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第一章 数与式
第三节 二次根式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次根式的相关概念 ☆ 在以往的广东省统考中，二次根式的相关知识属于必考内容，包含的考点多数与计算有关，属于较易拿分题；对二次根式其中相关的概念，性质以及运算法则需掌握牢固，记忆清晰，在中考中难度不大，应避免在此处失分。
考点2 二次根式的性质 ☆☆
考点3 二次根式的运算 ☆☆☆
考点4 二次根式的化简求值 ☆☆☆
考点1 二次根式的有关概念
1.二次根式
一般地，形如式子的式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是___________。
2.最简二次根式
若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含___________，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果___________相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
考点2 二次根式性质
1.二次根式的性质
（1）双重非负性：
（2）
（3）积的算术平方根：
（4）商的算术平方根：
2.二次根式的非负性
常见非负数及其性质
①实数的绝对值：；②实数的平方：；③二次根式：；
非负性
如果几个非负数的和为0，那么每个非负数均___________。如
考点3 二次根式的运算及化简求值
1.二次根式的加减法：先将各根式化为最简根式，然后合并被开方数相同的二次根式。
2.二次根式的乘法：
3.二次根式的除法：
4.二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
5.与二次根式有关的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先___________再代入___________．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
考点1：二次根式的有关概念
◇例题
1．下列式子中，是二次根式的是（　　）
A．π B． C． D．
2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
4．若是二次根式，则x的取值范围是 　 ．
5．将二次根式化为最简二次根式　　．
6．最简二次根式与是同类二次根式，则x+3y＝　　．
考点2：二次根式的性质
◇例题
1．若＝a﹣5，则a的取值范围是（　　）
A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5
2．化简：的结果为（　　）
A． B． C． D．
3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
4．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：＝＝＝＝﹣1．
再如：＝．
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
◆变式训练
5．化简：＝　　．
6．化简：＝　　．
7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：＝　　．
8．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7， ＝，
∴＝＝＝2+
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
考点3：二次根式的运算及化简求值
◇例题
1．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．计算：＝　　．
4．计算：2．
5．计算：
（1）； （2）．
6．若x＝．
（1）化简x、y； （2）求x2+xy+y2．
◆变式训练
7．计算：＝（　　）
A． B． C． D．
8．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．计算：﹣+（）0＝　　．
10．计算：2﹣﹣．
11．计算下列各题：
（1）； （2）．
12．请阅读下列材料：
问题：已知x＝﹣3，求代数式x2+6x﹣9的值．
小敏的做法是：根据x＝﹣3得（x+3）2＝5，
∴x2+6x+9＝5，得：x2+6x＝﹣4．
把x2+6x作为整体代入：得x2+6x﹣9＝﹣13，
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x＝+3，求代数式x2﹣6x+12的值；
（2）已知x＝，求代数式x3+2x2+x+1的值．
1．（2022 广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（　　）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
2．（2023 湛江市霞山区名校一模）下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 佛山二模）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021 广州）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 　　．
5．（2023 广州市增城区名校一模）计算：2﹣＝　　．
6．（2023 广东）计算：＝　　．
7．（2023 揭阳市榕城区二模）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 　　．
8．（2020 佛山市名校模拟）计算：×﹣÷．
9．（2021 潮州市饶平县名校模拟）计算：
（1）÷﹣×+．
（2）（2+）2﹣（+）（﹣）．
10．（2020 广州市越秀区名校一模）计算：．
11．（2021 中山市名校模拟）已知a+b＝﹣6，ab＝5，求．
1．（2023 宁阳县二模）式子有意义，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥3 B．a≠1 C．a≥﹣3且a≠1 D．a＞﹣3且a≠1
2．（2023 黄骅市一模）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 永兴县校级模拟）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 衡阳县校级一模）若最简二次根式和能合并，则x的值为（　　）
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
5．（2023 港北区三模）将二次根式化为最简二次根式　 ．
6．（2023 南岗区校级二模）计算：﹣3＝　 　．
7．（2023 临汾模拟）计算：＝　 　．
8．（2023 锦江区校级模拟）已知实数m＝﹣1，则代数式m2+2m+1的值为 　 　．
9．（2023 雁塔区校级模拟）计算：．
10．（2023 雨山区校级二模）计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．
11．（2023 临渭区二模）计算：．
12．（2023 晋城模拟）阅读与思考
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
＝，＝＝＝3+
像上述解题过程中，与、﹣与+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程被称为分母有理化．
任务：（1）的有理化因式 　 　；﹣2的有理化因式是 　．
（2）写出下列式子分母有理化的结果：
①＝　　；②＝　　 ．
（3）计算：+……+．
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第一章 数与式
第三节 二次根式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次根式的相关概念 ☆ 在以往的广东省统考中，二次根式的相关知识属于必考内容，包含的考点多数与计算有关，属于较易拿分题；对二次根式其中相关的概念，性质以及运算法则需掌握牢固，记忆清晰，在中考中难度不大，应避免在此处失分。
考点2 二次根式的性质 ☆☆
考点3 二次根式的运算 ☆☆☆
考点4 二次根式的化简求值 ☆☆☆
考点1 二次根式的有关概念
1.二次根式
一般地，形如式子的式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2.最简二次根式
若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
考点2 二次根式性质
1.二次根式的性质
（1）双重非负性：
（2）
（3）积的算术平方根：
（4）商的算术平方根：
2.二次根式的非负性
常见非负数及其性质
①实数的绝对值：；②实数的平方：；③二次根式：；
非负性
如果几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0。如
考点3 二次根式的运算及化简求值
1.二次根式的加减法：先将各根式化为最简根式，然后合并被开方数相同的二次根式。
2.二次根式的乘法：
3.二次根式的除法：
4.二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
5.与二次根式有关的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
考点1：二次根式的有关概念
◇例题
1．下列式子中，是二次根式的是（　　）
A．π B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义解答即可．
【解答】解：π，不符合二次根式的形式，不是二次根式；
中被开方数小于0，不是二次根式；
是二次根式．
故选：D．
2．下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和是同类二次根式．
【解答】解：A、原式＝2；
B、原式＝；
C、原式＝；
D、原式＝3．
故选：A．
3．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简二次根式的定义解答即可．
【解答】解：，是最简二次根式，共2个．
故选：B．
◆变式训练
4．若是二次根式，则x的取值范围是 　 ．
【分析】根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
【解答】解：∵是二次根式，
∴x+3≥0，解得：x≥﹣3，
故答案为：x≥﹣3．
5．将二次根式化为最简二次根式　　．
【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【解答】解：原式＝5，
故答案为：5
6．最简二次根式与是同类二次根式，则x+3y＝　　．
【分析】根据同类二次根式的定义解答即可．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3+x＝5﹣3y，
解得x+3y＝2．
故答案为：2．
考点2：二次根式的性质
◇例题
1．若＝a﹣5，则a的取值范围是（　　）
A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：∵＝a﹣5，
∴a﹣5≥0，
∴a≥5．
故选：C．
2．化简：的结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x＜0，变形得出原式＝﹣x，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：∵要式分式用意义，必须﹣≥0，
即x＜0，
∴﹣x
＝﹣x
＝﹣x
＝﹣．
故选：D．
3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【分析】根据数轴表示a＜0，|a|＝﹣a．＝|a﹣b|．
【解答】解：根据数轴可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|．
∴|a|+＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a+b．
故选：A．
4．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：＝＝＝＝﹣1．
再如：＝．
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：；
（2）化简：；
（3）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【分析】（1）把12拆成7+5，即（）2+（）2，写成完全平方公式的形式即可求解；
（2）先提出，把8拆成5+3，写成完全平方公式的形式即可求解；
（3）按照完全平方公式展开，使有理数和无理数分别相等，再根据a、m、n为正整数，得m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，分别计算出a的值即可．
【解答】解：（1）；
（2）＝；
（3）∵a+6＝（m+n）2＝m2+5n2+2mn，
∴a＝m2+5n2，6＝2mn，
又∵a、m、n为正整数，
∴m＝1，n＝3，或者m＝3，n＝1，
∴当m＝1，n＝3时，a＝46；
当m＝3，n＝1，a＝14，
综上所述，a的值为46或14．
◆变式训练
5．化简：＝　　．
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：原式＝＝．
故答案为：．
6．化简：＝　　．
【分析】此题考查二次根式的化简．
【解答】解：∵＜3，即﹣3＜0，
∴＝3﹣．
7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：＝　　．
【分析】根据数轴图可知b＞0，b﹣a＞0，再根据＝|a|化简式子即可．
【解答】解：根据数轴图可知b＞0，b﹣a＞0，
∴＝b﹣（b﹣a）＝a．
故答案为：a．
8．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7， ＝，
∴＝＝＝2+
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】先把各题中的无理式变成 的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
【解答】解：（1）＝＝﹣；
（2）＝＝＝﹣；
（3）＝＝．
考点3：二次根式的运算及化简求值
◇例题
1．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝．
故选：D．
2．下列运算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、4与不能合并，故A不符合题意；
B、与﹣不能合并，故B不符合题意；
C、÷＝，故C不符合题意；
D、×＝3，故D符合题意；
故选：D．
3．计算：＝　　．
【分析】先根据负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后把化简后进行乘法运算，最后合并即可．
【解答】解：原式＝×2+1﹣
＝+1﹣
＝1．
故答案为：1．
4．计算：2．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝4+﹣3
＝．
5．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简二次根式，再根据绝对值和负整数指数幂的意义计算，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣（1﹣）﹣×2
＝3﹣1+﹣
＝2；
（2）原式＝2﹣
＝2﹣3
＝﹣．
6．若x＝．
（1）化简x、y； （2）求x2+xy+y2．
【分析】根据分母有理化分别把x、y化简，把原式利用完全平方公式变形，代入计算即可．
【解答】解：x＝＝＝2+，y＝＝＝2﹣，
则x+y＝（2+）+（2﹣）＝4，xy＝（2+）（2﹣）＝1，
∴原式＝（x+y）2﹣xy＝42﹣1＝15．
◆变式训练
7．计算：＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：＝﹣．
故选：B．
8．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法法则逐个判断即可．
【解答】解：A．﹣＝3﹣2＝1，故本选项不符合题意；
B．3﹣2＝，故本选项不符合题意；
C．5和﹣2不能合并，故本选项不符合题意；
D．+＝+2＝3，故本选项符合题意．
故选：D．
9．计算：﹣+（）0＝　　．
【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：﹣+（）0
＝﹣2+1
＝﹣．
故答案为：﹣．
10．计算：2﹣﹣．
【分析】根据＝ （a≥0，b≥0）进行化简后，再合并同类二次根式．
【解答】解：原式＝2×﹣﹣
＝2×3﹣4﹣
＝6﹣4﹣
＝．
11．计算下列各题：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+6
＝5；
（2）原式＝（3﹣）×2
＝×2
＝10．
12．请阅读下列材料：
问题：已知x＝﹣3，求代数式x2+6x﹣9的值．
小敏的做法是：根据x＝﹣3得（x+3）2＝5，
∴x2+6x+9＝5，得：x2+6x＝﹣4．
把x2+6x作为整体代入：得x2+6x﹣9＝﹣13，
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x＝+3，求代数式x2﹣6x+12的值；
（2）已知x＝，求代数式x3+2x2+x+1的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求出x2﹣6x＝﹣4，整体代入计算，得到答案；
（2）根据完全平方公式求出x2＝，进而求出x3，代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵x＝+3，
∴x﹣3＝，
∴（x﹣3）2＝5，即x2﹣6x+9＝5，
∴x2﹣6x＝﹣4，
∴x2﹣6x+12＝﹣4+12＝8；
（2）∵x＝，
∴x2＝（）2＝，
∴x3＝x2 x＝×＝﹣2，
∴x3+2x2+x+1＝﹣2+2×++1＝．
1．（2022 广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（　　）
A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，
解得：x＞﹣1．
故选：B．
2．（2023 湛江市霞山区名校一模）下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A.＝，故A不符合题意；
B.＝＝，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C符合题意；
D.＝5，故D不符合题意；
故选：C．
3．（2023 佛山二模）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法，二次根式的除法和化简二次根式的方法求解判断即可．
【解答】解：A、3和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意．
故选：D．
4．（2021 广州）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 　　．
【分析】二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数．
【解答】解：代数式在实数范围内有意义时，x﹣6≥0，
解得x≥6，
∴x应满足的条件是x≥6．
故答案为：x≥6．
5．（2023 广州市增城区名校一模）计算：2﹣＝　　．
【分析】根据二次根式的减法法则进行解答．
【解答】解：原式＝（2﹣1）＝．
故答案为：．
6．（2023 广东）计算：＝　　．
【分析】本题考查二次根式的乘法计算，根据×＝和＝a（a＞0）进行计算，
【解答】解：方法一：
×
＝×2
＝2×3
＝6．
方法二：
×
＝
＝
＝6．
故答案为：6．
7．（2023 揭阳市榕城区二模）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 　　．
【分析】先根据题意得到0＜a＜1，据此化简二次根式和化简绝对值即可．
【解答】解：由题意得，0＜a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴，
故答案为：1．
8．（2020 佛山市名校模拟）计算：×﹣÷．
【分析】根据二次根式的混合运算法则，先算乘除再算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣＝2﹣3＝﹣1．
9．（2021 潮州市饶平县名校模拟）计算：
（1）÷﹣×+．
（2）（2+）2﹣（+）（﹣）．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式．
【解答】解：（1）原式＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+；
（2）原式＝
＝20+．
10．（2020 广州市越秀区名校一模）计算：．
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义计算，然后分母有理化后合并即可．
【解答】解：原式＝2×1+﹣
＝2．
11．（2021 中山市名校模拟）已知a+b＝﹣6，ab＝5，求．
【分析】根据题意确定a，b的取值范围，然后利用二次根式的性质进行化简．
【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝5，
∴a＜0，b＜0，
∴原式＝
＝﹣
＝
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣．
1．（2023 宁阳县二模）式子有意义，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥3 B．a≠1 C．a≥﹣3且a≠1 D．a＞﹣3且a≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可．
【解答】解：∵式子有意义，
∴，
∴a≥﹣3且a≠1，
故选：C．
2．（2023 黄骅市一模）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：＝2，故选项A错误，不符合题意；
不能合并，故选项B错误，不符合题意；
＝＝2，故选项C错误，不符合题意；
2＝，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
3．（2023 永兴县校级模拟）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的形式进行化简即可．
【解答】解：由题意可得：m﹣1＜0，
则原式＝﹣＝﹣，
故选：B．
4．（2023 衡阳县校级一模）若最简二次根式和能合并，则x的值为（　　）
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
【分析】依据同类二次根式的被开方数相同求解即可．
【解答】解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1＝4x﹣3．
解得x＝2．
故选：C．
5．（2023 港北区三模）将二次根式化为最简二次根式　 ．
【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【解答】解：原式＝5，
故答案为：5
6．（2023 南岗区校级二模）计算：﹣3＝　 　．
【分析】直接化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣3×＝2．
故答案为：2．
7．（2023 临汾模拟）计算：＝　 　．
【分析】先提取公因式，再根据二次根式的除法法则进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：
＝
＝﹣1
＝3﹣1
＝2，
故答案为：2．
8．（2023 锦江区校级模拟）已知实数m＝﹣1，则代数式m2+2m+1的值为 　 　．
【分析】先利用完全平方公式得到m2+2m+1＝（m+1）2，然后把m的值代入计算即可．
【解答】解：∵m＝﹣1，
∴m2+2m+1＝（m+1）2＝（﹣1+1）2＝2．
故答案为：2．
9．（2023 雁塔区校级模拟）计算：．
【分析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【解答】解：
＝3﹣+3
＝3﹣2+3
＝4．
10．（2023 雨山区校级二模）计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．
【分析】先算二次根式的乘法，去绝对值，算负整数指数幂，再合并即可．
【解答】解：原式＝﹣2+2﹣﹣2
＝﹣3．
11．（2023 临渭区二模）计算：．
【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：
＝4﹣2+3+（﹣1）
＝3+．
12．（2023 晋城模拟）阅读与思考
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
＝，＝＝＝3+
像上述解题过程中，与、﹣与+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程被称为分母有理化．
任务：（1）的有理化因式 　 　；﹣2的有理化因式是 　．
（2）写出下列式子分母有理化的结果：
①＝　　；②＝　　 ．
（3）计算：+……+．
【分析】（1）根据有理化因式的定义找出有理化因式即可；
（2）先分母有理化，再求出答案即可；
（3）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）的有理化因式是，﹣2的有理化因式是+2，
故答案为：（答案不唯一），+2（答案不唯一）；
（2）①＝＝，
②＝＝﹣1，
故答案为：，﹣1；
（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+……+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
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