资源简介 每周七题（1）1.已知函数，，（1）求实数a的值；（2）求函数在的值域。解法1：，即：，………………………..2分解得：；。……………………………..3分（2）由（1）得： ……………….…..5分 ………….…………7分，…………………………………………..8分令，则，…10分，即…………………………….12分解法2：，即：，………………………..2分解得：；。……………………………..3分（2）由（1）得： ……………….…..5分 ………….…………7分，…………………………………………..8分令，则，…10分，即…………………………….12分解法3：(1)……………………….2分，即：，………..4分解得：； 。……………………………..5分（2）由（1）得：或…………………………………7分 以下同解法1或解法2。2.某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖。求：（1）同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；（2）如该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a的值。解：（1）设掷两颗正方体骰子所得的点数记为（x，y），其中，则获一等奖只有（6，6）一种可能，其概率为：； …………2分获二等奖共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5种可能，其概率为：； …………5分设事件A表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：P（A）=； …………6分ξ30-a-70030p（2）设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为,,0,,…7分其分布列为：则：Eξ=； …………11分由Eξ=0得：a=310，即一等奖可设价值为310 元的奖品。 …………12分3.已知平面，，与交于点，，，（1）取中点，求证:平面。（2）求二面角的余弦值。解法1:(1)联结，∵，，AC=AC∴，………………………………….2分∴为中点，……………………………………..3分∵为中点，∴，………………………………………….4分∴平面…………………………………….5分（2）联结，∵，∴在等边三角形中,中线，…………6分又底面， ∴，∴，………………………………….7分 ∴平面平面。…………………….8分过作于，则平面，取中点，联结、，则等腰三角形中，，∵，∴平面，∴，∴是二面角的平面角……………….10分等腰直角三角形中，，等边三角形中，，∴Rt中，，∴，…………12分∴.∴二面角的余弦值为。……………….14分 解法2：以分别为轴，为原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵∴，…………………………………2分∴是等边三角形，且是中点，则、、、、、…………………………………………4分（1）…………………5分∴，∴，∴平面………………….………7分（2）设平面的法向量分别为，.………9分则的夹角的补角就是二面角的平面角；……………….………10分∵，，，由及得，，….………12分，∴二面角的余弦值为。….……………………………………………14分4.已知椭圆的方程为双曲线的两条渐近线为和，过椭圆的右焦点作直线，使得于点，又与交于点，与椭圆的两个交点从上到下依次为（如图）.(1)当直线的倾斜角为，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；(2)设，证明：为常数. 解：（1）由已知，，…………………2分解得:， …………………4分所以椭圆的方程是:. …………………5分（2）解法1：设 由题意得: 直线的方程为: ,直线的方程为: ,………………7分则直线的方程为: ,其中点的坐标为; ………………………8分由 得: ,则点; ………9分由 消y得:,则; 10分由得:,则:,同理由得:, …………………………………………………12分故为常数. ……………………………………………………………………14分解法2：过作轴的垂线，过分别作的垂线，垂足分别为，…6分由题意得: 直线的方程为: ,直线的方程为: ,………………8分则直线的方程为: ,其中点的坐标为; ………………………9分由 得: ,则直线m为椭圆E的右准线; ………10分则: ,其中e的离心率; …………………………12分, 故为常数. ………………………………………………………………14分5.已知是方程的两个实数根,函数的定义域为.(1)判断在上的单调性,并证明你的结论;(2)设,求函数的最小值.解：（1）在上为增函数…………………………………..1分∵，∴，……….…………….3分∵ 当时，……………………………….4分∴ 当时，，∴当时，，…………………………..5分∴，∴在上单增。………………………6分（2）由题意及（1）可知，，，…………………7分∴……..8分∵，∴，……………..9分，∴…………………………………………………..10分令则∴，……………………………………………11分∵………………………………..…….12分∴在单增，……………………………………..……………..13分∴当时，。………………………………………………..14分6.已知函数,不等式对恒成立,数列满足:, , 数列满足:;(1)求的值;(2)设数列的前和为,前的积为,求的值.解：（1）方程有两实根或…………………………..1分由题意知:当时,，又∵ ∴…………………………………………….3分∴是的一个零点，同理，也是的一个零点，…………………….4分∴，即，，显然，对恒成立。∴，…………………………………………………………………….6分（2）∵，，∴，……………………………..7分∴，，， ∴，………………………………………………………..…..9分……………...10分又∵…………….12分∴ ………….13分∴，∴为定值。………………………..14分7．已知函数：． （1）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立； （2）当f(x)的定义域为[a+,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]； （3）设函数g(x)=x2+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 ．解（1）证明：．∴结论成立 ………………………………………………………………………………4’（2）证明：当，， ，，∴． 即．………………………………………………………………8’（3） ①当．如果 即时，则函数在上单调递增，∴ ． 如果．当时，最小值不存在．……………………………………………………10’②当 ， 如果．如果． 当．．……………………………………………12’综合得：当时， g（x）最小值是；当时， g（x）最小值是 ；当时， g（x）最小值为；当时， g（x）最小值不存在． ………………………………………………14’ 每周七题（10）1一台仪器每启动一次都随机地出现一个10位的二进制数，其中A的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为，例如：，其中，，记。当启动仪器一次时，（1）求的概率；（2）求，且有3个1连排在一起其余无任2个1连排在一起的概率。2. 我国自造的一艘邮轮自上海驶往法国的马赛港，沿途有n个港口（包括起点上海和终点马赛港），游轮上有一间邮政仓，每停靠一港口便要卸下前面各港口发往该港的邮袋各一个，同时又要装上该港发往后面各港的邮袋各一个，试求：（Ⅰ）游轮从第k个港口出发时，邮政仓内共有邮袋数是多少个？（Ⅱ）第几个港口的邮袋数最多？最多是多少？3. 数列中，，前10项和为185，且满足 （n∈N）（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若从数列中依次取出第2项、第4项、…、第项、…，按原来的顺序排成一个新的数列，求此数列的前n项和，并求的值；（Ⅲ）设 ， ，是否存在最大的整数m，使得任意n (n∈N)均有总成立，若成立，求出m值；若不存在，请说明理由。4．抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然。如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后，又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点N，再反射后又射回点M。（1）设P、Q两点的坐标分别是，证明：。（2）求抛物线方程。5. 已知：正三棱柱A1B1C1—ABC中，AA1=AB=a,D为CC1的中点，F是A1B的中点，A1D与AC的延长线交于点M，(Ⅰ)求证：DF∥平面ABC；(Ⅱ)求证：AF⊥BD；(Ⅲ)求平面A1BD与平面ABC所成的较小二面角的大小.6.已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A(－1，2)、B(3，2)在双曲线上.(1)求点F2的轨迹方程；(2)是否存在直线l:y=x+m与点F2的轨迹有两个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由.7.如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成的角的正切值；（Ⅲ）若，当为何值时，． 每周七题10参考答案1.答:（1）；（2）（注：分三类1110---；110---；10---）2. 设游轮从各港口出发时邮政仓内的邮袋数构成一个数列 （Ⅰ）由题意得： 2分 在第k个港口出发时，前面放上的邮袋共：个 4分 而从第二个港口起，每个港口放下的邮袋共：1+2+3+…+（k－1）个 6分 故 即游轮从第k个港口出发时，邮政仓内共有邮袋数个 8分（Ⅱ） 当n为偶数时，时，最大值为 10分当n为奇数时，时，最大值为. 12分所以，当n为偶数时，第个港口的邮袋数最多，最多是个； 当n为奇数时，第个港口的邮袋数最多，最多是个 14分3. 解：（Ⅰ）是等差数列，, （Ⅱ）设新数列为，则 ∴ （Ⅲ），递增，，∴ ∴ 4．解（1）由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点设，代入抛物线方程得：， （6分）（2）由题意知，设点M关于直线的对称点为，则有：，由此得，又P，F，Q三点共线，即．抛物线方程为．（14分5. .(Ⅰ)证明：取AB中点E，连EF、CE，∵F为AB中点，∴EF∥AA1∥CC1，且EF=AA1=CC1. ∵D为CC1中点，∴CD=CC1.又AA1∥CC1,∴EF∥CD且EF=CD，∴四边形EFDC为平行四边形，∴DF∥CE.∵DF面ABC，∴DF∥面ABC. (Ⅱ)证明：∵A1A=AB，F为A1B中点，∴AF⊥A1B. ,∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥CE.又DF∥CE，∴DF⊥AA1. ∵A1ACC1，B1BCC1为正方形，D为CC1中点,∴A1D=BD，∴DF⊥A1B. ∴DF⊥面AA1B，∴DF⊥AF.∴AF⊥面A1BD，∴AF⊥BD. (Ⅲ)解：∵CD∥AA1，∴CD=AA1，D为A1M中点，又F为A1B中点，∴DF∥BM.由(Ⅱ)知DF⊥面AA1B，∴BM⊥面AA1B，∴BM⊥A1B，BM⊥AB.∴∠A1BA为平面A1BM与面ABC所成二面角的平面角.即∠A1BA为平面A1BD与平面ABC所成的二面角的平面角.∵A1ABB1为正方形，∴∠A1BA=45°即为所求二面角大小.6.已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A(－1，2)、B(3，2)在双曲线上.(1)求点F2的轨迹方程；(2)是否存在直线l:y=x+m与点F2的轨迹有两个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由.解：(1)∵F1(1，0)，∴由题意,得||F1A|－|F2A||=||F1B|－|F2B||. (*)∵A(－1，2)，B(3，2)，∴|F1A|=2，|F1B|=2，设点F2的坐标为(x,y),①当(*)取|F1A|－|F2A|=|F1B|－|F2B|时，则有|F2A|=|F2B|，∴x=1.②当(*)取|F1A|－|F2A|=|F2B|－|F1B|时，则有|F2A|+|F2B|=4＞|AB|=4.∴F2的轨迹表示椭圆=1.∵F1,F2不重合，∴除去点(1，0).∵A、B两点到两焦点距离不等，∴除去点(1,4).③综上，F2的轨迹方程为x=1(y≠0,y≠4)和=1(y≠0,y≠4). 8分(2)F2的轨迹如图所示，当直线l与椭圆相切时符合题意，由消y，得3x2+(4m－10)x+2m2－8m+1=0,由Δ=0，得m=1±2. 14分7.(Ⅰ)证明：因为，，所以为等腰直角三角形，所以． ……1分因为是一个长方体，所以，而，所以，所以． ……3分因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得．…4分(Ⅱ)解：过点在平面作于，连接．……5分因为，所以，所以就是与平面所成的角．……6分因为，，所以． ……7分所以与平面所成的角的正切值为． ……8分(Ⅲ)解：当时，． ……9分当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以． ……10分而，与在同一个平面内，所以． ……11分而，所以，所以． ……12分方法二、方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长，则有，，，． ……2分于是，，，所以，．……3分所以垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得． ……4分(Ⅱ)，所以，而平面的一个法向量为．…5分所以． ……6分所以与平面所成的角的正弦值为． ……7分所以与平面所成的角的正切值为． ……8分(Ⅲ)，所以，．设平面的法向量为，则有，令，可得平面的一个法向量为． ……10分若要使得，则要，即，解得．…11分所以当时，． ……12分 每周七题（11）1.直角坐标平面内到点和直线的距离相等的动点M的轨迹为C，过原点作斜率为1的直线交C于一点（），过作斜率为的直线交C于另一点，过作斜率为的直线交C于另一点，过作斜率为的直线交C于另一点．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）试求出的值；（3）依照上述作直线的方式可以一直作下去，试写出直线的作法，你能否发现这些点列的坐标或中点坐标(可以仅仅是横坐标或纵坐标)的变化规律，请你进一步提出某些一般性结论，并给予研究论证．2.已知（），设，，…，且。（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：。3．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且 （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ 4. （本小题满分12分）已知数列{an}的首项a1＝1，前n项的和Sn满足关系式（）（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使，（n＝2，3，4，……），求bn；（3）求的和。5.在平面直角坐标系中，已知（－3，0）、（3，0）、P（x，y）、M（，0），若实数使向量、、满足求P点的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；(2).当时，过点且斜率为1的直线与（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x＝－9上找一点C，使为正三角形。6.有A、B两个盒子，A中有6张卡片，其中1张写0,2张写1,3张写2，B中有7张卡片，其中4张写0,1张写1,2张写2，从A中抽取1张，B中取2张，求：（1）3张卡片数字之积的分布列; (2) 3张卡片数字之积的期望。7.抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，（Ⅰ）求定点N的坐标；（Ⅱ）是否存在一条直线同时满足下列条件：① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；② 被圆N截得的弦长为．每周七题十参考解答1.解：（1） （4分）（2）各点的横坐标为： (8分)（3）过作斜率为的直线交抛物线于另一点， (9分)则一般性的结论可以是：点 的相邻横坐标之和构成以为首项和公比的等比数列（或：点无限趋向于某一定点，且其横（纵）坐标之差成等比数列；或：无限趋向于某一定点，且其横（纵）坐标之差成等比数列，等）(12分)证明：设过点作斜率为的直线交抛物线于点由 得或； 点的横坐标为，则 于是两式相减得： = 故点无限逼近于点 同理无限逼近于点 2.【略解】（Ⅰ）（）； （Ⅱ）； （Ⅲ）不妨设，则 。3.解:（1）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC. 3分 又∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF, ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 6分（2）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC. 8分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴ 10分由AB2=AE·AC 得 故当时，平面BEF⊥平面ACD. 12分4.解：（1），得 同理 又 为以1为首项，公比为的等比数列 （2） 是以1为首项，公差为的等差数列 ……9′（3）由知和是以1和为首项，公差为的等差数列……10′ ……12′5.解：（1）由已知可得………1分即P点的轨迹方程是………3分当且,即时，有P点的轨迹是椭圆。当时，方程为的轨迹是圆。，即时，方程为 P点的轨迹是双曲线。，即时，方程为y＝0, P点的轨迹是直线。………7分（2）过点且斜率为1的直线方程为y＝x＋3………8分当时，曲线方程为由得………10分从而………12分设C（－9，y），因为是正三角形，，即，无解，所以在直线x＝3上找不到点C，使是是正三角形………14分6.解:用表示所取卡片的数字之积，则取值为0，2，4，8 （2分）P（=0）=P（=2）=P（=4）=P（=8）= （6分）所以的分布列为0248P （10分）∴E= （11分）答：3张卡片数字之积的期望值为 （12分）7.解：（1）因为抛物线的准线的方程为所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点， -----------2分所以定点N的坐标为 ----------------------------3分（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在， -----------4分设的方程为， ------------------------5分以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为， ----6分方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， -------7分即，解得， -------------------------------8分当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！ --------------9分当时，的方程为 ----------------------------10分由，解得点A坐标为， ------------------11分由，解得点B坐标为， ------------------12分显然AB中点不是，矛盾！ ----------------------------------13分所以不存在满足条件的直线． ------------------------------------14分方法2：由，解得点A坐标为， ------7分由，解得点B坐标为， ------------8分因为AB中点为，所以，解得， ---------10分所以的方程为，圆心N到直线的距离， -------------------------------11分因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ----13分所以不存在满足条件的直线． -------------------------------------14分方法3：假设A点的坐标为，因为AB中点为，所以B点的坐标为， -------------8分又点B 在直线上，所以， ----------------------------9分所以A点的坐标为，直线的斜率为4，所以的方程为， -----------------------------10分圆心N到直线的距离， -----------------------------11分因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ ---------13分所以不存在满足条件的直线． ----------------------------------------14分 每周七题（12）1．对于实数，规定：表示不超过的最大整数. 则方程=的解集（以弧度为单位）是 _________________2．（本小题满分12分） 在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A1AB=60°. （Ⅰ）求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1； （Ⅱ）求直线A1C与平面BCC1B1 所成角的正切值； （Ⅲ）求点C1到平面A1CB的距离.3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC的外接圆半径，且满足（Ⅰ）求角B和边b的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足关系式(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4(t≠－2，t≠0，n＝1，2，3，…) (1)当a1为何值时，数列{an}是等比数列. (2)在(1)的条件下，设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}使b1＝1，bn＝f(bn－1)(n＝2，3，4，…)，求bn；(3)在(2)条件下，如果对一切n∈N＋，不等式bn＋bn＋1＜恒成立，求实数c的取值范围．5．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，且Sn＋1＝4an＋2，a1＝1(n＝1，2，…)．(1)设bn＝an＋1－2an，求数列{bn}的通项公式bn；(2)设Cn＝，求证数列{Cn}是等差数列；(3)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn．6．设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y，总有f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1．(1)求f(0)的值；(2)证明：当x＜0时，f(x)＞1；(3)证明：f(x)在R上单调递减；(4)若M＝{y|f(y)·f(1－a)≥f(1)}，N＝{y|f(ax2＋x＋1－y)＝1，x∈R}，且M∩N≠φ，求a的取值范围．7.已知点A（1，0），B（0，1），C（1，1）和动点P（x，y）满足的等差中项. （1）求P点的轨迹方程； （2）设P点的轨迹为曲线C1按向量平移后得到曲线C2，曲线C2上不同的两点M，N的连线交y轴于点Q（0，b），如果∠MON（O为坐标原点）为锐角，求实数b的取值范围; （3）在（2）的条件下，如果b=2时，曲线C2在点M和N处的切线的交点为R，求证：R在一条定直线上.每周七题12参考答案1． 2．解：（Ⅰ）∵四边形BCB1C1是矩形， ∴BC⊥BB1，又∵BC⊥AB， ∴BC⊥平面A1ABB1，∴平面CA1B⊥平面AA1BB1， …………4分（Ⅱ）过A1作A1D⊥BB1于D，连接DC，BC⊥平面A1ABB1，∴BC⊥A1D，∴A1D⊥平面C1B1BC，∵∠A1CD为直线A1C与平面C1B1BC所成的角，∴ …………8分（Ⅲ）由棱柱定义知B1C1//BC，∴B1C1//平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离，∵四边形A1ABB1是菱形，连AB1交A1B于O，∴B1O⊥A1B， ∵平面CA1B⊥平面A1ABB1，∴B1O⊥平面A1BC，∴B1O即为C1到平面A1BC的距离. 又已知AB=4，∠A1AB=60°，∴在菱形A1ABB1中，B1O=，∴C1到平面A1BC的距离为. 3.解：（Ⅰ）由已知，整理得， 即∵A+B+C=180°，∴，∴sinA=2sinAcosB，又∵， ∵ ∴B=60°， b=3 （Ⅱ）由余弦定理，得 ……8分∴，即ac≤9，（当a=c=3时，取“=”）， ∴，△ABC的面积的最大值为4．解．(1)(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4 ①n≥2时，(2＋t)Sn－tSn－1＝2t＋4 ②两式相减：(2＋t)(Sn＋1－Sn)－t(Sn－Sn－1)＝0，(2＋t)an＋1－tan＝0，＝．即n≥2时，为常数．当n＝1时，(2＋t)S2－tS1＝2t＋4，(2＋t)(a2＋a1)－ta1＝2t＋4，解得a2＝．要使{an}是等比数列，必须＝ ．∴＝，解得a1＝2． (2)由(1)得，f(t)＝，因此有bn＝，即＝＋1，整理得＋1＝2(＋1)．则数列{＋1}是首项为＋1＝2，公比为2的等比数列，＋1＝2·2n－1＝2n，bn＝．(3)把bn＝，bn＋1＝代入得：＋＜，即c＞＋，要使原不等式恒成立，c必须比上式右边的最大值大．∴＋＝＋＝＋＋，单调递减．∴＋的值随n的增大而减小，则当n＝1时，＋取得最大值4．因此，实数c的取值范围是c＞4．4．解：(1)∵Sn＋1＝4an＋2，Sn＋2＝4an＋1＋2相减得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)bn＋1＝2bn，又b1＝a2－2a1＝3，∴bn＝3×2n－1． (2)cn＋1－cn＝－＝＝＝，∴{cn}是等差数列． (3)c1＝，∴cn＝(3n－1) ∴an＝2n·cn＝2n·(3n－1)＝(3n－1)·2n－2，S1＝a1＝1n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n－1＋2满足S1，故Sn＝(3n－4)·2n－1＋2．6．解：(1)显然，f(x)不恒等于0，令x＝1，y＝0时，得f(0)＝1；(2)令y＝－x≥0则1＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)，即f(－x)＝．由题0＜f(－x)＜1 ∴f(x)＞1；(3)设x1＜x2，则x2－x1＞0，由题得(2)知f(x)＞0．∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]＜0 ∴f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在R上单调递减；(4)由已知及(3)得：M＝{y|y≤a}，N＝{y|y＝ax2＋x＋1，x∈R}显然，当a≤0时，M∩N≠φ当a＞0时，N＝{y|y＝a(x＋)2＋1－，x∈R}要使M∩N≠φ，必须1－≤a．即4a2－4a＋1≥0a∈R故所求的a的取值范围是a∈R．7．（1）由题意可得则又的等差中项整理得点的轨迹方程为（2）由（1）知又平移公式为，代入曲线C1的方程得到曲线C2的方程为：即 ,曲线C2的方程为. 如图由题意可设M，N所在的直线方程为，由令 点M，N在抛物线上又为锐角………10分（3）当b=2时，由（2）可得求导可得抛物线C2在点处的切线的斜率分别为，在点M、N处的切线方程分别为由解得交点R的坐标满足点在定直线上每日一题七（13）1.已知公比为的等比数列与数列满足 判断是何种数列，并给出证明；若2.;已知函数存在极值.（Ⅰ）如果函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）设函数的极小值为，证明：.3. 命题甲: R, 关于x的方程有两个非零实数解; 命题乙: R, 关于x的不等式的解集为空集; 当甲、乙中有且仅有一个为真命题时, 求实数a的取值范围. 4.已知△ABC中，，求：角A、B、C的大小。5.甲、乙、丙分别独立解一道数学题，已知甲做对这道题的概率是甲、丙两人都做错的概率是乙、丙两人都做对的概率是（Ⅰ）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三人恰有一人做对的概率。6. 已知函数。（Ⅰ）若上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若是的极值点，求在上的最大值。（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b，使得函数的图像与函数的图像恰有三个交点？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，说明理由。7．已知定义在R上的函数满足：对于任意实数，恒有，且当时， （1）求证：当时，有； （2）试判断在且R上的单调性，并证明你的结论； （3）若实数x、y满足：，且，求z=x+y 的取值范围.每周七题13答案1. 解（1）所以是以为公差的等差数列. ……………………………………6分（2） 所以由等差数列性质得故 ……………………………………14分2. 解：（Ⅰ）当时，，函数在定义域区间和上分别为增函数，不存在极值（或：当时，，函数不存在极值），与题设不符；故 .法1：当时，法2：令 解得或故当时，函数的增区间为要函数在区间上单调递增，有，解这个不等式得，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，. 当时，，函数的减区间为，故函数只在区间上有一个极小值.当时，（或）法1：又 ，法2：另一方面，法3：令，则3. 解：当甲真时，设 ，即两函数图象有两个交点. 则当乙真时，时 满足 或 也满足 则 ………12′ ∴当甲乙有但仅有一个为真命题时，即或 ∴ ………14′4.解： 得 ∴ ∵ ∴ 又0则, 即由得即亦即∴得, 从而 ………10′ 则所求的角, , . ………12′5. 答:（1）, (2)6. 答:（1）；（2）a＝4，最大值为；（3）7．解:（1）证： 设 …………………………………（4分） （2）解：设 在R上单调递减.……………………………………………………（8分） （3） ①………（10分） 又 ②………（11分） 如图，同时满足①、②的点（的集合如阴影所示， ∴Z∈[4，6]………………………………（14分） 每周七题(2)1． 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ. （Ⅰ）证明：λ＝1－e2；（Ⅱ）若，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；（理科无此问） （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是. 所以点M的坐标是（）. 由即 证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以 因为点M在椭圆上，所以 即 解得 （Ⅱ）当时，，所以 由△MF1F 2 的周长为6，得 所以 椭圆方程为 （Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 设点F1到l的距离为d，由 得 所以 即当△PF1F 2 为等腰三角形.解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，设点P的坐标是，则由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2，化简得 从而于是. 即当时，△PF1F2为等腰三角形.2．半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为边向外作正三角形ABC.问B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值.18．解：设∠AOB=θ，由余弦定理得AB2=OB2+OA2－2·OB·OAcosθ=5－4cosθ，∴四边形OACB的面积为：当时，S有最大值.3．已知函数在定义域上为减函数，且能使对于任意的x∈R成立．求m的取值范围.解：在定义域上为减函数，4． 若中，a，b，c分别是的对边，且，求；若，的面积为，求b+c的值。解：（1）由得：，可得：，，。 （2），。由①得：对于任意的，上式总成立，必须即可由②得：∴对于任意的x∈R，要②总成立，只须上式要成立，必须：综上所述，当时，对于任意的x，原命题总成立5． 某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得，记。求的概率；若前两次均出现正面，求的概率。解：（1），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为则（2）6次中前两次均出现正面，要使，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面。设其概率为。 6．曲线有极小值，当处有极大值，且在x=1处切线的斜率为.（1）求；（2）曲线上是否存在一点P，使得y=的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.解:f′(x)=3ax2+2bx+c ∵当x=1±时 f(x)有极小值及极大值∴f′(1±)=0 即1±为3ax2+2bx+c=0两根∴b=－3a , c=－6a 又∵f(x)在x=1处切线的斜率为（2）假设存在P(x0, y0)，使得f(x)的图象关于P中心对称，则f(x0+x)+f(x0－x)=2y 0 即－(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x－(x0－x)3+(x0－x)2+x0－x=2y0化解得∵对于任意x∈R等式都成立 ∴x0=1, y0=.易知P（1，）在曲线y=f(x)上.∴曲线上存在P（1，）使得f(x)的图象关于中心对称 7．已知函数 .（1）求及的值；（2）是否存在自然数，使对一切都成立，若存在，求出自然数的最小值；不存在，说明理由；（3）利用（2）的结论来比较和 的大小．解（1）；．（2）假设存在自然数,使对一切都成立.由,得 ， 当时，不等式显然不成立． 当时，，当n=1时，显然, 当时，= 成立，则 对一切都成立． 所以存在最小自然数。 （3）． 由（），所以，，……，，相乘得 ，∴ 成立． 每周七题（3）1. 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中原有的白球的个数；（II）求取球两次终止的概率；（III）求甲取到白球的概率.解:(I)设袋中原有个白球,由题意知可得或(舍去)，即袋中原有3个白球。(II)记“取球两次终止” 的事件为，则。(III) 记“甲取到白球”的事件为，“第次取出的球是白球”的事件为。因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次取球和第5次取球，∴。因为事件两两互斥，∴2.过定点M（1，0）作曲线的切线切点为Q1，设Q1点在x轴上的投影是点R1，又过点P1作曲线c的切线切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是R2…，依此下去，得到一系列点Q1，Q2，…，Qn，…，设点Qn的横坐标为（1）求证：数列是等比数列；（2）设,试比较与的大小(写出推导过程) (3) 求证: ；证明（1），若切点是Qn(an,anp)，则切线方程是当n=1时，切线过点P（1，0）即，得；………………………2分当n>1时，切线过点即得………………………………………………………4分所以数列是首项为,公比为的等比数列，,…………………………………………………………………………5分 (2)∵则两式相减，………………7分得，…………8分………………………………（10分）(3)……………12分………………………………（14分）法二.用数学归纳法证明酌情处理3. 对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称为的“滞点”。已知函数f ( x ) = .（I）试问有无“滞点”？若有求之，否则说明理由；（II）已知数列的各项均为负数，且满足,求数列的通项公式;（III）已知,求的前项和。解:解：（I）令 解得 即f(x)存在两个滞点0和2 （II）由题得，①故②由②-①得，，即是等差数列，且 当n=1时，由 (III)③④由④-③得4.圆锥曲线C的一个焦点为F（2，0），相应的准线是直线，以过焦点F并与轴垂直的弦为直径的圆截准线所得弦长为2。（Ⅰ）求圆锥曲线C的方程；（Ⅱ）当过焦点F的直线的倾斜角在何范围内取值时，圆锥曲线C上有且只有两个不同的点关于直线对称？解：(Ⅰ) 设过焦点F并与轴垂直的弦为直径的圆为圆C/，圆M与曲线C在第一象限的交点为A，圆C/与直线 正方向的交点为B。 ∵圆C/截直线的弦长为2∴，∴ …………(2分)由圆锥曲线的第二定义，对于曲线C上的任意点，有 … (4分) 整理得圆锥曲线C的方程为 …… (6分)（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，，此时双曲线C上无任何两点关于直线对称；当直线的倾斜角为时，，此时双曲线C关于直线对称，除顶点外，对双曲线上任一点都存在双曲线上另一点关于直线对称，不合要求。……(8分)当时，设，设P、Q两点是双曲线C上关于直线的对称点，PQ中点为T，直线PQ的方程为，…………(9分)由由由韦达定理及中点坐标公式，求得T点坐标又T点在直线上，∴ ，整理得：…………(12分)（1）（2）联立得：。∴直线的倾斜角的范围是。…………(14分)5.过定点M（1，0）作曲线的切线切点为Q1，设Q1点在x轴上的投影是点R1，又过点P1作曲线c的切线切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是R2…，依此下去，得到一系列点Q1，Q2，…，Qn，…，设点Qn的横坐标为（1）求证：数列是等比数列；（2）设,试比较与的大小(写出推导过程) (3) 求证: ；证明（1），若切点是Qn(an,anp)，则切线方程是当n=1时，切线过点P（1，0）即，得；………………………2分当n>1时，切线过点即得………………………………………………………4分所以数列是首项为,公比为的等比数列，,…………………………………………………………………………5分 (2)∵则两式相减，………………7分得，…………8分………………………………（10分）(3)……………12分………………………………（14分）法二.用数学归纳法证明酌情处理6、对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称为的“滞点”。已知函数f ( x ) = .（I）试问有无“滞点”？若有求之，否则说明理由；（II）已知数列的各项均为负数，且满足,求数列的通项公式;（III）已知,求的前项和。解:（本小题满分14分）解：（I）令 解得 即f(x)存在两个滞点0和2 （II）由题得，①故②由②-①得，，即是等差数列，且 当n=1时，由 (III)③④由④-③得7.圆锥曲线C的一个焦点为F（2，0），相应的准线是直线，以过焦点F并与轴垂直的弦为直径的圆截准线所得弦长为2。（Ⅰ）求圆锥曲线C的方程；（Ⅱ）当过焦点F的直线的倾斜角在何范围内取值时，圆锥曲线C上有且只有两个不同的点关于直线对称？解：(Ⅰ) 设过焦点F并与轴垂直的弦为直径的圆为圆C/，圆M与曲线C在第一象限的交点为A，圆C/与直线 正方向的交点为B。 ∵圆C/截直线的弦长为2∴，∴ …………(2分)由圆锥曲线的第二定义，对于曲线C上的任意点，有 … (4分) 整理得圆锥曲线C的方程为 …… (6分)（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，，此时双曲线C上无任何两点关于直线对称；当直线的倾斜角为时，，此时双曲线C关于直线对称，除顶点外，对双曲线上任一点都存在双曲线上另一点关于直线对称，不合要求。……(8分)当时，设，设P、Q两点是双曲线C上关于直线的对称点，PQ中点为T，直线PQ的方程为，…………(9分)由由由韦达定理及中点坐标公式，求得T点坐标又T点在直线上，∴ ，整理得：…………(12分)（1）（2）联立得：。∴直线的倾斜角的范围是。…………(14分) 每周七题（4）1．已知函数，数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列（q≠1，），若，，．（1）求数列{}和{}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为，对都有… 求Sn解析：（1）数列{}为等比数列， ∴ ．为等比数列， 又∵ ， ∴ ，解得d＝2，． ∴ ．又∵ 为等比数列，∴ ． 而 ，∴ ∵ ，，∴ ，．∴ ． （2）由… ① … ② ①-②得．∴ ． 对于，，，知其为等比数列． ∴ 2.如图所示，曲线段OMB ： 在点（即点M）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，且BA轴于A，(I)试用t表示切线PQ的方程；(II)求QAP的面积g（t）的最大值. 同时指出g（t）在（m ，n）上单调递减时的最小值。解：（I）K= = 2 t,切线方程为 y–t 2 = 2t(x-t), 即y = 2 t x - t2 ( 0 < t < 6 ) … 3分(II)在切线方程中令y = 0得 x = … 5分 函数在上单调递增；在上单调递减 … 10分依题知的最大值是6，故 的最小值是 3. 设函数f(x)的定义域为[－1，0]∪(0，1)，且f(－x)＝－f(x)恒成立，当x∈(0，1)时，．(1)求当x∈[－1，0]时，f(x)的解析式；(2)若f(x)在[－1，0]上为增函数，求实数a的取值范围；(3)若f(x)在区间[－1，0]上的最小值为12，求a的值．解析：(1)x∈[－1，0)，则－x∈(0，1]，从而f(－x)＝2a(－x)－＝－f(x)，∴f(x)＝2ax＋ (2)f(x)在[－1，0)上为增函数，∴f ′(x)＝2a－ ≥0在x∈[－1，0)上恒成立，即a≥ 在[－1，0)上恒成立。又－1≤x<0，∴≤－1，∴a≥－1(3)当a≥－1时，f(x)在[－1，0]上单调递增，∴f(x)min= f(－1)=－2a+1=12，∴a＝－，舍去当a<－1时，令f ′(x)＝2a－＝0得x＝x[－1，)(，0)f ′(x)－0＋f(x)↘最小值↗∴f(x)min= f()=2a+=3＝12，∴a2＝26，又a<－1，∴a＝－84．设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 ① 设是方程①的两个不同的根， ∴ ② 且由N（1，3）是线段AB的中点，得 解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB的方程为 解法2：设则有 依题意，∵N（1，3）是AB的中点， ∴又由N（1，3）在椭圆内，∴∴的取值范围是（12，+∞）直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0. （Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，代入椭圆方程，整理得 又设CD的中点为是方程③的两根，∴于是由弦长公式可得 ④将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得 ⑤同理可得 ⑥∵当时，假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为 ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|·|DN|，即 ⑧由⑥式知，⑧式左边由④和⑦知，⑧式右边∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得 ③将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得 ⑤解③和⑤式可得 不妨设∴计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）5．已知向量．（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．解（1）已知向量若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线， 故知．∴实数时，满足的条件．………………………………………………6’（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，∴，解得．………………………………………12’6．某厂家拟在2004年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． （1）将2004年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2004年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解（1）由题意可知当……3’ 每件产品的销售价格为， ∴2004年的利润 ．…………………………6’ （2）， （万元）……11’答：（略）…………………………………………………………………………………12’7．已知函数的定义域为，值域为．试求函数（）的最小正周期和最值．解： ……2’当＞0时，，解得，从而， ，T=，最大值为5，最小值为－5；当m＜0时， 解得，从而，，T=，最大值为，最小值为． 每周七题（5）1已知f(x)＝⑴若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；⑵若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调增减，求a的取值范围2．（本小题满分12分）某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如下图（例如，A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）。（1）请你为其选择一条由A到B的路线，便得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望E。3．（本小题满分14分）已知在直角坐标平面上，向量=（-3，2λ），=（-3λ，2），定点A（3，0），其中0<λ<1。一自点A发出的光线以为方向向量射到y轴的B点处，并被y轴反射，其反射光线与自点A以为方向向量的光线相交于点P。（1）求点P的轨迹方程；（2）问A、B、P、O四点能否共圆（O为坐标原点），并说明理由。4、（12分）已知函数。(Ⅰ)当的值及的表达式（Ⅱ）设的值恒为负值？5、（12分）某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m.如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）.（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域;（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价.6、已知椭圆与射线y＝（x交于点A，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C。（1）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值。（2）求三角形ABC的面积最大值。7.已知数列满足且对一切有+……，（1）求证：对一切有（2）求数列的通项公式（3）求证：…… 每周七题（五）解答1.⑴证明：任设x1∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)⑵解：任设1f(x1)－f(x2)＝∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立， ∴a≤1综合知02．.解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN。因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为1－P（··）= 1－P（）·P（）·P（）= 1－[1－P（AC）][1－P（CD）[1－P（DB）] =1－·· =同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率为P2为1－P（··）=（小于）（3分）路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（··）=（小于）（4分）显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择。因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小。（6分）（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3。P（=0）= P（··）=。（7分）P（=1）= P（AC··）+P(·CF·)+P(··FB) =··+··+··=,(8分)P（=2）=P（AC·CF·）+P（AC··FB）+P（·CF·FB）=··+··+··=（9分） P（=3）=P（AC·CF·）=··=（10分）∴E= 0 × 。答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为。（12分）3．解：（1）设P(x，y)，A关于原点的对称点为C，则C(-3，0)。依题意，B(0，2λ)，∴，，由反射光线的性质，C，B，P三点共线，∴3y - 2λ(x+3)=0， ① ∵，且∥，∴3λy + 2 (x-3)=0， ②由①，②消去λ得P点轨迹方程为：，（x，y>0）。(2) 若A、B、P、O四点共圆，则∠P=∠AOB=90°，∴，∴x2 – 9 + y2=0，又，可得y=0，矛盾。∴A、B、P、O四点不能共圆。4、答:（1）a=-4,b=-8 (2).5、解:①因污水处理水池的长为.由题设条件即函数定义域为[12.5,16]②先研究函数上的单调性，对于任意的则又故函数y=f(x)在[12.5,16]上是减函数. ∴当x=16时，y取得最小值，此时综上，当污水处理池的长为16m，宽为12.5m时，总造价最低，最低为45000元.6、解：（！）由题意得，设的斜率为，则的斜率为－所以 代入得，又 同理 为定值设方程为 得 得 到的距离为 所以 当时，即时“＝”成立，此时成立。7.解：（1）由+…… 得+……+ 相减得：· …………4分（2）由（1）知 得（≥2）又时，由 为等差数列且= ………………8分（3） …………12分 每周七题（6）1.已知函数f（x）＝(ax＋b)图象过点A（2，1）和B（5，2）．(1)求函数f（x）的解析式；(2)记，，是否存在正数k，使得…对一切均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由．2. 已知函数.(1) 求的反函数及其定义域;(2) 数列, , 设, 数列的前n项和为, 试比较与的大小, 并证明你的结论.3．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为；折痕与AB交于点E，点M满足关系式。 （Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点M的轨迹方程； （Ⅱ）若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，F是边AB上的一点，，过点F的直线交曲线C于P、Q两点，且，求实数的取值范围。4.如图所示，曲线段OMB ： 在点（即点M）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，且BA轴于A，(I)试用t表示切线PQ的方程；(II)求QAP的面积g（t）的最大值. 同时指出g（t）在（m ，n）上单调递减时的最小值。5. 如图，正三棱柱的底面边长为a，点M在边BC上，△是以点M为直角顶点的等腰直角三角形． （I）求证点M为边BC的中点； （II）求点C到平面的距离； （III）求二面角的大小。6. 已知函数f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b、c为常数). (1)若f(x)在x=1和x=3处取极值，试求b、c的值； (2)若f(x)在x∈(-∞，x1)、(x2，+∞)上单调递增且在x∈(x1，x2)上单调递减，又满足x2-x1＞1，求证：b2＞2(b+2c)； (3)在(2)的条件下，若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明.7.△ABC的三边为a，b，c，已知，且， 求的值及三角形面积的最大值． 每周七题（6）答案1. 解析：（1）由已知，得解得：．∴ （2）． 设存在正数k，使得…对一切均成立，则…．记…，则…． ∵ ． ∴ ，∴ F（n）是随n的增大而增大， ∵ ，∴ 当时，． ∴ ，即k的最大值为．2. 解: (1)设, 则,∴ ,∴或. ∴所求的反函数是: 其定义域是: (2) ∵, ∴……(6分)又, ∴……(8分)……(9分)∵,则当时, 有,……(12分)∴……(13分)∴……(14分)3．答:（Ⅰ）（0≤t≤2）（8分） （Ⅱ）≤≤2（6分）。4. 解：（I）K= = 2 t,切线方程为y–t 2 = 2t(x-t), 即y = 2 t x - t2 ( 0 < t < 6 )(II)在切线方程中令y = 0得 x = … 5分 函数在上单调递增；在上单调递减 依题知的最大值是6，故 的最小值是5. 解：（I）∵ △为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴ 且．∵ 正三棱柱， ∴ 底面ABC． ∴ 在底面内的射影为CM，AM⊥CM．∵ 底面ABC为边长为a的正三角形， ∴ 点M为BC边的中点． … 4分（II）由（1）知AM⊥且AM⊥CM，∴ AM⊥平面, 过点C作CH⊥于H，∵ CH在平面内， ∴ CH⊥AM，又，有CH⊥平面，即CH为点C到平面AMC1的距离由（1）知，，且． ∴ ∴∴ 点C到平面的距离为底面边长为． … 8分（III）过点C作CI⊥于I，连HI， ∵ CH⊥平面， ∴ HI为CI在平面内的射影， ∴ HI⊥，故∠CIH是二面角的平面角．在直角三角形中， ，，∴ ∠CIH＝45°， ∴ 二面角的大小为45° … 12分6. 已知函数f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b、c为常数). (1)若f(x)在x=1和x=3处取极值，试求b、c的值； (2)若f(x)在x∈(-∞，x1)、(x2，+∞)上单调递增且在x∈(x1，x2)上单调递减，又满足x2-x1＞1，求证：b2＞2(b+2c)； (3)在(2)的条件下，若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明.解：(1)f′(x)=x2+(b-1)x+c， 2分 据题意知，1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根， ∴1-b=1+3=4，c=1×3=3，即b=-3，c=3. 4分 (2)由题意知，当x∈(-∞，x1)，(x2，+∞)时，f′(x)>0；当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0. 6分 ∴x1、x2是方程x2+(b-1)x+c=0的两根， 则x1+x2=1-b，x1x2=c. ∴b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=[1-(x1+x2)]2-2[1-(x1+x2)]-4x1x2=(x1-x2)2-1. ∵x2-x1>1，∴(x1-x2)2-1>0. b2>2(b+2c). 9分 (3)在(2)的条件下，由上题知x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2)， 即x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x， 11分 ∴(t2+bt+c)-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1=(t-x1)(t+1-x2), ∵x2>1+x1>1+t，∴1+t-x2<0. 又0 ∴(t-x1)(t+1-x2)<0，故t2+bt+c>x1. 14分7．解：，又由余弦定理得．，，得，．又，．当且仅当时，等号成立．． 每周七题（7）1.已知，，，，.（1）求f(x)的单调增区间. （2）当时，求f(x)的最值及相应的x值. 2．已知数列的前n项之和.求：（1）写出数列{an}，{bn}的表达式；（2）求和3.已知，，其中O是坐标原点，直线过定点A，其方向向量，动点P到直线的距离为，且＝.(1)求动点P的轨迹方程；直线m：与点P的轨迹相交于M，N两个不同点；当时，求直线m的倾斜角α的取值范围；当点Q满足，且时，求k的值.4. 已知圆：和圆：,现在构造一系列的圆,使圆同时与和圆都相切,并都与OX轴相切.回答：(1)求圆的半径;(2)证明：两个相邻圆和在切点间的公切线长为;(3)求和.5.在三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B1是A1C和B1C1的公垂线段，A1B与平面ABC成60°角，AB=，A1A=AC=2 （1）求证：AB⊥平面A1BC； （2）求A1到平面ABC的距离； （3）求二面角A1—AC—B的大小. 6.．过曲线上的点作曲线C的切线l1与曲线C交于，过点P2作曲线C的切线l2与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，（1）求点P2、P3的坐标. （2）求数列的通项公式. （3）记点到直线的距离为， 求证：7..如图，在长方体中，点E在棱AB上移动. （I）证明：； （II）若E为AB中点，求E到面的距离； （III）AE等于何值时，二面角的大小为 每周七题答案1.解： ＝ （1）由解得 ∴单调增区间为（∈Z）（8分）（漏掉扣1分） （2）∵ 此时 此时 2． 解: (1）（1分）n≥2时an=Sn－Sn－1=2n－1,当n=1时，a1=1也应满足a n=2n－1, an=2n－1, (n∈N*). 又 所以b n=n－1（2）n=2k时(k∈N*)，=－(b1+b2+…+b2k)=－[1+2+…+(2k－1)] =－2k2+k n=2k－1时(k∈N*), Tn==－[1+2+…+(2k－3)] =－2k2－3k+1, 3.解：（1）由于，，O为原点，所以A（－2，0），B（2，0）又直线过定点为A，其方向向量为，所以直线的方程为.（1分）由题意，动点P到定点B的距离和到定直线的距离相等，所以P的轨迹是以B为焦点，为准线的抛物线，其中，所以动点P的轨迹方程为. （4分） （2）由 ，消去y并整理得. 设，，则根据韦达定理得 ，，其中 （6分）(1) 而 ∴，又∵>0，∴0<∴0<即0②由于是线段MN的中点.令则由得从而（）（）＝0即.从而有即解之得又，所以 4. 解：(1)在直角梯形中,AC=1－,=1＋,=1＋,=＋.=－.………2分∴有 ，，=∴∴.即. ………4分由此可得.∴{}成等差数列, . ∴,∴. (2)公切线长为. ………11分(3) ＝. ∴=2. ………14分5.（本小题满分14分，其中第一小问4分，第二、三小问各5分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B1是A1C和B1C1的公垂线段，A1B与平面ABC成60°角，AB=，A1A=AC=2 （1）求证：AB⊥平面A1BC； （2）求A1到平面ABC的距离； （3）求二面角A1—AC—B的大小. 解（1）∵三棱柱ABC—A1B1C1中A1B1是A1C与B1C1的公垂线段，A1C1⊥B1C1AB⊥BC，AB⊥A1C又A1C∩A1B=A1 ∴AB⊥平面A1BC （2）∵AB平面ABC，AB⊥平面A1BC ∴面ABC⊥面A1BC作A1O⊥BC垂足为O， 则A1O⊥平面ABC ∠A1BC为A1B与平面ABC所成角即∠A1BC=60° 在Rt△A1AB中，A1B= 即A1到平面ABC的距离为 …6.．解：（1） （2）曲线C上点处的切线的斜率为故得到的方程为 联立方程消去y得：化简得： 所以：………………8分由得到点Pn的坐标由就得到点的坐标所以： 故数列为首项为1，公比为－2的等比数 列所以： …………………………………………10分（3）由（2）知：所以直线的方程为：化简得： …………………………………………12分所以 ∴≥ …7．方法一 （I）证明： （II）设点E到平面的距离为h，由题设可得 算得 则 （III）过D作，垂足为H，连则 为二面角的平面角. 设，在直角中， 在直角中，在直角中， 在直角中，，在直角中， 因为以上各步步步可逆，所以当时，二面角的大小为方法二：以DA，DC，DD1建立空间坐标系，设，有 （I）证明：因为，所以， （II）解：E是AB中点，有，设平面的法向量为则也即， 得，从而，点E到平面的距离 （III）设平面的法向量为 由令，得 则于是 （不合，舍去）， 即时，二面角的大小为 每周七题（8）1. 已知．⑴求的值；⑵求的值．2. 已知函数，并且，，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)是否存在各项均不为零的数列，满足(为数列的前项和)．若有，写出数列的一个通项公式，并说明满足条件的数列是否唯一确定；若无，请说明理由.3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都为a，P为A1B上的点。（Ⅰ）试确定的值，使得PC⊥AB；（Ⅱ）若＝， 求二面角P－AC－B的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求C1到平面PAC的距离.4.如图，分别是椭圆的左右焦点，M为椭圆上一点，垂直于轴，且OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行，（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若G为椭圆上不同于长轴端点任一点，求取值范围；（Ⅲ）过且与OM垂直的直线交椭圆于P，Q.若，求椭圆的方程.5．如图：在直角三角形ABC中，已知AB=a，∠ACB=30o，∠B=90o,D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，二面角A'-BD-C的大小记为θ。⑴求证：平面A'EF(平面BCD； ⑵θ为何值时A'B(CD？ ⑶在⑵的条件下，求点C到平面A'BD的距离。6.已知数列满足.(1)若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;(2)若,求证：对任意都成立；(3)若,求证：对任意都成立.7.已知倾斜角为的直线过点和点，点在第一象限，。 （1）求点的坐标； （2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点 坐标为，求的值；（3）对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与 线段的距离。已知在轴上运动，写出点到线段的距离 关于的函数关系式。 每周七题（8）答案1.解解：（1）由, ， ……………………2分 ． …………………5分（2） 原式＝ …………………10分 …………………12分2. 解：(Ⅰ)由，得．由，，得，即．分解得 ．因此，，．分(Ⅱ)由(Ⅰ)得．当且时，，．设存在各项均不为零的数列，满足．则，即（且）．首先，当时，； 由 ，，得，即．若 ，则由，得，这与矛盾．若 ，则 ．因此，是首项这，公差为的等差数列．通项公式为 ．综上可得，存在数列，符合题中条件(2)由上面的解答过程可知，数列只要满足条件即可．因此，可以数列一部分满足，另一部分满足，且保证且．例如：数列 ； 数列 因此，满足条件的数列不唯一．3．答: （Ⅰ）1；（4分）； （Ⅱ）600（4分）； （Ⅲ）（4分）4.解：(Ⅰ)由已知 ，………………………………2分(Ⅱ)设，当且仅当时， (Ⅲ) 椭圆的方程为5解:(1)证由 △PBA为Rt△, ∠C= AB= ∵D为AC中点，∴AD＝BD＝DC ∵△ABD为正三角形 又∵E为BD中点∴BD⊥AE’ BD⊥EF 又由A’EEF＝E，且A’E、EF平面A’EFBD⊥平面A’EF ∴面A’EF⊥平面BCD(2) BD⊥AE’, BD⊥EF得 ∠A’EF为二面角A’-BD-C的平面角的大小即∠A’EF＝ 延长FE到G，使A’GGF于G，连结BG并延长交CD于H，若A’BCD 则BHCD 在Rt△BHD中， ∠ BHD= 又∵GE⊥BD，E为BD中点，BD＝AB＝a 由在直角三角形A’EG中 ＝（3）用等积法易得所求距离为：6.(1)由得：即，求得………………………………………5分（2）由知，两边同除以，得…………………………………10分（3） ，将代入，得； ㈠…………………………12分 而， ㈡ 由㈠㈡知，命题成立.……………………………………………14分7. 解：（1）设， ， ---------3分（2）设由 得，-----------------4分 -----------------6分 ， ----------------8分（3）设线段上任意一点 ---------------10分当时，即时，当时，；当时，即时，当时，；当时，即时，当时，。--13分 -----------------14分每周七题（9）1、下面玩掷骰子放球游戏，若掷出1点，甲盒中放一球，若掷出2点或3点，乙盒中放一球，若掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，设掷n次后，甲、乙、丙各盒内的球数分别为。（14分）（1）n=3时，求成等差数列的概率。（2）当n=6时，求成等比数列的概率。解：（1）∵① ② ③①表示：掷3次，1次出现2点或3点，2次出现4点，5点或6点，共种情况。故的概率为②的概率为③的概率为故n＝3时，x、y、z成等差数列，概率为（2）n=6时，x、y、z成等比数列。∴所求概率为2、如图，过原点O作抛物线的两条互相垂直的弦OA，OB，再作∠AOB的平分线交AB于C。（14分）（1）求证直线AB过定点；（2）求点C的轨迹方程。解（1）（2P，0）； （2）设点A的坐标为，点B的坐标为，则，因为OA⊥OB，所以，即，所以。设点C的坐标为(x,y)，则，因为OC平分∠AOB，所以∠AOC＝45°，，即，解得，又A，C，B三点共线，当时，即，化简得，将代入，并化简得：，当时，即，得，此时点C的坐标为，满足上述方程，所以上述方程即为点C的轨迹方程。3.．如图，已知三棱柱ABC—A1B1 C1的棱长都是2，点A1与AB、AC的距离都等于，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥C1 C于F.（1）求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1； （2）求点A到平面B1BCC1的距离；（3）求平面A1EF与平面A1B1C1所成二面角的大小.证明（1）.∴平面A1EF⊥平面B1BCC1.…………………………………………3分 （2）由于A1A//平面B1BCC1，故点A、A1与平面B1BCC1的距离相等.∵ABB1A1为菱形，故A1E=A1F=.∵B1B⊥平面A1EF，EF平面A1EF，∴BB1⊥EF，从而EF=BC=2. ∴△A1EF是等腰直角三角形。取EF中点M，则A1M⊥EF，且A1M=1.从而A1M⊥平面B1BCC1，即A1M是点A1与平面B1BCC1的距离，∵点A与平面B1BCC1的距离为1.……………………………………7分（3）设平面A1EF与平面A1B1C 1所成的二面角的棱为直线l，取B1C1的中点N，则A1N⊥B1C1，但B1C1//EF，∴B1C1//平面A1EF，于是B1C1//l，在△A1B1C1中，A1N=∴A1M⊥l，A1N⊥l，即∠MA1N为所求二面角的平面角.……………………………………10分∵A1M⊥平面B1BCC1，∴A1 M⊥MN. ∴cos∠NA1M=，故所求二面角的大小为………………………………12分.4．设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当x∈[ 2，3 ] 时，． （1）求的解析式； （2）若在上为增函数，求的取值范围； （3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x3；当x∈时，f(x)=f(-x)=2ax-4x3， ∴…………………………………………………4分 （2）由题设知，＞0对x∈恒成立，即2a-12x2＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x2，从而a＞(6x2)max=6．…………………………………………………8分 （3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈的最大值． 令=2a-12x2=0，得．…………10分 若∈，即0＜a≤6，则 ， 故此时不存在符合题意的； 若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是． 令2a-4=12，故a=8． 综上，存在a = 8满足题设．……………………………14分5.如图,正方形A1BA2C的边长为4，D是A1B的中点，E是BA2上的点，将△A1DC及△A2EC分别沿DC和EC折起，使A1、A2重合于A，且二面角A—DC—E为直二面角.(1)求证：CD⊥DE；(2)求AE与面DEC所成角的正弦值；(3)求点D到平面AEC的距离. 解：(1)∵A1、A2重合于A∴AC⊥AD，AC⊥AE，故AC⊥面ADE ∴AC⊥DE∵A—DC—E为直二面角，∴过A作AF⊥CD于F，则AF⊥面CDE，故CD为AC在面CDE上的射影，由三垂线定量的逆定理有：CD⊥DE. (2)∵AF⊥画CDE，∴∠AEF为AE与面DEC所成的角，在RT△CAD 中，AD=2，AD=2，AC=4，∴DC= 2 又∴CD⊥DE，∴在正方形A1BA2C中， △DBE~△CA1D, 故DE⊥AD.∴在Rt△ADE中，AE=3，故在Rt△AFE中，sin∠AEF= ∴AE与面DEC所成角的正弦值为. (3)设D到面AEC的距离为d，则由VD-AEC=VA-DEC有： AE·AC·d=CD·DE·AF ∴3×4d=2·· 故d=即点D到平面AEC的距离为6.已知正项数列{an}和{bn}中，a1=a(0(1)证明：对任意n∈N*,有an+bn=1;(2)求数列{an}的通项公式；(3)记cn=a为数列{cn}的前n项和，求Sn的值.6. (1)证明：用数学归纳法证明. ①当n=1时，a1+b1=a+(1-a)=1,命题成立；②假设n=k(k≥1且k∈N*)时命题成立，即ak+bk=1,则当n=k+1时，ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1= ∴当n=k+1时，命题也成立.综合①、②知，an+bn=1对n∈N*恒成立. (2)解：∵an+1=anbn+1=③∵数 列 (3)解：∵cn=abn+1=an(anbn+1)=anan+1, ③式变形为anan+1=an-an+1,∴cn=an-an+1, ∴Sn=c1+c2+…+cn=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-an+1)=a1-an+1=a-7.如图、是单位圆上的点，是圆与轴正半轴的交点，点的坐标为，三角形为正三角形．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的值． 解：(Ⅰ)因为点的坐标为，根据三角函数定义可知， ， ……2分所以 ……4分(Ⅱ)因为三角形为正三角形，所以，，， ……5分所以 ……8分所以 ……12分 展开更多...... 收起↑ 资源列表 每周七题1.doc 每周七题10.doc 每周七题11.doc 每周七题12.doc 每周七题13.doc 每周七题2.doc 每周七题3.doc 每周七题4.doc 每周七题5.doc 每周七题6.doc 每周七题7.doc 每周七题8.doc 每周七题9.doc
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