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第四章 因式分解
4.3 公式法
第2课时 完全平方公式
学习目标：
1.理解完成平方公式，弄清完成平方公式的形式和特点；
2.掌握运用完成平方公式分解因式的方法，能正确运用完成平方公式把多项式分解因式.
一、情境导入
1.什么是因式分解？
2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？
要点探究
知识点一：用完全平方公式分解因式
拼出图形为：
这个大正方形的面积可以怎么求？
将上面的等式逆过来写，能得到：
我们把 和 这样的式子叫做完全平方式.
观察这两个式子：
每个多项式有几项？
每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
定义总结
方法总结：
完全平方式的特点：
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
典例精析
例1 把下列完全平方式因式分解：
(1) x2 + 14x + 492；
(2) (m + n)2 - 6(m + n) + 9.
例2 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2－4y2 + 4xy.
练一练
1. 因式分解：
(1) －3a2x2＋24a2x－48a2；
(2) (a2＋4)2－16a2.
2.(阳山县期中)用简便方法计算：
(1) 1252－50×125 + 25 ；
(2) 652×11－352×11.
二、课堂小结
1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2. 若关于 x 的多项式 x2－8x＋m2 是完全平方式，则 m 的值为______．
3. 把下列多项式因式分解.
(1) x2－12x + 36； (2) 4(2a + b)2－4(2a + b) + 1；
(3) y2 + 2y + 1－x2.
4. 计算：(1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
(2) 20242－2024×4046＋20232；
5. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
参考答案
小组合作，探究概念和性质
知识点一：用完全平方公式分解因式
拼出图形为：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
将上面的等式逆过来写，能得到：
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
我们把 a + 2ab + b 和 a - 2ab + b 这样的式子叫做完全平方式.
观察这两个式子：
每个多项式有几项？
三项
每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的 ±2 倍
定义总结
完全平方式：a2 ± 2ab + b2
运用平方差公式因式分解：
运算法则：a2±2ab + b2 = (a±b)2
文字说明：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
方法总结：
完全平方式的特点：
1. 必须是三项式 (或可以看成三项的)；
2. 有两个数或式的平方和；
3. 有这两数或式之积的 ±2 倍.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； （2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
答案；（1）是；（2）不是；（3）不是；（4）不是；（5）是.
典例精析
例1 把下列完全平方式因式分解：
(1) x2 + 14x + 492；
(2) (m + n)2 - 6(m + n) + 9.
解：(1) 原式＝( x + 7 )2.
(2) 原式＝[( m + n )－3]2＝( m + n－3 )2
例2 把下列各式因式分解：
(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) －x2－4y2 + 4xy.
解：(1) 原式＝3a( x2 + 2xy + y2 )＝3a( x + y)2.
(2) 原式＝－(x2 + 4y2－4xy)＝－(x2－4xy + 4y2)
＝－[x2－2 · x · 2y + (2y)2]＝－(x－2y)2
练一练
1. 因式分解：
(1) －3a2x2＋24a2x－48a2；
(2) (a2＋4)2－16a2.
解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2.
2.(阳山县期中)用简便方法计算：
(1) 1252－50×125 + 25 ；
(2) 652×11－352×11.
解：(1) 原式 = (125－25) = 10000.
原式 = (65 + 35)(65－35)×11= 33000.
课堂小结
当堂检测
1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( B )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2. 若关于 x 的多项式 x2－8x＋m2 是完全平方式，则 m 的值为__±4_．
3. 把下列多项式因式分解.
(1) x2－12x + 36； (2) 4(2a + b)2－4(2a + b) + 1；
(3) y2 + 2y + 1－x2.
解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + (6)2 = (x - 6)2.
(2) 原式 = [ 2(2a + b) ] - 2·2(2a + b)·1 + ( 1 )
= (4a + 2b - 1)2.
(3) 原式 = ( y + 1) - x
= (y + 1 + x)( y + 1 - x).
4. 计算：(1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
(2) 20242－2024×4046＋20232；
解：(1) 原式＝(38.9－48.9)2＝100.
(2) 原式＝(2024)2－2×2024×2023＋(2023)2
＝(2024－2023)2
＝1
5. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值.
解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当 a－b＝3 时，原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当 ab＝2，a＋b＝5 时，
原式＝2×52 ＝ 50.

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