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第四章 因式分解
4.3 第1课时 平方差公式
学习目标：
1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；
2.掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式.
一、情境导入
如图，在边长为 x (x＞5) 米的正方形上剪掉一个边长为 5 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
同理，根据此图形变换，你能得到什么公式？
要点探究
知识点一：用平方差公式进行因式分解
观察下面两个等式，它们有什么共同特征
x2 - 25 = (x + 5)(x - 5)
9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y)
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
定义总结：
辨一辨
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
x2 + y2 (2) x2 y2
x2 y2 (4) x2 + y2
x2 25y2 (6) 9m2 1
总结：
典例精析
例1 把下列各式因式分解：
(1) 25－16x2； (2) 9a2－ b2.
例2 分解因式：
(1) 9(m＋n)2－(m－n)2； (2) (a＋b)2－4a2.
例3 把下列各式因式分解：
(1) 2x3－8x； (2) a3b－ab.
练一练
1.把下列各式分解因式：
(1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b.
2.已知 x2－y2＝－2，x＋y＝1，求 x－y，x，y 的值.
二、课堂小结
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 (　　)
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
2. 把下列各式分解因式：
(1) 16a2－9b2 = _________________ ；
(2) (a + b)2－(a－b)2 = _____；
(3) 9xy3－36x3y =_________________；
(4) －a4 + 16 =_________________ .
3. 已知 4m + n = 40，2m－3n = 5，求(m + 2n)2－(3m－n)2的值．
4. 如图，在边长为 6.8 cm 正方形钢板上，挖去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积．
5. (1) 992－1 能被 100 整除吗？
(2) n为整数，(2n + 1)2－25 能否被 4 整除？
参考答案
创设情境，导入新知
1.x2 - 52 = (x + 5)(x - 5)
2.9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y)
小组合作，探究概念和性质
知识点一：用平方差公式进行因式分解
观察下面两个等式，它们有什么共同特征
x2 - 25 = (x + 5)(x - 5)
9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y)
是两数的平方差的形式
想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？
定义总结：
将乘法公式 (a + b)(a b) = a2 - b2 反过来，就得到
运用平方差公式因式分解
运算法则：a2 - b2 = (a + b)(a b)
文字说明：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
x2 + y2 × (2) x2 y2 √
x2 y2 × (4) x2 + y2 √
(5) x2 25y2 √ (6) 9m2 1 √
总结：
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，
即能写成 ( )2 ( )2 的形式.
典例精析
例1 把下列各式因式分解：
(1) 25－16x2； (2) 9a2－b2.
解：(1) 原式＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)
(2) 原式＝(3a)2－ (b)2 ＝ (3a +b )(3a－b )
例2 分解因式：
(1) 9(m＋n)2－(m－n)2； (2) (a＋b)2－4a2.
解：(1) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2
＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
(2) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
例3 把下列各式因式分解：
(1) 2x3－8x； (2) a3b－ab.
解：(1) 原式＝2x(x2－4)
＝2x( x + 2 )( x－2)
(2) 原式＝ab(a2－1)＝ab(a + 1)(a－1).
练一练
1.把下列各式分解因式：
(1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b.
解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4)
＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2)
＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
(2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b)
＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
＝ (a＋2b)(a－2b－1).
2.已知 x2－y2＝－2，x＋y＝1，求 x－y，x，y 的值.
解：∵x2－y2 ＝ (x＋y)(x－y)＝ －2，
x＋y ＝ 1①，
∴ x－y ＝ －2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
当堂小结
当堂检测
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 (　D　)
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
2. 把下列各式分解因式：
(1) 16a2－9b2 = ___(4a + 3b)(4a－3b)___ ；
(2) (a + b)2－(a－b)2 = _4ab__；
(3) 9xy3－36x3y =__9xy(y + 2x)(y－2x)__；
(4) －a4 + 16 =__(4 + a2)(2 + a)(2－a)__.
3. 已知 4m + n = 40，2m－3n = 5，求(m + 2n)2－(3m－n)2的值．
解：原式 = (m + 2n + 3m－n)(m + 2n－3m + n)
= (4m + n)(3n－2m)
= －(4m + n)(2m－3n)，
当 4m + n = 40，2m－3n = 5 时，
原式 = －40×5 = －200.
4. 如图，在边长为 6.8 cm 正方形钢板上，挖去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方形，求剩余部分的面积．
解：根据题意，得
6.82－4×1.62＝ 6.82－ (2×1.6)2
＝ 6.82－3.22＝ (6.8＋3.2)(6.8－3.2)
＝ 10×3.6＝ 36 (cm2).
答：剩余部分的面积为 36 cm2.
5. (1) 992－1 能被 100 整除吗？
(2) n为整数，(2n + 1)2－25 能否被 4 整除？
解：(1) ∵ 992－1 = ( 99 + 1 )( 99－1 ) = 100×98，
∴ 992－1 能被 100 整除.
(2) 原式 = ( 2n + 1 + 5 )( 2n + 1－5 )
= ( 2n + 6 )( 2n－4 )
= 2( n + 3 )×2( n－2 ) = 4( n + 3 )( n－2 ).
∵ n 为整数，
∴ ( 2n + 1 )2－25 能被 4 整除.

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