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第二章 二次函数
2.4 二次函数的应用
第1课时 图形面积的最大值
学习目标：
1．能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值；(重点)
2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想．(难点)
一、复习回顾
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4.
想一想
思考 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？
要点探究
知识点一：求二次函数的最大(或最小)值
例1 写出下列抛物线的最值.
(1)y = x2 - 4x - 5; (2) y = -x2 - 3x + 4.
例2 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为(　　)
A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1
知识点一：几何图形面积的最大面积
引例 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上.
(1) 如果设矩形的一边 AB = x m，那么 AD 边的长度如何表示
(2)设矩形的面积为 y m， 当 x 取何值时，y 的值最大 最大值是多少
议一议
在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
例3 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.
(1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
(2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
归纳总结
典例精析
例4 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为 15 m. 当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到 0.01 m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到 0.01 m2)
二、课堂小结
1.如图 1，用长 8 m 的铝合金条制成如图的矩形窗框，
那么最大的透光面积是 .
2. 如图1，在 △ABC 中，∠B = 90 °，B = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动（不与点 B 重合），动点 Q 从点 B 开始沿 BC以 4 cm/s 的速度移动（不与点 C 重合）.如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s，
四边形 APQC 的面积最小.
3. (河北期末) 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：
(1) 求 S 与 x 的函数关系式. 直接写出 x 的取值范围；
(2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大
参考答案
一、创设情境，导入新知
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4.
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x = 2；
顶点坐标：（2，-9）；
（2）开口方向：向下；对称轴：x = - ；
顶点坐标：（- ，）；
想一想
思考 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？
二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.
小组合作，探究概念和性质
知识点一：求二次函数的最大(或最小)值
例1
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，-9),
∴当x=2时，y 取最小值，最小值为-9;
(2)∵a= -1＜0，对称轴为 x= - ，顶点坐标为( - ， ),
∴当x= - 时，y 取最大值，最大值为 .
例2答案：C
知识点二：几何图形面积的最大面积
引例
议一议
在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
例3 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.
(1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
(2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解： (1) 设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (60 2x) m.
∴ S = x(60 2x) = 2x2＋60x .
x＞0，
60 2x＞0，
60 2x≤32，
∴14≤x＜30.
∵ S = 2x2＋60x = 2(x 15)2 + 450，
∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值，此时 S最大值 = 450 m2.
(2) 由 (1) 知 S = 2x2＋60x = 2(x2 30x)
= 2(x 15)2 + 450.
x＞0，
60 2x＞0，
60 2x≤18，
∴21≤x＜30.
∵ 15＜21，
∴ 当 21≤ x＜30 时，S 随 x 的增大而减小，
故当 x = 21 时，S 取得最大值，此时 S最大值 = 2×(21 15)2 + 450 = 378 (m2).
典例精析
例4 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为 15 m. 当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到 0.01 m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到 0.01 m2)
当堂检测
1.
答案： m2
2.
答案：3
3.

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