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第三章 圆
3.9 弧长及扇形的面积
学习目标：
1．了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用；(重点)
2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长l＝和扇形面积S扇＝的计算公式，并应用这些公式解决一些问题．(难点)
一、复习回顾
问题1 你注意到了吗，在运动会的 4×100 米比赛中，各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
要点探究
知识点一：弧长的计算
探究一 如图，某传送带的一个转动轮的半径为 10 cm.
转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
转动轮转 n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
归纳总结
在半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长的计算公式为_____________________.
n 表示 1° 圆心角的倍数.
典例精析
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即弧 AB 的长度（结果精确到 0.1 mm）.
链接中考
知识点二：扇形面积的计算
想一想
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长 3 m 的绳子，绳子的一端栓着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过 n° 角，
那么它的最大活动区域有多大？
合作探究
探究二 如何求圆的部分面积
扇形：
问题一 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．你能类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式吗？
归纳总结
问题二 圆心角是 n° 的扇形的面积呢？
如果扇形的半径为 R，圆心角为 n°，那么扇形面积的计算公式为S扇形=________.
链接中考
2.(兰州)如图 1 是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板；该展板的部分示意图如图 2 所示；它是以 O 为圆心，OA，OB 长分别为半径，圆心角∠O =120° 形成的扇面，若 OA = 3m ，OB =1.5m，则阴影部分的面积为 ( )
A. 4.25π m2 B. 3.25π m2
C. 3π m2 D. 2.25π m2
探究三 圆心角是 n° 所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系.
方法总结
圆心角为 n° 的扇形的面积是:
典例精析
例2 扇形 AOB 的半径为 12 cm，∠AOB = 120°，求 的长（结果精确到 0.1 cm）和扇形 AOB 的面积（结果精确到 0.1 cm2）.
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2).
方法总结
二、课堂小结
1. 75° 的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所在圆的半径是_____cm.
2.某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为 ( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
3. 如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形 ABD 的面积为______.
4.(宜昌)“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形如图以边长为 2 厘米的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积是_____________________.
5．一个扇形的弧长为 20π cm，面积是 240π cm2，则 该扇形的圆心角为多少
参考答案
小组合作，探究概念和性质
知识点一：弧长的计算
答案：（1）2πr== 20π cm
（2）
（3）
归纳总结
在半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长的计算公式为_____________________.
n 表示 1° 圆心角的倍数.
典例精析
例1
链接中考
答案：B
知识点二：扇形面积的计算
想一想
答案：（1）半径为 3 m 的圆的面积
πr2 = 9π m2
（2）
链接中考
2.
答案：D
探究三 圆心角是 n° 所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系.
方法总结
圆心角为 n° 的扇形的面积是:
典例精析
例2
例3
当堂检测
1.
答案：6
2.答案：B
3.
答案：25
4.
S莱洛三角形= (S扇形BAC -S△ABC)×3+S△ABC
答案：
5．

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