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第三章 圆
3.6 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定及三角形的内切圆
学习目标：
1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)
2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)
3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念. (重点)
一、复习回顾
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？
要点探究
知识点一：圆的切线的判定
合作探究
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，
随着∠α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？
直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？
（2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r ？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么？
知识要点
切线的判定定理
典例精析
例1 判断：
(1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( )
(2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( )
(3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( )
做一做
已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线.
方法总结
典例精析
例2 如图，已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C 并且OA = OB，CA = CB.
求证：直线 AB 是⊙O 的切线.
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．
求证：AC 是⊙O 的切线．
合作探究
思考 观察例 2 和例 3，说说这两种证明方法有什么不同.
知识点二：三角形的内切圆及内心
探究：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？
例4 已知：△ABC.
求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切.
知识要点
这样的圆可以作出几个 为什么
知识要点
典例精析
例5 △ABC 中，⊙O 是 △ABC 的内切圆，∠A=70°，
求 ∠BOC 的度数.
二、课堂小结
1. 判断下列命题是否正确.
(1) 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
(2) 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
(3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）
(5) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
(6) 三角形的内心是三角形三个角平分线的交点. （ ）
(7) 三角形的内心到三角形各边的距离相等. （ ）
(8) 三角形的内心一定在三角形的内部. （ ）
2. 如图，⊙O 内切于△ABC，切点 D、E、F 分别在BC、AB、AC 上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接 OE，OF，DE，DF，那么∠EDF 等于(　　)
A．40° B．55°
C．65° D．70°
链接中考
1.(宁夏)如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线.
参考答案
小组合作，探究概念和性质
知识点一：圆的切线的判定
合作探究
∠α 从 90° 变小到 0°，再由 0° 变大到 90°，
点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到 0，再由 0 变大到 r.
直线 l 与 ⊙O 先 相切 ，再 相交 ，最后又 相切 .
当∠α = 90° 时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切.
典例精析
例1
答案：（1）× （2）× （3）×
做一做
已知 ⊙O 上有一点 A，过点 A 画 ⊙O 的切线.
典例精析
例2
证明：连接 OC (如图).
∵ OA = OB，CA = CB，
∴ AB ⊥ OC.
∴ OC 是⊙O 的半径.
∴ AB 是⊙O 的切线.
例3
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB.
∴ AC 是⊙O 的切线.
知识点二：三角形的内切圆及内心
例4
作法：
1. 分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I .
2. 过 I 作 BC 的垂线，垂足为D .
3. 以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I .
⊙I 就是所求的圆.
与三角形三边都相切
典例精析
例5
解：∵∠A = 70°，
∴∠ABC +∠ACB =180° -∠A=110°.
∵⊙O 是 △ABC 的内切圆，
∴BO，CO 分别是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线，
即∠OBC= ∠ABC ，∠OCB= ∠ACB.
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB) =180°- (∠ABC +∠ACB)
=180°- ×110° = 125°.
当堂检测
1.
答案：(1)× (2) ×(3) √(4)√ (5) √(6) √(7) √(8) √
2.
答案：B
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