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第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象和性质
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
学习目标：
1．掌握把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标；（重点）
2.掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质，运用函数图象的性质解决问题．（难点）
一、复习回顾
要点探究
知识点一：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
猜想：通过组合平移 y = ax (a≠0) 的图像能否得到y = ax + bx + c (a≠0) 的图像？
填一填
(1) x2 12x + 36 = (x____)2；
(2) x2 12x = (x____)2 ____.
合作探究
问题1 怎样将 y=2x - 4x + 5化成 y = a(x h)2 + k 的形式？
想一想：配方的方法及步骤是什么？
提示：配方后的解析式通常称为顶点式.
问题2 你能说出 y = 2(x - 1) + 3 的对称轴及顶点坐标吗？
问题3 二次函数 y = 2(x - 1) + 3 可以看作是由 y = 2x 怎样平移得到的？
问题4 如何用描点法画二次函数 y = 2x - 4x + 5 的图象？
问题5 结合二次函数 y = 2x - 4x + 5 的图象，说出其增减性.
试一试
你能用上面的方法讨论二次函数
y = 2x2 - 8x + 7 的图象和性质吗？
典例精析
例1 求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
做一做
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y = 3x2 - 6x + 7；
(2) y = 2x2 - 12x + 8.
我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成
顶点式 y = a(x - h)2 + k？
归纳总结
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即
y = ax2 + bx + c = .
因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 ， 对称轴是直线 .
归纳总结
知识点二：二次函数的图象与系数的关系
想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用.
一般研究哪几种性质？
合作探究
问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
归纳总结
二次函数图象与 a、b、c 的关系
链接中考
(浙江)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1，
下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c；
③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b；
④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0
的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5.
其中正确的结论的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　
　C．3　　　D．4
做一做
如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称. 按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以y = x2 + x + 10 表示.
(1) 钢缆的最低点到桥面的距离是多少
(2) 两条钢缆最低点之间的距离是多少
二、课堂小结
1.已知二次函数 y = ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为( )
A. y轴 B. 直线 x=
C. 直线 x=2 D. 直线 x=
2. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值：
3.已知二次函数 y = ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b 同号；
（2）当 x = –1和 x = 3 时，函数值相等；
（3） 4a+b = 0；
（4）当 y = –2 时，x 的值只能取 0；
其中正确的是 .
参考答案
一、创设情境，导入新知
小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
填一填
答案：(1) 6.
(2) 6；36.
合作探究
想一想：配方的方法及步骤是什么？
提示：配方后的解析式通常称为顶点式.
问题2 你能说出 y = 2(x - 1) + 3 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线 x = 1，顶点坐标是 (1，3).
问题3 二次函数 y = 2(x - 1) + 3 可以看作是由 y = 2x 怎样平移得到的？
答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 1 个单位得到的；
平移方法 2：先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y = 2x - 4x + 5 的图象？
解：先利用图形的对称性列表；
然后描点画图，得到图象
如右图.
问题5 结合二次函数 y = 2x - 4x + 5 的图象，说出其增减性.
当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大.
典例精析
例1 求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
解：y = 2x2 - 8x + 7 = 2(x2 - 4x) + 7
= 2(x2 - 4x + 4) - 8 + 7 = 2(x - 2)2 - 1
因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为 (2,-1)，
当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大.
做一做
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y = 3x2 - 6x + 7；
y = 3x2 - 6x + 7 = 3(x2 - 2x) + 7 = 3(x2 - 2x + 1 - 1) + 7 = 3(x - 1)2 + 4
对称轴：x = 1
顶点坐标：(1，4)
(2) y = 2x2 - 12x + 8.
y = 2x2 - 12x + 8 = 2(x2 - 6x) + 8= 2(x2 - 6x + 9 - 9) + 8= 2(x - 3)2 - 10
对称轴：x = 3
顶点坐标：(3，-10)
归纳总结
归纳总结
知识点二：二次函数的图象与系数的关系
合作探究
问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
答案：＞，＞； ＞，＜； ＞，=.
答案：＜，＜； =，＞； ＞，＜.
归纳总结
二次函数图象与 a、b、c 的关系
链接中考
(浙江)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1，
下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c；
③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b；
④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0
的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5.
其中正确的结论的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　
　C．3　　　D．4
【解析】解：①：由图象可知：a＜0，c＞0， ，
∴ b = 2a＜0，∴ abc＞0，故 ① 错误；
②：当 x = 1 时，y = a + b + c = a + 2a + c = 3a + c＜0，
∴3a＜-c，故 ② 正确；
③：∵ x = -1 时，y 有最大值，
∴ a - b + c≥am2 + bm + c ( m 为任意实数)，
即 a - b≥am2 + bm，即 a - bm≥am2 + b.
故 ③ 错误；
④：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 图象经过点(-3，-2)，
方程 ax2＋bx＋c＋2 = 0 的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，
∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的一个交点为 (-3，-2).
∵抛物线的对称轴为直线 x＝-1，
∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的
另一个交点为 (1，-2)，即 x1 = 1，x2 = -3.
∴2x1－x2 = 2－(-3) = 5，故 ④ 正确．
所以正确的是 ②④.
做一做
如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称. 按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以y = x2 + x + 10 表示.
(1) 钢缆的最低点到桥面的距离是多少
(2) 两条钢缆最低点之间的距离是多少
答案：
y = x2 + x + 10 = (x+20)2 + 1
顶点坐标(-20，1)
1 m. (2) 40 m.
当堂检测
1.
答案：D
2.
3.答案：（2）

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