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第四章 因式分解
4.2 提公因式法
第1课时 提公因式为单项式的因式分解
学习目标：
1.能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；
2.能简单运用提公因式法进行因式分解.
一、情境导入
问题1：多项式 ma + mb + mc 有哪几项？
问题2：每一项的因式都分别有哪些？
问题3：这些项中有没有公共的因式？若有，公共的因式是什么？
要点探究
知识点一： 确定公因式
问题：观察下列多项式，它们有什么共同特点？
ab + bc 3x2 + x mb2 + nb－b.
想一想
尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积
ab + bc ；
3x2 + x；
mb2 + nb－b.
议一议
例1 (1) 多项式 2x2 – 6x3 中各项的公因式是什么？
(2)你能尝试将多项式 2x2 – 6x3 因式分解吗
正确找出多项式各项公因式的关键是：
练一练
写出下列多项式的公因式.
（1）x－x2；
（2）4abc + 2a；
（3）abc－b2 + 2ab；
（4）a2 + ax2.
知识点二： 提公因式为单项式的因式分解
知识要点：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫做提公因式法.
思考：以下是三名同学对多项式 2x2 + 4x 分解因式的结果：
（1）2x2 + 4x = 2(x2 + 2x)；
（2）2x2 + 4x = x(2x + 4)；
（3）2x2 + 4x = 2x(x + 2).
哪位同学的结果是正确的？
用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？
易错分析：
问题1：小明的解法有误吗？
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
问题2：小亮的解法有误吗？
因式分解：3x2－6xy + x.
解：原式 = x(3x－6y).
问题3：小华的解法有误吗？
因式分解：－x2 + xy－xz.
解：原式 = －x(x + y－z).
例2 分解下列因式：
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系
二、课堂小结
1. 多项式 8xmyn－1－12x3myn 的公因式是（　　）
A．xmyn B．xmyn－1 C．4xmyn D．4xmyn－1
2. 把下列多项式分解因式：
(1) －3x2 + 6xy－3xz；
(2) 3a3b + 9a2b2－6a2b.
3. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值．
参考答案
创设情境，导入新知
问题1：多项式 ma + mb + mc 有哪几项？
ma，mb，mc
问题2：每一项的因式都分别有哪些？
依次为 m，a；m，b；m，c
问题3：这些项中有没有公共的因式？若有，公共的因式是什么？
有，为 m
小组合作，探究概念和性质
知识点一： 确定公因式
问题：观察下列多项式，它们有什么共同特点？
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
想一想
尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积
(1) ab + bc ； b(a + c)
(2) 3x2 + x； x(3x + 1)
(3) mb2 + nb－b. b(mb + n－1)
议一议
(2)你能尝试将多项式 2x2 – 6x3 因式分解吗
2x2 – 6x3＝2x2(1– 3x)
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
练一练
写出下列多项式的公因式.
（1）x－x2；
（2）4abc + 2a；
（3）abc－b2 + 2ab；
（4）a2 + ax2.
答案：（1） x （2）2a （3）b （4）a
知识点二： 提公因式为单项式的因式分解
知识要点：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
思考：以下是三名同学对多项式 2x2 + 4x 分解因式的结果：
（1）2x2 + 4x = 2(x2 + 2x)；
（2）2x2 + 4x = x(2x + 4)；
（3）2x2 + 4x = 2x(x + 2).
哪位同学的结果是正确的？
答：根据最终结果是否还能进一步分解，易知第三位同学的结果是正确的.
用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？
易错分析：
问题1：小明的解法有误吗？
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
答案：错误. 公因式没有提尽，还可以提出公因式 2
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y).
注意：公因式要提尽.
问题2：小亮的解法有误吗？
因式分解：3x2－6xy + x.
解：原式 = x(3x－6y).
答案：错误. 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1.
正确解：原式 = 3x·x－ 6y·x + 1·x = x(3x - 6y + 1).
注意：整项提出莫漏 1.
问题3：小华的解法有误吗？
因式分解：－x2 + xy－xz.
解：原式 = －x(x + y－z).
答案：错误. 提出负号时括号里的项没变号
正确解：原式=－(x2－xy + xz) = －x(x－y + z).
注意：首项有负常提负.
例2 分解下列因式：
解：(1) 原式 = x·3＋x·x2 = x(3＋x2).
(2) 原式 = 7x2·x－7x2·3 = 7x2(x－3).
(3) 原式 = ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1 = ab(8a2b－12b2c＋1).
(4) 原式 = －(24x3－12x2 + 28x) =－(4x·6x2－4x·3x + 4x·7) =－4x(6x2 －3x+7).
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系
因式分解与整式乘法互为逆变形
当堂小结
当堂检测
1. 多项式 8xmyn－1－12x3myn 的公因式是（　D　）
A．xmyn B．xmyn－1 C．4xmyn D．4xmyn－1
解析：(1) 公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数，为 4；
(2) 字母取各项都含有的相同字母，为 xy；
(3) 相同字母的指数取次数最低的，x 为 m 次，y 为 n－1 次.
2. 把下列多项式分解因式：
(1) －3x2 + 6xy－3xz；
(2) 3a3b + 9a2b2－6a2b.
解：(1) －3x2 + 6xy－3xz = (－3x)·x + (－3x)·(－2y) + (－3x)·z
= －3x(x－2y + z).
(2) 3a3b + 9a2b2－6a2b = 3a2b·a + 3a2b·3b－3a2b·2
= 3a2b(a + 3b－2).
3. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值．
解：∵ a＋b ＝ 7，ab ＝ 4，
∴ 原式 ＝ ab(a＋b) ＝ 4×7 ＝ 28.
方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可.

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