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第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形
学习目标：
1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)
2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)
一、复习回顾
问题 1 什么是圆周角？
问题 2 什么是圆周角定理？
要点探究
知识点一：直径所对应的圆周角
如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？
归纳总结
推论 直径所对的圆周角是直角.
几何语句：∵ BC 为直径，
∴∠BAC = 90°.
推论 90° 的圆周角所对的弦是直径.
几何语句：∵∠BAC = 90°，
∴ BC 为直径 .
链接中考
1. (济南)如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数.
练一练
1. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
知识点二：圆内接四边形及其性质
如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？
(2) 如图，点 C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？
归纳总结
四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
根据以上讨论你能发现什么结论？
推论 圆内接四边形的对角互补.
几何语句：
∵四边形 ABCD 为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD = 180°
（圆内接四边形的对角互补）.
想一想
如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与 ∠DCE 的大小有何关系？
链接中考
2.(长春) 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ，
则 ∠BOD 的度数为 ( )
A. 138°
B. 121°
C. 118°
D. 112°
二、课堂小结
1. (泗阳县期末)如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度数.
2.(阜宁县期末)如图，AB 是⊙O 的直径， C、D 是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ，
∠DAC = 25°，求∠BAC 的度数 ( )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 50°
4. (武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD. 判断△BDE 的形状，并证明你的结论.
参考答案
小组合作，探究概念和性质
知识点一：直径所对应的圆周角
如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
猜想：直径 BC 所对的圆周角∠BAC＝90°.
证明：∵BC 为直径，
∴∠BOC＝180°，
∴根据圆周角定理，∠A＝∠BOC＝90°.
如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？
解：弦 BC 是直径.
连接 OC、OB，
∵圆周角∠A＝90°，
∴圆心角∠BOC＝2∠A＝180°.
∴ B、O、C 三点在同一直线上.
∴ BC 是⊙O 的一条直径.
链接中考
1. (济南)如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数.
解：∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB = 90°.
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD = 25°，
∴∠B = 25°.
∴∠BAD = 90°-∠B = 65°.
练一练
1. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为(　C　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
知识点二：圆内接四边形及其性质
如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？
解：∠BAD 与∠BCD 互补.
∵AC 为直径，
∴∠ABC = 90°，∠ADC = 90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD = 360°，
∴∠BAD +∠BCD = 180°.
∴∠BAD 与∠BCD 互补.
(2) 如图，点 C 的位置发生了变化，∠BAD 与 ∠BCD 之间关系还成立吗？为什么？
解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立.
连接 OB，OD，
则∠BAD = ∠2，∠BCD = ∠1.
∵∠1 +∠2 = 360°，
∴∠BAD +∠BCD = 180°.
∴∠BAD 与∠BCD 互补.
想一想
如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与 ∠DCE 的大小有何关系？
∵∠A＋∠DCB＝180°，
∠DCB＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
链接中考
2.(长春) 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ，
则 ∠BOD 的度数为 ( C )
A. 138°
B. 121°
C. 118°
D. 112°
当堂检测
1.
解：连接 BC.
∵AB 是 ⊙O 直径，
∴∠ACB = 90°.
∴∠B = ∠D = 26°.
∴∠CAB = 90° - 26° = 64°.
2.
答案：C
3.
答案：B
4.
解：△BDE 为等腰直角三角形.
证明：∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC.
∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠EBC.
∵ ∠BED =∠BAE +∠ABE，
∠DBE =∠DBC +∠CBE，
∴ ∠BED =∠DBE.
∴ BD = ED.
∵ AB 为直径，
∴ ∠ADB = 90°.
∴ △BDE 是等腰直角三角形.

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