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第十三章 相交线平行线专项提高
【知识要点】
一、相交线
1、邻补角及邻补角的性质:
（1）概念：两个角有 ，它们的另一边互为 ，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
（2）性质：互为邻补角的两个角 ，但互补的两个角不一定互为邻补角．
2、对顶角及其性质：
（1）概念：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的 ，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角．
（2）性质： ．
3、两条直线的夹角： .
4、垂线
（1）概念：如果两条直线的夹角为 ，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
（2）垂直公理： ，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条
（3）中垂线：过线段 且 这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．
5、垂线段：联结直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短．
6、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的 ，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线上，那么就说这个点到直线的距离为零．
二、平行线
1、平行公理：经过直线外一点， 一条直线与已知直线平行；
2、平行线间距离处处相等：两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离，平行线间的距离处处相等．
3、平行线的判定
（1） ，两直线平行
（2） ，两直线平行
（3） ，两直线平行
（4）平行线的传递性： 的两直线平行
4、平行线的性质
（1）两直线平行， ．
（2）两直线平行， ．
（3）两直线平行， ．
专题大纲
1、邻补角与对顶角
2、垂线与斜线
3、等积变形
4、平行线的性质和判定
5、平行线基本模型
6、平行线与翻折
专题精讲
专题一 邻补角与对顶角
【例1】如图所示，O是直线AB上任意一点，以O为端点任意做一条射线OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数为 ．
(
A
B
C
D
E
O
)
【练习1】下列说法：
①有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角；
②互补的两角一定是邻补角；
③对顶角相等；
④相等的角是对顶角；
⑤如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；
⑥如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等．
其中正确的说法是
【练习2】如图，直线、相交于点O，平分；平分．若，则 °
【练习3】已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，且∠BOC＞∠AOB，OD平分∠AOB，射线OE使，当∠DOE＝72°时，∠EOC的度数为 .
专题二 垂线与斜线
【例2】如图，直线，相交于点，若，则直线与的夹角度数为　　．
【练习1】如图，，，，．点到直线的距离 ，到直线的距离是 ．
练习1图 练习2图
【练习2】如图，点O是直线上一点，，，是的平分线，则的度数是 °．

【练习3】如果两个角的两边分别垂直且其中一个角比另一个角的4倍少30°，则这两个角的度数分别为 .
【练习4】已知点O在直线AB上，以点O为端点的两条射线OC、OD互相垂直，若∠AOC=30°，则∠BOD的度数是 .
【练习5】如图，O是直线AB上任意一点，以O为端点任意做一条射线OC，若平分，，试说明平分
专题三 等积变形
【例3】如图，,、交于点,若,,则 .
【练习1】如图，直线，点、位于直线上，点、位于直线上，且，如图的面积为6，那么的面积为 .
【练习2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，E为AB上一点，CF⊥BE，垂足为点F．如果四边形ABCD面积为48，BE=7，那么CF=　 　．
练习1图 练习2图
【练习3】已知，AB∥CD，且CD=2AB，△ABE和△CDE的面积分别为2和8，则△ACE的面积是
【练习4】如图，正方形ABCD和正方形BEFG两正方形的面积分别是10和3，那么阴影部分面积是　 　．
练习3图 练习4图
专题四 平行线的性质和判定
【例4-1】如图，CE平分∠ACD，∠1=∠B，说明AB∥CE．
(
A
B
C
D
E
)
【练习1】已知AE是∠BAP的平分线，PE是∠APD的角平分线，∠1+∠4=90°，请说明AB∥CD的理由．
【练习2】已知：如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．说明AB∥DC的理由．
【练习3】如图，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A +∠AEF180°．说明CD∥EF的理由．
【例4-2】如图，AB//DE，CM平分∠BCE，，，求∠DCN的度数
【练习1】如图，已知，平分，=150°，则 °
【练习2】已知的两条边分别与的两条边平行，且的度数比的的2倍小，则；
【练习3】如图，已知AD平分，，试说明的理由．
(
A
B
C
D
E
F
)
【练习4】已知：如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，A=D，1=2，试说明：B=C．
(
A
B
C
D
E
F
G
H
)
专题五 平行线基本模型
【例5】如图，已知AB∥ED，试说明：∠B+∠D＝∠C．
【练习1】如图，已知AB//CD，那么、、之间的关系为
【练习2】如图，AB//CD, ，，则的度数是 .
【练习3】如图，已知,,和的平分线交于点,= °
练习1图 练习2图 练习3图
【练习4】如图，AB∥CD，求证：∠B＋∠F＋∠D＝∠E＋∠G
专题六 平行线与翻折
【例6】如图①是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图②,再沿BF折叠成图③.
（1）若∠DEF=20°,则图③中∠CFE度数是 .
（2）若∠DEF=,把图③中∠CFE用表示.
【练习1】有一条直的等宽纸带，按如图折叠时，纸带重叠部分中的∠= 度。
【练习2】一个四边形纸片，，把纸片按如图所示折叠，使点落在边上的点，是折痕，若，那么
．
【练习3】如图a，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠BFE=70°，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b．
（1）图a中，∠AEG=　 　°；
（2）图a中，∠BMG=　 　°；
（3）图b中，∠EFN=　 　°．
【单元过关卷】
一、选择题
1、下列说法正确的个数有（　　）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行
（2）一条直线有且只有一条垂线
（3）不相交的两条直线叫做平行线
（4）直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2、如图，∠1=n°，∠2与∠4互余，则∠3的度数是（　　）
A．n° B．90°﹣n° C．180°﹣n° D．
第2题图 第3题图
3、如图，已知，那么使成立的另一个条件是　　
A． B． C． D．
4、两条平行直线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（ ）
一组同位角的角平分线互相平行
一组内错角的角平分线互相平行
一组同旁内角的角平分线互相平行
一组同旁内角的角平分线互相垂直
5、如图，若，则、、的关系是　　
A． B．
C． D．
二、填空题
6、如图，平分，，则　　．
7、如图，AC⊥AB，AC⊥CD，垂足分别是点A、C，如果∠CDB=130°，那么直线AB与BD的夹角是　 　度．
第6题图 第7题图 第8题图
8、如图：AB∥CD，AE平分∠CAB，∠DEA=125°，则∠CAE =_______°
9、如图，AD//BC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是1，则△BOC的面积是 .
第9题图 第11题图
10、已知α的两边与β的两边分别平行，如果α=50°，则β=　 　
11、如图，直线，点、位于直线，点、位于直线上，且，若的面积为6，则的面积为 .
12、如图，一张长方形纸条经折叠后的形状，如果，那么∠2＝_____.
第12题图 第13题图
13、如图，已知，，，则　　．
14、将沿着翻折，使点落到点处，、分别与交于、两点，且．已知，则　　．
15、如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得、、，顺次连接、、，得到△，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得、、，顺次连接、、，得到△，记其面积为；；按此规律继续下去，可得到△，则其面积　　．
三、解答题
16、如图，已知AD//BE,∠CDE=∠C,试说明∠A=∠E的理由.
17、中，，，是上一点，且，试说明∥的理由．
18、已知：如图，AD∥BC，AE是∠BAD的角平分线，AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，且∠E=∠CFE，请说明∠ABF=∠BFC的理由．
19、如图，已知∠ADE=∠B,∠EDC+∠CHG=180°,那么∠ECD=∠F吗 为什么
20、如图，已知，AB//CD，∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，求∠E和∠F的关系
(
A
B
C
D
E
F
)
21、已知，如图1，四边形ABCD，∠D=∠C=90°，点E在BC边上，P为边AD上一动点，过点P作PQ⊥PE，交直线DC于点Q．
（1）当∠PEC=70°时，求∠DPQ；
（2）当∠PEC=4∠DPQ时，求∠APE；
（3）如图3，将△PDQ沿PQ翻折使点D的对应点D′落在BC边上，当∠QD′C=40°时，请直接写出∠PEC的度数，答：　　．
22、已知：AB∥DE．
（1）如图1，点C是夹在AB和DE之间的一点，当AC⊥CD时，垂足为点C，你知道∠A+∠D是多少吗？这一题的解决方法有很多，
例如 ①过点C作AB的平行线；
②过点C作DE的平行线；
③联结AD；
④延长AC、DE相交于一点．
请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由．
（2）如图2，点C1、C2是夹在AB和DE之间的两点，请想一想：∠A+∠C1+∠C2++∠D=　 　度，并说明理由．
（3）如图3，随着AB与CD之间点增加，那么∠A+∠C1+∠C2++……+∠Cn+1+∠D=　 　度．（不必说明理由）
23、将一副三角板中的两块直角三角形的直角顶点0按图1方式叠放在一起（其中∠C＝30°，∠CDO＝60°；∠OAB＝∠OBA＝45°）.△COD绕着点O顺时针旋转一周，旋转的速度为每秒10°，若旋转时间为t秒，请回答下列问题：（请直接写出答案）
（1）当时（如图2），∠BOC与∠AOD有何数量关系
（2）当t为何值时，边OA∥CD？
24、如图①所示，已知，，，试回答下列问题：
（1）试说明：；
（2）如图②，若点、在上，且，平分．试求的度数；
（3）在（2）的条件下，若左右平行移动，如图③，那么的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；
（4）在（3）的条件下，当时，试求的度数。

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