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第二章 方程（组）与不等式（组）
第五节 一元二次方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元二次方程的概念 ☆ 一元二次方程在广东中考属于方程中较热门的考查方向，单从知识角度看，几乎年年不落，考题以选择题及综合性解答题为主，很少有进行填空题形式的考查，实际应用也较少进行考查，此部分知识在考查上整体难度不大，但要熟练掌握一元二次方程的解法，这是作为应对一些函数及几何大题计算的一个必备技能；毕竟此部分知识主要还是跟其他知识综合考查为主。
考点2 一元二次方程的解法 ☆☆☆
考点3 根的判别式数 ☆☆
考点4 根与系数的关系 ☆☆
考点5 一元二次方程的应用 ☆
考点1 一元二次方程的概念
1.一元二次方程定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
考点2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2.配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3.公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：
4.因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 如，则。
考点3 根的判别式
1.根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即。
当方程有2个不等的实数根；
当方程有2个相等的实数根；
当方程无实数根；
考点4 一元二次方程的根与系数关系
1.一元二次方程根与系数的关系：如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.一元二次方程根与系数的关系的运用：
（1）知道一元二次方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求关于一元二次方程的代数式的值，如：
①；
②；
③
考点5 一元二次方程的应用
1.列一元二次方程解应用题的步骤：
（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）作答.
2.常见的题型
（1）增长率问题：设a为原来的量，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+x）n=b；当x为下降率时，则有a（1-x）n=b；
（2）面积问题常见图形：
（3）利润问题；
（4）握手问题.
考点1 一元二次方程的概念
◇例题
1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．2x+1=0 B． C． D．
【答案】B
2．将方程化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是（　　）
A．-3，3 B．-1，-3 C．1，3 D．1，-3
【答案】D
3．若方程是一元二次方程，当m满足条件　 　．
【答案】
【解析】∵方程是一元二次方程，
∴m-1≠0，
∴m≠1.
故答案为：m≠1。
【分析】根据一元二次方程二次项系数不能为0，即可得出答案。
◆变式训练
4．一元二次方程 化成一般形式后，a，b，c 的值分别是 （　　）
A．1，2，5 B．1，-2，-5 C．1，-2，5 D．1，2，-5
【答案】D
【解析】解：将一元二次方程x2+2x=5化成一般形式有：x2+2x-5=0，
故a=1，b=2，c=-5．
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），得出答案.
5．已知关于x的方程是一元二次方程，则（　　）
A．a≠±1 B．a=1 C．a=-1 D．a=±1
【答案】C
6．把一元二次方程（x+1）（1-x）=2x化成二次项系数大于零的一般形式是　 　，其中二次项系数是　 　，一次项系数是　 　，常数项是　 　.
【答案】x2+2x-1=0；1；2；-1
【解析】解： （x+1）（1-x）=2x
去括号得：x-x2+1-x=2x，
移项、合并同类项得：x2+2x+-1=0，
二次项系数为：1，一次项系数为：2，常数项为：-1，
故答案为： x2+2x-1=0，1,2,-1 .
【分析】根据去括号，移项，合并同类项即可求解，利用一元二次方程的定义即可求解.
考点2 一元二次方程的解法
◇例题
1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1
【答案】A
【解析】【解答】解：x2+4x﹣5=0，
x2+4x=5，
x2+4x+22=5+22，
（x+2）2=9，
故选：A．
【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．
2．关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣3，则它的另一个根是　 　．
【答案】1
【解析】解：∵ 一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣3 ，
∴将-3代入一元二次方程x2+mx﹣3＝0，可得：9-3m-3=0，
解出m=2，
∴故一元二次方程为：x2+2x﹣3＝0，
利用公式法求解：，
解得x1=-3，x2=1，
∴该方程的另一个根为1.
故答案为：1.
【分析】根据方程根的概念，由x=-3是一元二次方程 x2+mx﹣3＝0的解，可得x=-3满足等式成立，可以将x=-3代入到一元二次方程中，这时可得只含有m的一元一次方程，通过求解含m的一元一次方程，可以得出m=2，得到一元二次方程为x2+2x﹣3＝0，再利用求根公式，求解一元二次方程的根，可得答案.
3．解方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）解：，
移项得，
开方得，
∴，；
（2）解：，
移项得，
配方得，即，
开方得，
∴，；
（3）解：，
移项得，
因式分解得，
∴或，
∴，；
（4）解：，
开方得，
∴或，
∴，．
【解析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程。先移项，利用直接开方法求解；
（2）利用配方法求解。配方法的一般步骤：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开平方法解方程；
（3）利用因式分解法求解可得。把方程右边的项全部移到方程的左边，再提公因式(x-1），分解因式后求解：
（4）利用直接开方法求解可得．两个数的平方相等，这两个数相等或互为相反数。
◆变式训练
4．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：
∴，
∴，即．
故答案为：D
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法求解即可。
5．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
【分析】利用公式法求出方程的解，即得三角形的两直角边长，再利用勾股定理求出斜边长即可.
6．解方程：
（1）； （2）； （3）.
【答案】（1）解：
∴，
解得：，；
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：，
，
，
∴或，
∴，.
【分析】(1)先两边同除以2，使x2项系数化为1，利用开平方法解一元二次方程即可；
(2)先将方程化为一般式，再利用求根公式法解一元二次方程即可；
(3)先移项，使右式等于0，然后利用因式分解法解一元二次方程即可.
考点3 根的判别式
◇例题
1．一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】【解答】解： ， ， ，
，
一元二次方程 有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故确定a，b，c的值，代入判别式公式判断出△的符号即可得出结论.
2．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣ 且k≠0
C．k≥﹣ D．k≥﹣ 且k≠0
【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣ ，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣ 且k≠0．
故选D．
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
3．已知关于x的方程(k-1)x2-2x+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
【答案】（1）解：关于x的方程(k-1)x2-2x+1=0有两个实数根，
k-1≠0且b2-4ac=(-2)2-4(h-1)x1≥0，解得k≤2且k≠1．
（2）解：当k=2时，方程为x2-2x+1=0，即(x-1)2=0，解得x1=x2=1．
◆变式训练
4．关于的一元二次方程的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
【答案】A
【解析】【解答】解：在关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0中，a=1，b=m-2，c=-3，
∴△=b2-4ac=（m-2）2-4×1×（-3）=（m-2）2+12，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+12＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根；故算出方程根的判别式的值，进而结合偶数次幂的非负性即可判断得出答案.
5．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
【答案】9
【解析】【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
6．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：不论k为何值时，此方程总有两个实数根；
（2）当方程的一个根为 时，求方程的另一个根x2及k的值．
【答案】（1）证明：，
，
不论k为何值时，此方程总有两个实数根；
（2）解：将代入，得，
解得，
原方程为，
解得，．
考点4 一元二次方程的根与系数关系
◇例题
1．若，是方程的两个根，则的值是（　　）
A． B．15 C． D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系写出结果即可，
2．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0．
故答案为：D．
【分析】一元二次方程x2﹣2x=0种二次项系数a=1，b=-2，c=0，根据一元二次方程根与系数的关系x1x2=即可直接得出答案。
3．已知 是一元二次方程 的两个实数根， 则 等于 （　　）
A．0 B．4 C．8 D．10
【答案】A
4．若实数a，b分别满足+3=0，且a≠b，则的值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵实数a、b分别满足a2-4a+3=0，b2-4b+3=0，且a≠b，
∴a，b为关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的两个不相等的实数根．
∴a+b=4，ab=3，
∴；
故答案为：.
【分析】利用根与系数的关系可得出a+b=4，ab=3，将其代入中即可求解.
5．已知关于 的方程 有两个实数根 .
（1） 求 的取值范围.
（2） 若 ， 求 的值.
【答案】（1）m≤5
（2）4
◆变式训练
6．不解方程，求下列各方程的两个根之和与两个根之积：
（1）　 　， 　 　
（2）　 　 ， 　 　
【答案】（1）；
（2）；
7．设 是方程 的两个实数根， 则
【答案】10
8．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　）
A．4 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：x1，x2是一元二次方程x2+3x 1=0的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x22+3x2-1=0，即x22=-3x2+1，
∴x22+2x2 x1==-（-3）+1=4．
故答案为：A.
三、解答题
9．已知关于x的一元二次方程 =0有实数根.
（1）求实数 k 的取值范围.
（2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2，若（x1+1）（x2+1）求k的值
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴Δ=32-4×1×（k-2）≥0，
解得：；
故实数k的取值范围是：.
（2）解：∵方程x2+3x+k-2=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=-3，x1x2=k-2，
∵（x1+1）（x2+1）=-1，
∴x1x2+（x1+x2）+1=-1，
∴k-2+（-3）+1=-1，
解得：k=3，
即k的值是3.
【分析】（1）利用根的判别式：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根进行求解即可；（2）由根与系数的关系：，求出x1+x2，x1x2的值，再结合条件进行求解即可.
考点5 一元二次方程的应用
◇例题
1．某服装原价为200元，连续两次涨价后，售价为338元，则平均每次的上涨率为（　　）
A．15% B．20% C．25% D．30%
【分析】设平均每次的上涨率为x，利用经过两次涨价后的价格＝原价×（1+平均每次的上涨率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设平均每次的上涨率为x，
根据题意得：200（1+x）2＝338，
解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去），
∴平均每次的上涨率为30%．
故选：D．
2．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多（　　）步？
A．15 B．12 C．20 D．6
【分析】设它的长为x步，则宽为（60﹣x）步，根据“矩形田地的面积为864平方步”，列出一元二次方程，解之取其长大于宽的值再相减即可．
【解答】解：设它的长为x步，则宽为（60﹣x）步，
由题意得：x（60﹣x）＝864，
整理得：x2﹣60x+864＝0，
解得：x1＝36，x2＝24，
当x＝36时，60﹣x＝60﹣36＝24；
当x＝24时，60﹣x＝60﹣24＝36（不合题意，舍去）；
∴它的长比宽多：36﹣24＝12（步），
故选：B．
3．实验学校举行了2023年冬季运动会篮球比赛，九年级共有m个班进行了单循环比赛（每两队之间只进行一场比赛），单循环比赛共进行了21场，则m的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：m（m﹣1）＝21，
整理得：m2﹣m﹣42＝0，
解得：m1＝7，m2＝﹣6（不符合题意，舍去），
∴m的值为7．
故选：B．
4．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　）
A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．
依题意得：1+x+x（1+x）＝64，即（1+x）2＝64，
故选：C．
5．3个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了3次手；4个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了6次手；10个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了（　　）次手．
A．43 B．44 C．45 D．46
【分析】利用握手的次数＝人数×（人数﹣1）÷2，即可求出结论．
【解答】解：根据题意得：×10×（10﹣1）
＝×10×9
＝45（次），
∴他们一共握了45次手．
故选：C．
6．第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利40元时，则每天可售出20套．为了喜迎亚运会，商场决定采取适当的降价措施回馈大众．经调查发现，如果销售单价每降价1元，该商店平均每天将多销售2套．商场为了尽快减少库存，每套吉祥物徽章降价多少元时，该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元？
【分析】设每套吉祥物徽章降价x元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元，根据盈利＝每件盈利×销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设每套吉祥物徽章降价x元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10（不符合题意，舍去），
答：每套吉祥物徽章降价20元时，商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1200元．
7．乡村振兴战略是在党的十九大报告中提出的战略，小庆家为发展乡土特产“杏花鸡”，计划在农场中用篱笆围一个养鸡场．如图，利用一面长为20m的墙，用篱笆围一个面积为250m2的矩形养鸡场ABCD，设AB的长为x m，BC的长为y m．
（1）求y关于x的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
（2）如果篱笆的总长为60m，求出BC的长．
【分析】（1）由题意知，xy＝250，则，由x＞0，y≤20，可求x≥12.5，然后作答即可；
（2）当篱笆的总长为60m时，则2x+y＝60，依题意得，xy＝x（60﹣2x）＝250，解得，x1＝5，x2＝25，然后计算求出满足要求的y值即可．
【解答】解：（1）由题意知，xy＝250，
∴．
∵x＞0，y≤20，
∴，
解得x≥12.5，
∴y关于x的函数关系式为．
（2）当篱笆的总长为60m时，
∴2x+y＝60，
依题意得，xy＝x（60﹣2x）＝250，整理得（x﹣5）（x﹣25）＝0，
解得x1＝5，x2＝25．
当x1＝5时，（不符合题意，舍去）；
当x2＝25时，（符合题意）．
∴BC的长为10m．
◆变式训练
8．如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9
【分析】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（8﹣2x），宽为（5﹣2x），然后根据底面积是18cm2即可列出方程．
【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得（8﹣2x） （5﹣2x）＝18，
故选：B．
9．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 　　．
【分析】设进馆人次的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，由题意得：
125（1+x）2＝405，
解得：x＝0.8＝80%或x＝﹣2.8（不合题意，舍去），
∴进馆人次的月平均增长率为80%．
故答案为：80%．
10．为建设宜居宜业美丽乡村，某县2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元，现假定2021年到2023年每年投入资金的增长率相同．
（1）求该县投入资金的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该县2024年投入资金为多少万元？
【分析】（1）设该县投入资金的年平均增长率为x，利用2023年投入资金＝2021年投入资金×（1+年平均增长率）2，即可得出x的关于一元二次方程，解之取正值即可；
（2）根据（1）中求出的年平均增长率，根据2024年投入资金＝2023年投入资金×（1+年平均增长率）即可求解．
【解答】解：（1）设该县投入资金的年平均增长率为x，
依题得：1000（1+x）2＝1440，
解得x1＝20%，x2＝﹣220%（不合题意，舍去），
故该县投入资金的年平均增长率为20%．
（2）由（1）得：该县投入资金的年平均增长率为20%，
∵2023年投入资金1440万元，增长率保持不变，
∴预计该县2024年投入资金为1440×（1+20%）＝1728（万元）．
答：该县2024年投入资金为1728万元．
11．甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．乙商品的进价为15元，商场确定其售价为每件30元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）若现在有学校准备购进甲乙两种商品共30件，预算为1110元，且甲商品数量不少于乙商品的两倍，有几种购买方案？
【分析】（1）设这个降价率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣该商品两次调价的降价率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设购进甲商品y件，则购进乙商品（30﹣y）件，利用总价＝单价×数量，结合“学校准备购进甲乙两种商品的预算为1110元，且购进甲商品数量不少于乙商品的两倍”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设这个降价率为x，
根据题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：这个降价率为10%；
（2）设购进甲商品y件，则购进乙商品（30﹣y）件，
根据题意得：，
解得：20≤y≤21，
又∵y为正整数，
∴y可以为20，21，
∴该学校共有2种购买方案，
方案1：购进甲商品20件，乙商品10件；
方案2：购进甲商品21件，乙商品9件．
1．（2020 广州）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【分析】利用一次函数的性质得到a≤0，再判断Δ＝22﹣4a＞0，从而得到方程根的情况．
【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x＝﹣，
当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，
∵Δ＝22﹣4a＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
2．（2023 广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
【分析】首先根据关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，得判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，由此可得k≤1，据此可对进行化简．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，
∴判别式Δ＝[﹣（2k﹣2）]2﹣4×1×（k2﹣1）≥0，
整理得：﹣8k+8≥0，
∴k≤1，
∴k﹣1≤0，2﹣k＞0，
∴
＝﹣（k﹣1）﹣（2﹣k）
＝﹣1．
故选：A．
3．（2019 广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）
A．x1≠x2 B．﹣2x1＝0
C．x1+x2＝2 D．x1 x2＝2
【分析】由根的判别式Δ＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1 x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
∴﹣2x1＝0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
4．（2019 广州）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，再将k值分别代入原方程，取使得原方程有实数根的k值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
当k＝2时，原方程为x2﹣x＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，k＝2符合题意；
当k＝﹣2时，原方程为x2+3x+4＝0，
∴Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
∴该方程无解，k＝﹣2不合题意，舍去．
∴k＝2．
故选：D．
5．（2021 广州）方程x2﹣4x＝0的实数解是 　 　．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程x2﹣4x＝0，
分解因式得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4．
故答案为：x1＝0，x2＝4．
6．（2022 广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝　 　．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，计算即可得出答案．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，
得1﹣2+a＝0，
解得a＝1．
故答案为：1．
7．（2021 深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 　 　．
【分析】根据一元二次方程的解把x＝1代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2+mx﹣3＝0得12+m﹣3＝0，
解得m＝2．
故答案为：2．
8．（2022 深圳）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　9　．
【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
9．（2021 广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　 　．
【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一．
【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，
∴满足条件的方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），
故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．
10．（2023 广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0，x﹣5＝0，
x1＝1，x2＝5．
11．（2022 广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式化简T；
（2）根据根的判别式可求a2+ab，再代入计算可求T的值．
【解答】解：（1）T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2
＝a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2
＝6a2+6ab；
（2）∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2a）2﹣4（﹣ab+1）＝0，
∴a2+ab＝1，
∴T＝6×1＝6．
12．（2020 广东）已知关于x，y的方程组与的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2+ax+b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与2为边长，判断三角形的形状．
【解答】解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组的解，
解得，，代入原方程组得，a＝﹣4，b＝12；
（2）该三角形是等腰直角三角形，理由如下：
当a＝﹣4，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣4x+12＝0，
解得，x1＝x2＝2，
又∵（2）2+（2）2＝（2）2，
∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形．
13．（2019 广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：6（1+x）2＝17.34，
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
1．（2024 深圳模拟）用配方法解方程x2+2x＝3时，配方后正确的是（　　）
A．（x+2）2＝7 B．（x+2）2＝5 C．（x+1）2＝4 D．（x+1）2＝2
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【解答】解：x2+2x＝3，
两边同时加1，得：x2+2x+1＝3+1，即（x+1）2＝4．
故选：C．
2．（2024 深圳模拟）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
【分析】先根据一元二次方程解的定义，把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得关于k的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得：
1+k﹣6＝0，
k＝5，
故选：C．
3．（2023 天河区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【分析】先计算根的判别式，再确定根的判别式与0的关系，最后得结论．
【解答】解：Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）
＝m2+4
∵m2≥0，
∴Δ＝m2+4＞0．
∴关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
4．（2024 深圳模拟）据报道，2020年至2022年深圳市居民年人均可支配收入由6.49万元增长至7.27万元，设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．6.49（1+x）2＝7.27 B．6.49（1+2x）＝7.27
C．6.49（1+x2）＝7.27 D．7.27（1﹣x）2＝6.49
【分析】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【解答】解：设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意得，
6.49（1+x）2＝7.27，
故选：A．
5．（2023 惠城区模拟）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（　　）
A．2024 B．2022 C．2020 D．2018
【分析】根据题意可得m2+2m﹣2022＝0，m+n＝﹣2，变形后代入代数式即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣2022＝0，m+n＝﹣2，
∴m2＝2022﹣2m，
∴m2+4m+2n＝2022﹣2m+4m+2n
＝2022+2m+2n
＝2022+2（m+n）
＝2022﹣4
＝2018，
故选：D．
6．（2023 海珠区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一个根为1．则a＝　﹣1　．
【分析】根据题意把x＝1代入方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝1中，可得a＝±1，然后根据一元二次方程的定义可得a≠1，即可解答．
【解答】解：把x＝1代入（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0中，得
a2＝1，
∴a＝±1，
由题意得：
a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
7．（2023 中山市模拟）关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0．
故答案为：k＜1且k≠0．
8．（2022 海珠区二模）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 　　人．
【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解．
【解答】解：设平均一人传染了x人，
x+1+（x+1）x＝169
x＝12或x＝﹣14（舍去）．
平均一人传染12人．
故答案为：12．
9．（2023 阳山县二模）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根分别为x1x2，则x1+x2﹣x1 x2的值为 　　．
【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，
所以x1+x2﹣x1 x2＝2﹣（﹣3）＝5．
故答案为：5．
10．（2023 汕头二模）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
【解答】解：原方程可化为：（x﹣7）（x+1）＝0，
x﹣7＝0或x+1＝0；
解得：x1＝7，x2＝﹣1．
11．（2023 深圳模拟）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣6）（x+2）＝0，
x﹣6＝0或x+2＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣2．
12．（2023 开平市二模）已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根；
（2）已知a＝6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（3k﹣2）2﹣4 （﹣6k）＝9k2﹣12k+4+24k＝9k2+12k+4＝（3k+2）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若a＝6为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．
∴（3k+2）2＝0，解得：k＝﹣．
此时原方程化为x2﹣4x+4＝0
∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a＝6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝6
代入方程：62+6（3k﹣2）﹣6k＝0
∴k＝﹣2
则原方程化为x2﹣8x+12＝0
（x﹣2）（x﹣6）＝0
∴x1＝2，x2＝6
即b＝6，c＝2
此时△ABC三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述：△ABC三边为6，6，2．
∴周长为6+6+2＝14．
13．（2023 蓬江区一模）为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次下降的百分率相同．求这种药品每次降价的百分率是多少？
【分析】设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝128．
解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：这种药品每次降价的百分率是20%．
14．（2024 深圳模拟）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元．
（1）平均每天的销售量为 　 本（用含x的代数式表示）；
（2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？
【分析】（1）由题意即可求出结论；
（2）根据公式“每件的销售利润×每天的销售数量＝销售利润”，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由题意可知，每天的销售量为（100+10x）本．
故答案为：（100+10x）．
（2）由题意可得，
（60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240，
整理得x2﹣10x+24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
∵要求每本售价不低于55元，
∴x＝4符合题意．
故每本画册应降价4元．
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第二章 方程（组）与不等式（组）
第五节 一元二次方程
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一元二次方程的概念 ☆ 一元二次方程在广东中考属于方程中较热门的考查方向，单从知识角度看，几乎年年不落，考题以选择题及综合性解答题为主，很少有进行填空题形式的考查，实际应用也较少进行考查，此部分知识在考查上整体难度不大，但要熟练掌握一元二次方程的解法，这是作为应对一些函数及几何大题计算的一个必备技能；毕竟此部分知识主要还是跟其他知识综合考查为主。
考点2 一元二次方程的解法 ☆☆☆
考点3 根的判别式数 ☆☆
考点4 根与系数的关系 ☆☆
考点5 一元二次方程的应用 ☆
考点1 一元二次方程的概念
1.一元二次方程定义：含有_____未知数，并且未知数的最高次数是_____的整式方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做_____项，a叫做二次项_____；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做_____。
考点2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法
利用_____的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2.配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3.公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：
4.因式分解法
因式分解法就是利用_____的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 如，则。
考点3 根的判别式
1.根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即。
当方程有_____的实数根；
当方程有_____的实数根；
当方程_____实数根；
考点4 一元二次方程的根与系数关系
1.一元二次方程根与系数的关系：如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之_____等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之_____等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.一元二次方程根与系数的关系的运用：
（1）知道一元二次方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求关于一元二次方程的代数式的值，如：
①；②；③
考点5 一元二次方程的应用
1.列一元二次方程解应用题的步骤：
（1）题；（2）未知数；（3）方程；（4）方程；（5）检；（6）作.
2.常见的题型
（1）_____问题：设a为原来的量，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+x）n=b；当x为下降率时，则有a（1-x）n=b；
（2）_____问题常见图形：
（3）_____问题；
（4）_____问题.
考点1 一元二次方程的概念
◇例题
1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．2x+1=0 B． C． D．
2．将方程化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是（　　）
A．-3，3 B．-1，-3 C．1，3 D．1，-3
3．若方程是一元二次方程，当m满足条件　 　．
◆变式训练
4．一元二次方程 化成一般形式后，a，b，c 的值分别是 （　　）
A．1，2，5 B．1，-2，-5 C．1，-2，5 D．1，2，-5
5．已知关于x的方程是一元二次方程，则（　　）
A．a≠±1 B．a=1 C．a=-1 D．a=±1
6．把一元二次方程（x+1）（1-x）=2x化成二次项系数大于零的一般形式是　 　，其中二次项系数是　 　，一次项系数是　 　，常数项是　 　.
考点2 一元二次方程的解法
◇例题
1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1
2．关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣3，则它的另一个根是　 　．
3．解方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
◆变式训练
4．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　）
A． B． C． D．
5．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　．
6．解方程：（1）； （2）； （3）.
考点3 根的判别式
◇例题
1．一元二次方程 的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣ B．k≤﹣ 且k≠0
C．k≥﹣ D．k≥﹣ 且k≠0
3．已知关于x的方程(k-1)x2-2x+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
◆变式训练
4．关于的一元二次方程的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
5．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
6．已知关于x的一元二次方程
（1）求证：不论k为何值时，此方程总有两个实数根；
（2）当方程的一个根为 时，求方程的另一个根x2及k的值．
考点4 一元二次方程的根与系数关系
◇例题
1．若，是方程的两个根，则的值是（　　）
A． B．15 C． D．5
2．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
3．已知 是一元二次方程 的两个实数根， 则 等于 （　　）
A．0 B．4 C．8 D．10
4．若实数a，b分别满足+3=0，且a≠b，则的值为　 　.
5．已知关于 的方程 有两个实数根 .
（1） 求 的取值范围.
（2） 若 ， 求 的值.
◆变式训练
6．不解方程，求下列各方程的两个根之和与两个根之积：
（1）　 　， 　 　
（2）　 　 ， 　 　
7．设 是方程 的两个实数根， 则
8．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（　　）
A．4 B．1 C． D．
三、解答题
9．已知关于x的一元二次方程 =0有实数根.
（1）求实数 k 的取值范围.
（2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2，若（x1+1）（x2+1）求k的值
考点5 一元二次方程的应用
◇例题
1．某服装原价为200元，连续两次涨价后，售价为338元，则平均每次的上涨率为（　　）
A．15% B．20% C．25% D．30%
2．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多（　　）步？
A．15 B．12 C．20 D．6
3．实验学校举行了2023年冬季运动会篮球比赛，九年级共有m个班进行了单循环比赛（每两队之间只进行一场比赛），单循环比赛共进行了21场，则m的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　）
A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64
5．3个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了3次手；4个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了6次手；10个朋友在一起，每两人握一次手，他们一共握了（　　）次手．
A．43 B．44 C．45 D．46
6．第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行，某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现，当每套徽章盈利40元时，则每天可售出20套．为了喜迎亚运会，商场决定采取适当的降价措施回馈大众．经调查发现，如果销售单价每降价1元，该商店平均每天将多销售2套．商场为了尽快减少库存，每套吉祥物徽章降价多少元时，该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1200元？
7．乡村振兴战略是在党的十九大报告中提出的战略，小庆家为发展乡土特产“杏花鸡”，计划在农场中用篱笆围一个养鸡场．如图，利用一面长为20m的墙，用篱笆围一个面积为250m2的矩形养鸡场ABCD，设AB的长为x m，BC的长为y m．
（1）求y关于x的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
（2）如果篱笆的总长为60m，求出BC的长．
◆变式训练
8．如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9
9．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 　　．
10．为建设宜居宜业美丽乡村，某县2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元，现假定2021年到2023年每年投入资金的增长率相同．
（1）求该县投入资金的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该县2024年投入资金为多少万元？
11．甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．乙商品的进价为15元，商场确定其售价为每件30元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）若现在有学校准备购进甲乙两种商品共30件，预算为1110元，且甲商品数量不少于乙商品的两倍，有几种购买方案？
1．（2020 广州）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
2．（2023 广州）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3
3．（2019 广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）
A．x1≠x2 B．﹣2x1＝0
C．x1+x2＝2 D．x1 x2＝2
4．（2019 广州）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
5．（2021 广州）方程x2﹣4x＝0的实数解是 　 　．
6．（2022 广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝　 　．
7．（2021 深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为 　 　．
8．（2022 深圳）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　　．
9．（2021 广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　 　．
10．（2023 广州）解方程：x2﹣6x+5＝0．
11．（2022 广州）已知T＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a﹣3b）+a2．
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1＝0有两个相等的实数根，求T的值．
12．（2020 广东）已知关于x，y的方程组与的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
13．（2019 广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
1．（2024 深圳模拟）用配方法解方程x2+2x＝3时，配方后正确的是（　　）
A．（x+2）2＝7 B．（x+2）2＝5 C．（x+1）2＝4 D．（x+1）2＝2
2．（2024 深圳模拟）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
3．（2023 天河区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
4．（2024 深圳模拟）据报道，2020年至2022年深圳市居民年人均可支配收入由6.49万元增长至7.27万元，设这两年人均可支配收入的年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．6.49（1+x）2＝7.27 B．6.49（1+2x）＝7.27
C．6.49（1+x2）＝7.27 D．7.27（1﹣x）2＝6.49
5．（2023 惠城区模拟）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（　　）
A．2024 B．2022 C．2020 D．2018
6．（2023 海珠区一模）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣ax+a2＝0的一个根为1．则a＝　﹣1　．
7．（2023 中山市模拟）关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
8．（2022 海珠区二模）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 　　人．
9．（2023 阳山县二模）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根分别为x1x2，则x1+x2﹣x1 x2的值为 　　．
10．（2023 汕头二模）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
11．（2023 深圳模拟）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
12．（2023 开平市二模）已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
13．（2023 蓬江区一模）为帮助人民应对疫情，某药厂下调药品的价格某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，已知每次下降的百分率相同．求这种药品每次降价的百分率是多少？
14．（2024 深圳模拟）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元．
（1）平均每天的销售量为 　 本（用含x的代数式表示）；
（2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？
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