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第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角和圆心角的关系
学习目标：
1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)
2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)
一、复习回顾
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.
在射门过程中，球员射中球门的难易与它所处的位置 B 对球门 AC 的张角
（ ∠ABC ）有关.
问题2 图中的三个张角∠ABC、∠ADC 和∠AEC 的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？
要点探究
知识点一：圆周角的定义
做一做
1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.
知识点二：圆周角定理及其推论
当球员在 B，D，E 处射门时，他所处的位置对球门 AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC . 这三个角的大小有什么关系？
做一做
如图，∠AOB = 80°.
（1）请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系
议一议
改变圆心角∠AOB 的度数，上述结论还成立吗？
情况一：圆心 O 在∠C 的一边上 (特殊情形)
合作探究
试一试：你能完成另两种情况的证明吗？
情况二：圆心 O 在∠C 的内部
情况三：圆心 O 在∠C 的外部
归纳总结
想一想
在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
归纳总结
练一练
如图，点 A、B、C、D 在☉O 上，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，
∠BAC = 35°.
(1) ∠BOC = °，理由是 ;
(2) ∠BDC= °，理由是 .
典例精析
例1 如图，OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径，
∠AOB = 50°， ∠BOC = 70°.求∠ACB 和 ∠BAC 度数.
二、课堂小结
1. 判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC = 50°，∠ABC = 47°，
则 ∠AOB = ．
3. 如图，已知圆心角∠AOB = 100°，则圆周角∠ADB = .
4.如图，△ABC 的顶点 A、B、C都在 ⊙O 上，∠C＝30°，AB＝2，则 ⊙O 的半径是 .
参考答案
一、创设情境，导入新知
小组合作，探究概念和性质
知识点一：圆周角的定义
做一做
答案：（1）对（2）顶点 A 不在圆上
（3）边 AC 没有和圆相交
（4）顶点 A 不在圆上
（5）对（6）对
知识点二：圆周角定理及其推论
做一做
议一议
改变圆心角∠AOB 的度数，上述结论还成立吗？
情况一：圆心 O 在∠C 的一边上 (特殊情形)
证明：(1) 圆心 O 在∠C 的一条边上，如图.
∵ ∠AOB 是△AOC 的外角，
∴ ∠AOB = ∠A +∠C.
∵ OA = OC，∴ ∠A =∠C.
∴ ∠AOB = 2∠C，
合作探究
情况二：圆心 O 在∠C 的内部
情况三：圆心 O 在∠C 的外部
想一想
在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
练一练
答案：
70；一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半
35；同弧所对的圆周角相等
典例精析
例1 如图，OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径，
∠AOB = 50°， ∠BOC = 70°.求∠ACB 和 ∠BAC 度数.
当堂检测
1.
答案：（1）√（2）×（3）×
2.
答案：166°
3. 答案：50°
4.
答案：2.
解：连接 OA、OB.
∵∠C = 30° ，
∴∠AOB = 60°.
又∵OA = OB ，
∴△AOB 是等边三角形.
∴OA = OB = AB = 2，即半径为 2.

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