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第三章 圆
*3.3 垂径定理
学习目标：
1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点)
2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)
一、情境导入
问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
要点探究
知识点一： 垂径定理及其推论
探究一 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使CD⊥AB，垂足为 M.
(1) 右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
(2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
归纳总结：
垂径定理：
典例精析
例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
（1） （2） （3） （4）
探究二 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ．
(1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
(2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
归纳总结
垂径定理的逆定理：
例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半径.
练一练
如图 a、b，一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，
则弓形的高为＿＿cm.
二、课堂小结
1.已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm.
2.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为 10 cm，弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 cm.
3.(朝阳区期末) 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 1 m 的圆，如图所示，若水面宽 AB = 0.8 m，求水的最大深度.
参考答案
小组合作，探究概念和性质
典例精析
例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm.
答案：16
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
（1） （2） （3） （4）
答案：（1）是（2）不是，因为没有垂直.
（3）是
（4）不是，因为 AB，CD 都不是直径.
回顾导入
赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半径.
练一练
如图 a、b，一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，
则弓形的高为＿＿cm.
答案：2 或 12 cm
当堂检测
1.答：5
2.答：14 或 2
3.

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