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第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象和性质
第4课时 二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象与性质
学习目标：
1．掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间的联系；(重点)
2．能灵活运用二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)
一、复习回顾
1. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况:
2. 请说出二次函数 y = 2x2 的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？
把 y = 2x2 的图象
向下平移 个单位 →
向左平移3个单位 →
4. 请猜测一下，二次函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象是否可以由 y = 2x2 平移得到？
要点探究
知识点一：二次函数的定义
知识点一：二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质
例1 画出函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性.
解：先列表：
再描点、连线.
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：________________________________________________________.
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？
试一试 画出二次函数 的图象，并填空.
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：____________________________________________________________.
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？
归纳总结
典例精析
例2 已知抛物线 y＝a(x 3)2 + 2 经过点 (1， 2)．
(1) 指出抛物线的对称轴；
(2) 求 a 的值；
(3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
试比较 y1 与 y2 的大小．
知识点二：二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系
画一画，填出下表：
y = 2x2怎样移动可以得到 y = 2(x + 3)2 - ？
例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线y = 2(x + 3)2 -
归纳总结
二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2 ± k 的关系
简记为：
上下平移，常数项上加下减；
左右平移，自变量左加右减.
二次项系数 a 不变.
链接中考
1. (哈尔滨)将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( )
A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1
C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3
试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 )
例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　)
归纳总结
说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0)图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用.
结论：
二、课堂小结
1.完成下列表格:
2. 已知函数 y＝-(x - 4)2-1.
(1) 指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 　 ，
顶点坐标为 　 ；
(2) 当 x　 　 时，y 随 x 的增大而减小；
(3) 怎样移动抛物线 y＝ -x2，就可以得到抛物线 y＝ -(x - 4)2 - 1
3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)．
(1) 求 a 的值；
(2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y2 时，
求 m、n 之间的数量关系．
参考答案
小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质
例1 画出函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性.
解：先列表：
再描点、连线.
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：________________________________________________________.
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？
答案：
向上；直线 x = -3；( 3， 0.5)；
当 x＜-3 时，y 随 x 增大而减小；当 x＞-3 时，y 随 x 增大而增大.
试一试 画出二次函数 的图象，并填空.
开口方向： ；
对称轴： ；
顶点坐标是 ；
增减性：____________________________________________________________.
想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？
答案：
向下；直线 x = -1；( 1， 1)；
当 x＜-1 时，y 随 x 增大而增大；
当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小
归纳总结
典例精析
例2
解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)，
对称轴为直线 x＝3.
(2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)，
∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2，
∴ a＝-1.
(3)∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2，
∴ 此函数的图象开口向下，
当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大.
∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上，
∴ y1＜y2.
知识点二：二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系
画一画，填出下表：
例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线y = 2(x + 3)2 -
归纳总结
二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2 ± k 的关系
简记为：
上下平移，常数项上加下减；
左右平移，自变量左加右减.
二次项系数 a 不变.
链接中考
1.
答案：A
试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 )
例4
答案：A
归纳总结
说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0)图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用.
结论：① a 决定开口方向.
② (h，k) 决定顶点坐标.
h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧；
h＞0，对称轴在 y 轴的右侧；
k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧.
③ a，h(对称轴) 决定函数的增减性.
当堂检测
1.完成下列表格:
2.
答案：
(1) 向下；直线 x＝4；(4，﹣1)
(2) ＞4
(3) 解：将抛物线 y ＝ -x2 向右平移 4 个单位，
再向下平移 1 个单位就可以得到抛物线 y＝ -(x - 4)2 - 1.
3.
解：(1) 将 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4，
解得 a＝1.
(2) 方法一:根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵ y1＝y2，
∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得 2m＋n＝2.
方法二：
∵ 抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1，
∴ 当 y1＝y2 时，A、B 两点关于直线 x = 1 对称.
∴ ，化简，得 2m＋n＝2.

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