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第三章 圆
3.5 确定圆的条件
学习目标：
1．理解平面内确定一个圆的条件，掌握经过不在同一直线上三个点作圆的方法；(重点)
2．理解三角形的外接圆、三角形外心等概念；(重点)
3．利用三角形外心解决实际问题．(难点)
一、复习回顾
1. 过一点可以作几条直线？
2. 过几点可确定一条直线？
合作探究
如何解决“破镜重圆”问题呢？
要点探究
知识点一：探索确定圆的条件
合作探究
问题 1 如何过一个点 A 作一个圆？过点 A 可以作多少个圆？
问题 2 如何过两点 A、B 作一个圆？过两点可以作多少个圆？
追问1：其圆心的位置有什么特点？
追问2：与线段 AB 有什么关系？为什么？
问题 3 作圆，使它经过已知点 A，B，C (A，B，C 三点不在同一条直线上).
你是如何做的 你能作出几个这样的圆
归纳总结
典例精析
例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　）
A．第①块 B．第②块
C．第③块 D．第④块
问题 4 过同一直线上三点能不能作圆
知识点二：三角形的外接圆及外心
试一试：已知 △ABC，用直尺与圆规作出过 A、B、C 三点的圆.
知识要点
1. 外接圆
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的内接三角形.
2. 三角形的外心：
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三条边的垂直平分线的交点.
性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
判一判：
下列说法是否正确
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3) 经过三点一定可以确定一个圆( )
(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
想一想
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
知识要点
二、课堂小结
1. 判断：
（1）经过三点一定可以作圆 （ ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 （ ）
（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）
2. 三角形的外心具有的性质是（ ）
A. 到三边的距离相等.
B. 到三个顶点的距离相等.
C. 外心在三角形的外.
D. 外心在三角形内.
3. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　）
A．点 P
B．点 Q
C．点 R
D．点 M
4. 如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12 cm， BC = 5 cm，求△ABC 的外接圆半径.
参考答案
一、创设情境，导入新知
1. 过一点可以作几条直线？
2. 过几点可确定一条直线？
合作探究
如何解决“破镜重圆”问题呢？
小组合作，探究概念和性质
知识点一：探索确定圆的条件
合作探究
问题 1 如何过一个点 A 作一个圆？过点 A 可以作多少个圆？
以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可；
可作无数个圆.
问题 2 如何过两点 A、B 作一个圆？过两点可以作多少个圆？
可作无数个圆.
追问1：其圆心的位置有什么特点？
它们的圆心在线段 AB 的垂直平分线上.
追问2：与线段 AB 有什么关系？为什么？
以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点为圆心，这点到 A 或 B 的距离为半径作圆.
问题 3 作圆，使它经过已知点 A，B，C (A，B，C 三点不在同一条直线上).
你是如何做的 你能作出几个这样的圆
作法：
(1) 连结 AB，BC.
(2) 分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG，
DE 与 FG 相交于点 O.
(3) 以 O 为圆心，以 OB 的长为半径作圆.
归纳总结
不在同一直线上的三个点确定一个 圆.
1. 将如图所示的破损的镜子复原.
方法：(1) 在圆弧上任取三点 A、B、C，连接 AB、BC；
(2) 作线段 AB、BC 的垂直平分线，
其交点 O 即为圆心；
(3) 以点 O 为圆心，OA 长为半径
作圆.
则⊙O 即为所求.
典例精析
例1
答案：B
问题 4 过同一直线上三点能不能作圆
答案：不能.
知识点二：三角形的外接圆及外心
试一试：已知 △ABC，用直尺与圆规作出过 A、B、C 三点的圆.
判一判：
答案：(1)√ (2) × (3) × (4)√
想一想
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
当堂检测
1.
答案：(1)× (2) √ (3) × (4)×
2.
答案：B
3.
答案：B
4.
解：设 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点为 O，连接 OC，则 OA = OB = OC.
故点 O 是△ABC 的外心.
∵∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，
∴ AB = 13 cm. 则 OA = 6.5 cm，
即 △ABC 的外接圆半径为 6.5 cm.

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