个，即，
所以，
故答案为：6，6
15．(1)，它表示两条直线.
(2)
(3)或
【分析】（1）设点，由求解即可.
（2）运用中点坐标公式可求得点、坐标，结合直线点斜式方程求解即可.
（3）分别求出点、坐标，结合两点间距离公式计算即可.
【详解】（1）设点，由题意知，，即，
所以动点的轨迹C的方程为，它表示两条直线.
（2）由（1）知，不妨设，，如图所示，

则，解得，
所以，，
所以，
所以直线方程为，即.
（3）不妨设直线与的交点为，与的交点为，
由，即，
由，即，，
所以，化简得，
解得或，即或，
所以直线方程为或.
16．(1)，面积为
(2)存在；
【分析】（1）由直线的方程为，联立方程组分别求得点的坐标，结合题意，列出不等式组，求得，进而求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解；
（2）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，由（1）求得，得到，进而得到结论.
【详解】（1）解：因为直线 l过点，且斜率为，所以直线的方程为，
因为直线与分别交于点，所以 ，
由 ，解得 ，即 ，
由 ，解得 ，即，
又因为的纵坐标均为正数，所以 ，即，
因为 ，所以
若时，，，
又因为点为线段中点，所以解得，
所以，，所以，的面积．
（2）解：假设存在满足题意的 ，使得的值与无关，
由（1）知：， 且
因此，，
所以
因为 ，所以当时，为定值，
所以存在实数，使得的值与无关．
17．D
【分析】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.
【详解】入射光线所在的直线方程为，即，
联立方程组解得即入射点的坐标为．
设P关于直线对称的点为，
则解得即．
因为反射光线所在直线经过入射点和点，
所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，
即．
故选：D
18．B
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线与直线的解析式，即可得出Q的坐标.
【详解】由题意，如图建立直角坐标系：

则，直线方程为即，
三角形重心为即，
设，关于直线对称点为，
则，解得
由光的反射可知四点共线，又，
所以直线斜率为，
则直线方程为，且过重心，
即，整理得，解得舍去，，
∴直线的解析式：，即，
∵直线与直线交于点，
∴，解得：，即.
故选：B.
19．A
【分析】求出关于的对称点和它关于y轴的对称点,则就是所求的路程长.
【详解】易知直线AB的方程为，设点关于直线AB的对称点为，
则解得即．
又点关于y轴的对称点为，
由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长．
故选：.
20．
【分析】求出B点关于关于l的对称点的坐标，结合点P到与的距离之差的几何意义，确定当三点共线时，最大，即可求得的方程，联立，即可求得答案.
【详解】设点B关于l的对称点的坐标为，连接，

则，即，所以①．
因为的中点在直线l上，
所以，即②．
由①②得，所以点的坐标为．
于是所在直线的方程为，即．
又，
当且仅当三点共线时，最大．
所以联立直线l与的方程即，解得，
即l与的交点坐标为，
故点P的坐标为．
故答案为：
21．
【分析】求点关于x轴与直线l：的对称点，连接，由对称性可知，的周长为，其最小值为.
【详解】如图所示，令，分别为点关于x轴与直线l：的对称点，
并连接，，，则点的坐标为，

设点的坐标为，则，解得，于是点的坐标为.
由于，
因此的最小周长为.
故答案为：
22．4
【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，
所以，
当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，
所以的最小值是4，
故答案为：4
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2.3.1 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式【第三课】
扩展1 与直线交点有关的综合问题
与两直线交点有关的问题，设问角度较多，如求交点坐标，根据交点位置求参数范围，由交点个数判定直线位置关系，求过交点的直线方程，用交点确定直线过定点等问题. 问题解决多样较为灵活，需进行专题训练.
例1（2024·江苏无锡太湖高级中学高二期中）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或 B．若，则
C．若，两条直线的交点为 D．若直线不过第二象限时，有
【答案】BC
【分析】由得出重合判断A；由垂直关系判断B；求出交点判断C；由判断D.
【解析】对于A：当时，直线，重合，故A错误；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时，由，解得，
即两条直线的交点为，故C正确；
对于D：当时，直线不过第二象限，故D错误；
故选：BC
【方法总结】与直线交点有关问题解题策略
1.两直线交点的交点坐标
（1）求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解，就是这两条直线的交点坐标.
（2）应用：方程解的个数与两条直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
2.求过两直线交点的直线方程的方法
(1)方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程.
(2)直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，
最后确定直线方程.
3.过定点问题的方法
（1）任给直线方程中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是直线（直线方程中含有参数）所过的定点，从而问题得解．
（2）分项整理，将直线方程化为的形式，则方程组的解即所求定点的坐标．
（2023·山东聊城·高二统考期中）
1．已知直线：，直线：，则（ ）
A．当时，两直线的交点为 B．直线恒过点
C．若，则 D．若，则或
（2023上·江苏南京师大附中高二期中）
2．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是 .
（2023·安徽芜湖高二期中）
3．直线：关于直线：的对称直线方程为 ．
（2023·北京大兴区高二期中）
4．下面三条直线不能构成三角形，请给出一个符合题意的的值 .
（2023·广东广州华南师大附中高二期末）
5．已知直线．
(1)直线是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.
(2)求点到直线的距离的最大值．
扩展2 与两点间距有关的最值问题
与两点间距离有关的最值问题，问题情境较为复杂，常常涉及函数、基本不等式、几何性质等，方法灵活，综合性较强.
例2（2023·广东广州·高二联考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．已知x，y满足，则的最大值为
C．已知x，y满足，则的取值范围是
D．已知x，y满足，则的最大值为0
【答案】A
【分析】函数表示到点和的距离之和，计算距离得到A正确，举反例得到BCD错误，得到答案.
【解析】对选项A：，
表示到点和的距离之和，最小值为，正确；
对选项B：取，满足条件，此时，错误；
对选项C：取，满足条件，此时，错误；
对选项D：取，满足条件，此时，错误；
故选：A
【方法总结】与两点间距有关的最值问题基本思路
1.根据两点间距离公式，建立函数关系式，运用函数性质，求最值.
2.根据两点间距离公式建立关系式，根据关系式特点联系基本不等式或几何性质求最值.
（2023·陕西西安市田家炳中学高二期中）
6．可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏盐城高二期末）
7．直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．4
（2023·安徽铜陵高二期末）
8．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ．
（2023·内蒙古·包头高二期中）
9．已知为直线上的一点，则的最小值为 ．
（2023·福建福州高二校联考期中）
10．已知点分别在直线：与直线：上，且，点，则的最小值为 ．
（江西·高考真题）
11．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=
A．2 B．4 C．5 D．10
（湖北·高考真题）
12．已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（ ）
A． B． C． D．4
（全国·高考真题）
13．已知长方形的四个顶点、、、，一质点从的中点沿与的夹角的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．若与重合，则（ ）
A． B． C． D．
（全国·高考真题）
14．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）
A．（0，1） B． C． D．
（2023·江苏淮安二模）
15．在中，设点，利用二次函数知识可确定出到的3个顶点距离的平方和最小的点为的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
（2023·海南海口二模）
16．设，若函数图象上任意一点满足，则 .
（江苏·高考真题）
17．在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是
（江苏·高考真题）
18．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝ (x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为 ．
（全国·高考真题）
19．有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图）
(1)若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？
(2)若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．ABC
【分析】求出两直线的交点判断A，求出直线过定点坐标即可判断B，根据两直线垂直、平行求出参数，即可判断C、D.
【详解】对于A：当时直线：，直线：，由，
解得，所以两直线的交点为，故A正确；
对于B：直线：，令，解得，即直线恒过点，故B正确；
对于C：若，则，解得，故C正确；
对于D：若，则，解得或，
当时直线：，直线：两直线重合，故舍去，
当时直线：，直线：，两直线平行，
所以，故D错误；
故选：ABC
2．
【分析】首先求出两直线的交点坐标，设所求直线方程为，代入交点坐标求出的值，即可得解.
【详解】由，解得，
所以直线与的交点为，
设所求直线方程为，则，解得，
所以所求直线方程为.
故答案为：
3．
【分析】由三条直线交于一点，再找一个对称点，两点式求直线方程.
【详解】设直线关于直线对称的直线为，由，解得，
则点在直线上；
在直线上取一点，设其关于直线对称的点为，
则，解得，即，
所以直线的方程为，即．
故答案为：
4．（或或）
【分析】根据，或过和的交点求解即可.
【详解】当直线时，，得；
当直线时，，得；
解方程组得直线和的交点为，
当直线过点时，，解得.
综上，当或或时，三条直线不能构成三角形.
故答案为：（或或）
5．(1)存在，定点为
(2)
【分析】（1）根据题意得到，再求解即可.
（2）根据当时，点到直线的距离的最大，即可得到答案.
【详解】（1）直线，
，令，即直线恒过.
（2）当时，点到直线的距离的最大，
.
6．B
【分析】函数变形，设，，，则表示的几何意义为的长，作出辅助线，由几何关系得到最小值，得到答案.
【详解】，
设，，，
故表示的几何意义为的长，
如图所示，取点关于轴的对称点，连接，
则的长即为的最小值，即最小值为.
故选：B
7．B
【分析】求出两直线的交点坐标，结合两点间的距离公式得到，进而可以求出结果.
【详解】因为与的交点坐标为
所以，
当时， ，
所以的最大值是，
故选：B.
8．
【分析】根据直线方程得到，，，根据勾股定理得到，然后根据不等式求最值即可.
【详解】直线可得，
直线可整理为，令，解得，
所以，
因为，所以直线与直线垂直，则，
所以点的轨迹为以为直径的圆，
，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
9．
【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可.
【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和，
即．
设关于直线对称的点为，
则解之得即．
易得，当三点共线时，取到最小值，
且最小值为．

故答案为：.
10．
【分析】根据平行线间距离公式可得，设，，由两点间距离公式可表达出，结合几何意义以及图形即可求解最小值.
【详解】由平行线距离公式得：，
设，则，
所以
，
设点，如下图：
则有：
即当三点共线时等号成立)，
综上，．
故答案为：
11．D
【详解】试题分析：将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，，那么，那么，故选D．
考点：1．坐标系；2．两点间距离．
【方法点睛】本题考查了向量法解决平面几何的问题，属于中档题型，而向量法又分是用向量代数表示，还是用坐标表示，经分析用坐标表示，那如何建坐标系？题设只说是直角三角形，所以就以直角顶点为原点建立坐标系，两条直角边落在坐标轴上，这样就可以设各点的坐标，转化为两点间距离求值．坐标法解决平面几何的问题，很多时候会事半功倍．
12．D
【分析】首先设点的坐标，再根据条件列出，利用向量的坐标相等，即可求解点的坐标，代入直线方程求.
【详解】设，且，
则，得，解得：,
代入直线，，得.
故选：D
13．C
【分析】取点、，则、、三点共线，、、三点共线，求出直线、的方程，联立这两条直线的方程，可得出点的坐标，进而可求得的值.
【详解】如下图所示：
由题意可知点，取点、，
则、、三点共线，、、三点共线，
且直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以，直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，即点，
因为点在直线上，所以，，解得.
故选：C.
14．B
【分析】先求得直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时b，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有b．
③若点M在点A的左侧，
则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 （1﹣b） |xN﹣xP|，
即（1﹣b） ||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 （1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得 b＞1，
故有1b．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．
15．A
【分析】设点，根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设点，其中，
则
当且时，取得最小值，
此时点为重心.
故选：A.
16．2
【分析】根据题意结合两点间距离公式分析运算.
【详解】因为点在函数图象上，则，即，
又因为，
则，
整理得，
由于对恒成立，则，解得.
故答案为：2
17．4
【分析】利用两点间的距离公式、基本不等式求解.
【详解】如图所示，因为 P在函数图像上，
所以设，又因为Q与P关于原点对称，所以，
所以≥=16，
当且仅当，即时等号成立，所以.
故答案为：4.
18．－1或
【详解】试题分析：设点，则
令
令
（1）当时，时取得最小值，，解得
（2）当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值
，解得
综上可知：或
所以答案应填：-1或.
考点：1、两点间的距离公式；2、基本不等式；3、一元二次函数的性质.
19．(1)
(2)当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中
【分析】（1）设出的坐标，表示出至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论；
（2）记，表示出至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论．
【详解】（1）解：由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为
所以，当时，函数取得最小值．
则点的坐标是
（2）解：记
至三镇的最远距离为
由解得，记，
于是
当，即时，
因为在，上是增函数，而在，上是减函数．
所以时，函数取得最小值．点的坐标是
当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值．
则当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中
答案第1页，共2页
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