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第二章 二次函数
2.3 确定二次函数的表达式
学习目标：
1．通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法；(重点)
2．能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化．(难点)
一、复习回顾
1. 一次函数 y = kx + b (k≠0)，反比例函数y = (k≠0) 分别有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
想一想 二次函数的表达式有几种形式？类比猜想每一种需要几个点坐标可以确定表达式？
要点探究
知识点一：顶点法求二次函数的表达式
合作探究
一名学生推铅球时，铅球行进高度 y (m) 与水平距离 x (m)之间的关系如图所示，
其中 (4，3) 为图象的顶点，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗
针对训练
1. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.
知识点二：特殊条件的二次函数的表达式
例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2,3)和 (－1,－3)，
求这个二次函数的表达式．
做一做
已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点 (2， 5) 和(-2，13)，
求这个二次函数的表达式.
想一想
在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式
知识点三：特殊条件的二次函数的表达式
已知二次函数 y = ax2+ bx + c 图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗
合作探究
例2 已知二次函数的图象经过点(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
链接中考
1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在黑球前面 70 cm.小聪测量黑球减速后的运动距离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化的数据，整理得下表.
小聪探究发现运动距离 y 与随运动时间 t 之间成二次函数关系.
求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取值范围).
知识点四：交点法求二次函数的表达式
求二次函数 y = x2 + 2x - 3 的图象与 x 轴的交点坐标？
例2 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
练一练
2. 分别求出满足下列条件的二次函数的表达式．
图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2.
知识点五(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式
例3 一个二次函数的图象经过点 A(0，1)，B(1，2) ， C (2，1)，
求这个二次函数的解析式.
归纳总结
二、课堂小结
1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是 .
2. 过点（2，4），且当 x=1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 .
参考答案
一、创设情境，导入新知
1. 答：一次函数 y = kx + b (k≠0)：2 个待定系数，需要 2 个点坐标
反比例函数y = (k≠0)：1 个待定系数，需要 1 个点坐标
2. 答：待定系数法：(1) 设：表达式；
(2) 代：坐标代入；
(3) 解：方程(组)；
(4) 还原：写出解析式.
小组合作，探究概念和性质
知识点一：顶点法求二次函数的表达式
合作探究
一名学生推铅球时，铅球行进高度 y (m) 与水平距离 x (m)之间的关系如图所示，
其中 (4，3) 为图象的顶点，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗
针对训练
1. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，
因此，可以设函数表达式为 y = a(x - 8)2 + 9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1= a(0-8)2+9.
解得 a = -.
∴所求的二次函数的表达式是y = -(x - 8)2 + 9.
知识点二：特殊条件的二次函数的表达式
例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2,3)和 (－1,－3)，
求这个二次函数的表达式．
解：∵该图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3)，
3 = 4a + c，
－3 = a + c，
解得 a = 2，
c =－5.
∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－5.
做一做
已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，且经过点 (2， 5) 和(-2，13)，
求这个二次函数的表达式.
解： 因为二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1，
因此，可以设函数表达式为 y = ax2 + bx + 1.
∵该图象经过点 (2， 5) 和 (-2，13)，
5 = 4a + 2b + 1，
13 = 4a - 2b + 1.
解得 a = 2，
b = -2，
∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－2x + 1.
知识点三：特殊条件的二次函数的表达式
已知二次函数 y = ax2+ bx + c 图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗
合作探究
例2 已知二次函数的图象经过点(－1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
链接中考
1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在黑球前面 70 cm.小聪测量黑球减速后的运动距离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化的数据，整理得下表.
小聪探究发现运动距离 y 与随运动时间 t 之间成二次函数关系.
求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取值范围).
知识点四：交点法求二次函数的表达式
求二次函数 y = x2 + 2x - 3 的图象与 x 轴的交点坐标？
答案：
例2 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
练一练
2. 分别求出满足下列条件的二次函数的表达式．
图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2.
解：∵ 图象经过点 A(1，0)，对称轴是直线 x = 2，
∴ 图象经过另一点 (3，0).
故可设该二次函数的表达式为 y = a(x 1)(x 3).
将点 (0， 3)代入，得 3 = a(0 1)(0 3)，
解得 a = 1.
∴ 该二次函数的表达式为
y = (x 1)(x 3) = x2 + 4x 3.
知识点五(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式
例3 一个二次函数的图象经过点 A(0，1)，B(1，2) ， C (2，1)，
求这个二次函数的解析式.
解：设这个抛物线解析式为 y = a(x - 0)(x - 2) + 1.
再把点 (1，2) 代入上式得
∴ a(1 - 0)(1 - 2) + 1 = 2，解得 a = -1.
∴ 二次函数的解析式是 y = -x(x - 3) + 1，
即 y = -x2 + 3x + 1.
当堂检测
1.
答案：
2.
答案：y = -2(x-1)2+6

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