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第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
学习目标：
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；(重点)
2．理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；(重点)
3．通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．(难点)
一、复习回顾
竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间 t (s) 的关系可以近似地用公式来表示：
h＝－5t2 +v0t + h0，v0为抛出时的速度，h0为抛出时的高度，一个小球从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起， 小球距离地面的高度 h (m) 与运动时间 t(s) 的关系如图所示.
那么：(1) h 与 t 的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地？ 你有几种求解方法？
与同伴进行交流.
要点探究
知识点一：二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y = x2 + 2x，y = x2 - 2x + 1，y = x2 - 2x + 2的图象如图所示.
与同伴交流并回答问题.
（1）二次函数图象 y = x2 + 2x与x轴有几个交点？
一元二次方程 x2 + 2x = 0有几个根？
（2）二次函数 y = x2 - 2x + 1 的图象与 x 轴有几个交点？
一元二次方程 x2 - 2x + 1 = 0 有几个根？
（3）二次函数 y = x2 - 2x + 2的图象与 x 轴有几个交点？
一元二次方程 x2 - 2x + 2 = 0 有几个根？
归纳总结
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点与
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
议一议
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标和一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系
链接中考
1. (崂山区) 若二次函数 y = ax2 - 2x - 1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为________________.
想一想
在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60 m ？你是如何知道的？
二、课堂小结
1. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程
-x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = ；
一元二次方程 3x2 + x－10 = 0 的两个根是 x1 = －2 ，x2= ，那么二次函数
y = 3x2 + x－10 与 x 轴的交点坐标是 .
3. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围．
4. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点 A 处）的高度是 0.6 m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离 x = 4 m．
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 该同学把铅球推出去多远？
参考答案
一、创设情境，导入新知
答案：
h = －5t2＋40t；
① 由图象可知 8 秒后小球落地.
②将 h = 0 代入二次函数解得 t = 0 或 t = 8
t = 0 为开始时间，t = 8 为结束时间.
小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次函数与一元二次方程的关系
.
答案：（1）两个交点；
解：x2 + 2x = 0
x(x + 2) = 0
∴ x(x + 2) = 0.
∴ x1 = 0，x2 = -2.
则有两个根
（2）一个交点；
解：x2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)2 = 0
∴ x - 1 = 0.
∴ x1 = x2 = 1.
则有两个相同的根.
（3）没有交点；
解：∵ Δ = b2 - 4ac= (-2)2 - 4×1×2= - 4＜0
∴ 原方程无实数根.
则有没有根.
归纳总结
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点与
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
议一议
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标和一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根有什么关系
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根.
链接中考
1.
答案：a≥-1 且 a≠0
想一想
在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是 60 m？你是如何知道的？
解：令 h = 60，-5t2 + 40t = 60
t2 - 8t + 12 = 0
(t - 2)(t - 6) = 0
t1 = 2，t2 = 6
当堂检测
1.
答案：-1.
2.答案：（－2，0），（，0）
3. 解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1 是一次函数．
∵一次函数 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点， ∴k＝3；
当 k≠3 时，y＝(k－3)x2＋2x＋1 是二次函数．
∵二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，
∴Δ＝b2－4ac≥0.
∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，
∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
4.

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