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第一章 直角三角形的边角关系
1.1 锐角的三角函数
第1课时 正切与坡度
学习目标：
1．理解正切的意义，并能举例说明；(重点)
2．能够根据正切的概念进行简单的计算；(重点)
3．能运用正切、坡度解决问题．(难点)
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
要点探究
知识点一：正切的定义
梯子是我们日常生活中常见的物体.
从梯子的顶端 A 到墙角C 的距离，称为梯子的铅直高度.
从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的水平宽度.
梯子与地面的夹角∠ABC 称为倾斜角.
问题1 ：在图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？
思考：如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？
问题2 ：在下图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
想一想
如图，小明想通过测量 B1C1 及 AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 B2C2 及 AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？
(1) Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系？
(3) 如果改变 B2 在梯子上的位置.
(如 B3C3 )呢？
议一议
在图中，梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗？
典例精析
例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
练一练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AC = 7，BC=5，则 tan A=_____，tan B =_____．
2.下图中 ∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D . 指出∠A 和 ∠B 的正切.
知识点二：坡度、坡角
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
坡角：坡面与水平面的夹角 α 称为坡角；
坡度(坡比)：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度
(或坡比)，即坡度等于坡角的正切.
例如，有一山坡在水平方向上每前进 100 m 就升高 60 m ，那么山坡的坡度(即 tanα )就是：
例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高 BC＝2 米，则斜坡 AB 的长是(　　)米.
针对训练
4. 如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B .已知山顶 B 到山脚下的垂直距离是 55m，求山坡的坡度(结果精确到 0.001 m).
二、课堂小结
1. 如图，在 Rt△ABC 中，锐角A的对边和邻边同时扩大 100 倍，tanA 的值（ ）
A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍
C. 不变 D. 不能确定
2. 完成下列填空：
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AC = 12，tanA = ( ).
(2) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AB = 13，tanA= ( ),tanB = ( ).
(3) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tanA = ，AC = ( ).
3. 在等腰 △ABC 中，AB = AC = 13， BC = 10 ，求tanB.
参考答案
小组合作，探究概念和性质
知识点一：正切的定义
问题1
倾斜角越大——梯子越陡
思考：当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡
问题2 ：当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
倾斜角越大，梯子越陡.
想一想
答案：（1）两个直角三角形相似
（2）相等
（3）相似三角形的对应边成比例
典例精析
例1
练一练
1.
2. （1）BC AD
（2）AC BD
知识点二：坡度、坡角
例2 答案：B
针对训练
4.
当堂检测
1.
答案：C
2.
答案： (1) (2) (3)
3.

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