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第四章 因式分解
4.1 因式分解
学习目标：
1.了解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
一、情境导入
问题：993 - 99 能被 100 整除吗？
想一想：993 - 99 还能被哪些整数整除
要点探究
知识点一：全等三角形的判定和性质
议一议
你能尝试把 a3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗 与同伴交流.
做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？
问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结：
辩一辩
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b) = ax﹣bx （ ）
B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 （ ）
C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1) （ ）
D. ax + by + c = x(a + b) + c （ ）
E. 2a3b = a2 2ab （ ）
F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9 （ ）
总结：
做一做
计算下列各式： 根据左边的算式进行因式分解：
(1) 3x(x - 1) = (1) 3x2 - 3x = ( )( )
(2) m(a+b - 1) = (2) ma+mb - m = ( )( )
(3) (m+4)(m - 4) = ___ (3) m2 - 16 = ( )( )
(4) (y - 3)2 = _____ (4) y2 - 6y+9 = ( )( )
知识点二：因式分解与整式乘法的关系
想一想：
由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算
由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同
想一想：因式分解与整式乘法有什么关系
典例精析：
例 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值.
练一练：
下列多项式中，分解因式的结果为 - (x + y)(x - y)的是（　　）
A．x2 - y2 B． - x2 + y2
C．x2 + y2 D． - x2﹣y2
二、课堂小结
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 ( )
A. a(a + b - 1) = a2 + ab -a B. a2 - a - 2 = a(a - 1) - 2
C. - 4a2 + 9b2 = ( - 2a + 3b)(2a + 3b) D. 2x +1 = x(2 + )
2. 把多项式 x2 + 4mx + 5 因式分解得 (x + 5)(x + n)，则 m + n 的值为 　 ．
3. 20242 + 2024 能被 2025 整除吗
4. 若多项式 x4 + mx3 + nx - 16 含有因式 (x - 2) 和 (x - 1)， 求 mn 的值.
5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 (x + 2)(x + 4)；乙看错了 a，分解结果为 (x + 1)(x + 9)，求 a + b 的值.
参考答案
创设情境，导入新知
问题：993 - 99 能被 100 整除吗？
想一想：993 - 99 还能被哪些整数整除
还能被98，99, 49等正整数整除.答案不唯一，只要合理就应给予肯定.
小组合作，探究概念和性质
知识点一：全等三角形的判定和性质
议一议
你能尝试把 a3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗 与同伴交流.
提示：类比993 - 99 的因数分解
a3 - a = a(a2 - 1) = a(a + 1)(a - 1)
做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？
联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式.
区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.
问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？
归纳总结：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
（ × ） A. x(a﹣b) = ax﹣bx
（ ×） B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2
（√ ） C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1)
（ ×） D. ax + by + c = x(a + b) + c
（ ×） E. 2a3b = a2 2ab
（ ×） F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9
计算下列各式：
(1) 3x(x - 1) = 3x2 - 3x
(2) m(a+b - 1) = ma+mb - m
(3) (m+4)(m - 4) = ____m2 - 16
(4) (y - 3)2 = _____ y2 - 6y+9
根据左边的算式进行因式分解：
(1) 3x2 - 3x = ( 3x )( x - 1 )
(2) ma+mb-m = ( m )( a+b - 1 )
(3) m2 - 16 = ( m+4 )( m - 4 )
(4) y2 - 6y+9 = ( y - 3 )( y - 3 ) 或 (y - 3)2
想一想：
由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算
由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同
答：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3- a 的变形是整式乘法，
由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与上面的变形互为逆过程.
想一想：因式分解与整式乘法有什么关系
是互为相反的变形，即
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
因式分解等式的特征：
左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
典例精析：
例 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值.
解：∵ x2 + ax + b = a(x - 2)(x + 3)= ax2 + ax - 6a，
∴ a = 1，b = -6a =﹣6.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可.
练一练
下列多项式中，分解因式的结果为 - (x + y)(x - y)的是（　B　）
A．x2 - y2 B． - x2 + y2
C．x2 + y2 D． - x2﹣y2
课堂小结：
当堂检测
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是 ( C )
A. a(a + b - 1) = a2 + ab - a B. a2 - a - 2 = a(a - 1) - 2
C. - 4a2 + 9b2 = ( - 2a + 3b)(2a + 3b) D. 2x +1 = x(2 + )
2. 把多项式 x2 + 4mx + 5 因式分解得 (x + 5)(x + n)，则 m + n 的值为 　 ．
3. 20242 + 2024 能被 2025 整除吗
解：∵ 20242 + 2024 = 2024(2024 + 1) = 2024×2025，
∴ 20242 + 2024 能被 2025 整除.
4. 若多项式 x4 + mx3 + nx - 16 含有因式 (x - 2) 和 (x - 1)， 求 mn 的值.
解：∵ x4 + mx3 + nx - 16 的最高次数是 4，
∴可设 x4 + mx3 + nx - 16 = (x - 1)(x - 2)(x2 + ax + b)，
则 x4+mx3+nx - 16 = x4 +(a - 3)x3+(b - 3a+2)x2+(2a - 3b)x+2b
比较系数得 2b= - 16，b - 3a+2 = 0，a - 3=m，2a - 3b=n，
解得 a = - 2，b = - 8，m = - 5，n = 20.
∴mn = - 5×20 = - 100．
5. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 (x + 2)(x + 4)；乙看错了 a，分解结果为 (x + 1)(x + 9)，求 a + b 的值.
解：甲分解因式看错了 b，但 a 是正确的，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，
∴ a = 6.
同理，乙看错了 a，但 b 是正确的，
分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9，
∴b = 9.
∴a + b = 15．

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