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第三章 圆
*3.7 切线长定理
学习目标：
1．理解切线长的定义；(重点)
2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)
一、复习回顾
1. 直线和圆有哪些位置关系？
2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法)
要点探究
知识点一： 切线长的定义
探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？
知识点二： 切线长定理
合作探究
如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点.
(1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
(2) 在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.
动手实践
请证明你的猜想.
已知：如图， PA，PB 是☉O 的两条切线，A，B 为切点.
求证：PA = PB.
合作探究
思考 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
如何验证我们的猜想是否正确？
知识要点
切线长定理
合作探究
如图，四边形 ABCD 的四条边都与⊙O 相切，图中的线段之间有哪些等量关系？
例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径.
链接中考
1.(西宁)如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( )
2.(天津)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°.
(1) 求∠P 的大小；
(2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号).
二、课堂小结
1. 如图，PA、PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，如果 AP = 4，∠APB = 40° ，则 ∠APO = ，PB= .
2. 如图，已知点 O 是 △ABC 的内心，且 ∠ABC= 60°， ∠ACB= 80°，则 ∠BOC= .
3. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、E、F三点，如图，已知 AF=3，BD + CE=12，则 △ABC的周长是 .
(湖州)如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD.
若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数.
参考答案
一、创设情境，导入新知
1.
相离、相交、相切.
2.
(1) 数量关系法(证明 d = r)；
(2) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
小组合作，探究概念和性质
知识点一： 切线长的定义
探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？
知识点二： 切线长定理
合作探究
(1)
是轴对称图形，对称轴是直线 OP .
(2)
证明：连接 OA、OB.
∵PA，PB 是☉O 的切线，
∴∠PAO = ∠PBO = 90°.
在 Rt△POA 和 Rt△POB 中，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△POA≌Rt△POB.
∴ PA = PB.
合作探究
思考 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
猜想：∠APO = ∠BPO
合作探究
结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
即 AD＋BC＝AB＋CD.
例1
解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设 OD = r.
在 Rt△ABC 中，AC = 10，BC = 24，
∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，
AD = AF，CE = CF.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 OECF 为正方形.
∴ CE = CF = r.
∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r.
∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r.
而 AB = 26，∴ 34 – 2r = 26.
∴ r = 4，即 ⊙O 的半径为 4.
链接中考
1.B
2.
解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴ PA⊥AB. ∴∠BAP = 90°.
∵∠BAC = 30°，
∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°.
又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C，
∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形.
∴∠P = 60°.
(2) 如图，连接 BC，则∠ACB = 90°.
在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°.
∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°.
∴ △PAC 为等边三角形.
∴ PA = AC.
∴ PA = .
当堂检测
1.
答案：20°，4
2.
答案：110°.
3. 30
4.

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