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第一章 数与式
第二节 整式与因式分解
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 代数式及求值 ☆☆ 整式与因式分解是广东省考卷中的一个比较重要的考查方向，年年都有考查，大多数试题也是广大考生较易的得分点，根据以往中考考查的题型来看，多以填空题、选择题为主，题型较为简单固定，有迹可循，需要注意的是有较大可能考查整式的化简求值，为避免在此处失分，应扎实掌握相关运算法则、方法技巧。
考点2 整式的相关概念 ☆
考点3 整式的运算法则 ☆☆☆
考点4 幂的运算 ☆☆☆
考点5 整式的混合运算—化简求值 ☆☆
考点6 因式分解 ☆☆☆
考点1 代数式及求值
1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的_____________也是代数式。
2.代数式求值：用数值替换代数式里的字母，计算后得到结果。
考点2 整式的相关概念
1.单项式：表示_____________的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.单项式的系数：单项式中的_____________叫做单项式的系数。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的_____________叫做多项式的次数。
4.多项式：几个单项式的_____________叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做_____________。多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
5.整式：_____________统称为整式。
注意：分母上含有字母的不是整式。
6.同类项：所含字母_____________，并且相同字母的指数也_____________的项叫做同类项。
考点3 整式的运算法则
1.合并同类项的法则：同类项的_____________相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数_____________。
2.整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
3.整式的乘法：
4.整式的除法：
考点4 幂的运算
1.同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数_____________，指数_____________．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：
①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；
②a可以是单项式，也可以是多项式；
③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
2．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数_____________，指数_____________．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：
①幂的乘方的底数指的是幂的底数；
②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：
①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；
②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
3．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数_____________，指数_____________．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
考点5 整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式_____________，再把对应字母的值代入化简后的整式_____________．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
考点6 因式分解
1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的_____________的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2.因式分解的常用方法
（1）提公因式法：
（2）运用公式法：
（3）分组分解法：
（4）十字相乘法：
3.因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取_____________。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，再看是否能用公式法，最后观察多项式的能否继续分解。
考点1：代数式及求值
◇例题
1．用代数式表示“a的平方与b的平方的差”，正确的是（　　）
A．（a﹣b）2 B．a2﹣b2 C．a﹣b2 D．a﹣2b
2．若a+3b﹣2＝0，则代数式1+2a+6b的值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
◆变式训练
3．一支钢笔的价钱是a元，一个笔筒的价钱是b元，买3支钢笔和6个笔筒应付 　　元．
4．若2x+y＝8，则4x+2y﹣10的值为 　　．
考点2：整式的相关概念
◇例题
1．下列各代数式中，是单项式的是（　　）
A．2m﹣n B．5xy C．ab+5 D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．的系数是﹣3 B．32b2的次数是4
C．是多项式 D．x2+2x﹣1的常数项是1
3．在，2m2n+5mn2，，2xy，中，整式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列各组单项式是同类项的是（　　）
A．3a2与a2 B．3a2与b2 C．3π与a D．3a2b与ab2
◆变式训练
5．在式子，，2xy，2x+y，3，6x2﹣y2+1中，整式有 　个．
∴共有5个整式，
故答案为：5．
6．下列叙述中，正确的是（　　）
A．0是单项式
B．单项式23xy的次数是5
C．单项式的系数为﹣2
D．多项式3a3b+2a2是六次二项式
7．若﹣4x3y与xay是同类项，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
考点3：整式的运算法则
◇例题
1．下列各式中运算正确的是（　　）
A．7a+a＝7a2 B．3a2b+5ba2＝8a2b
C．2ab+ab＝ab D．﹣2（a+b）＝﹣2a+2b
2．计算3a2 2a4＝　 　．
3．计算的结果是（　　）
A．﹣6x3﹣2x2+12x B．6x3﹣2x2+12
C．6x3+2x2﹣12x D．6x3﹣2x2+12x
4．下列算式中，可用完全平方公式计算的是（　　）
A．（1+x）（1﹣x） B．（﹣x﹣1）（﹣1+x）
C．（x﹣1）（1+x） D．（﹣x+1）（1﹣x）
5．计算：（2x﹣y）（x﹣2y）＝　 ．
◆变式训练
6．计算：3a（a+1）（a﹣1）＝　 ．　．
7．已知A＝2x2﹣1，B＝3﹣2x2，则B﹣2A＝　 　．
8．已知（x﹣3）（x+2）＝x2+ax+b，则a﹣b的值是（　　）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
9．如果a2+b2＝5，ab＝2，那么（a﹣b）2＝　 　．
10．已知x﹣y＝﹣3，x+y＝2，则x2﹣y2的值为　 ．
考点4：幂的运算
◇例题
1．计算x x2的结果是（　　）
A．3x B．x2 C．x D．x3
2．计算（﹣2b3）2正确的是（　　）
A．4b5 B．﹣4b5 C．4b6 D．﹣4b6
3．如果a10÷（ak）4＝a2，那么k＝　 　．
◆变式训练
4．下列计算正确的是（　　）
A．x3 x﹣3＝0 B．x2 x3＝x6
C．（x2）3＝x5 D．x
5．已知am＝2，an＝3，则an﹣m＝　 　．
6．计算：＝　 　．
考点5：整式的混合运算—化简求值
◇例题
1．先化简，再求值：（2x﹣3x2+1）﹣2（﹣x2+x+1），其中x＝﹣1．
2．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+a（2b﹣a），其中a＝3，b＝﹣2．
◆变式训练
3．计算：已知A＝b2﹣a2+5ab，B＝3ab+2b2﹣a2．
（1）化简：2A﹣B；
（2）当a＝1，b＝2时，求2A﹣B的值．
4．先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）+5x（x+y），其中x＝﹣2，y＝﹣1
考点6：因式分解
◇例题
1．多项式4a2﹣2ab与多项式4a2﹣b2的公因式为（　　）
A．2a﹣b B．2a C．2a+b D．4a2﹣b
2．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+b2 B．2a﹣b2 C． D．
3．若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）
A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x2+2x+1＝（x+1）2 B．x（x+1）＝x2+x
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x3+2x2﹣3＝x2（x+2）﹣3
5．因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　）
A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b）
C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2
◆变式训练
6．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a2﹣4+a＝（a+2）（a﹣2）+a
B．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2
C．a2+b＝a（a+b）
D．a2+4a+4＝（a+2）2
7．将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），则m，n的值为（　　）
A．5，﹣14 B．﹣5，14 C．5，14 D．﹣5，﹣14
8．多项式6a2b+18a2b3x﹣24ab2y的公因式是 　 　．
9．因式分解：16x2﹣1＝　 　．
10．分解因式9+a2﹣6a＝　 ．
1．（2023 广州）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a2＝a4（a≠0）
C．a3 a5＝a8 D．（2a）﹣1＝（a≠0）
2．（2023 广东模拟）将多项式a3﹣16a进行因式分解的结果是（　　）
A．a（a+4）（a﹣4） B．（a﹣4）2
C．a（a﹣16） D．（a+4）（a﹣4）
3．（2021 广东）已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　）
A．1 B．6 C．7 D．12
4．（2023 汕尾城区二模）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（　　）
A．a2+ab＝a（a+b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
5．（2023 广东模拟）已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b+2的值为（　　）
A．11 B．25 C．26 D．37
6．（2023 广东）因式分解：x2﹣1＝　 　．
7．（2023 南山区模拟）因式分解：2x3﹣4x2+2x＝　 ．
8．（2020 广东）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中x＝，y＝．
9．（2023 盐田区二模）先化简，再求值：（a﹣b）2+（4b﹣a）（a+2b）．其中a＝﹣2023，b＝．
10．（2023 禅城区三模）按下列程序计算，把答案填写在表格内，并回答下列问题：
输入x 3 2 ﹣2 …
输出答案 1 1 　1　 　1　 …
（1）根据上述计算，你发现了什么规律？
（2）请列出代数式，并说明你发现的规律的正确性．
1．（2023 永嘉县三模）买一个足球需m元，买一个篮球需n元，则买5个足球和4个篮球共需（　　）元．
A．9mn B．20mn C．5m+4n D．4m+5n
2．（2023 沭阳县模拟）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．5x2﹣3x2＝2
C．x2+x＝x3 D．﹣8y+3y＝﹣5y
3．（2023 建华区三模）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3x2）3＝﹣9x6 B．x8÷x2＝x4
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．a2 2a2＝2a4
4．（2023 东莞市校级一模）下列说法中正确的是（　　）
A．2不是单项式
B．的系数是
C．3πr2的次数是3
D．多项式5a2﹣6ab+12的次数是4
5．（2023 衡山县二模）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
6．（2023 路北区模拟）在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
7．（2022 东海县二模）分解因式：m3﹣4m2+4m＝　 　．
8．（2023 竹山县模拟）已知x﹣2y＝3，那么代数式3﹣2x+4y的值是　 　．
9．（2023 宝应县模拟）若与2x4yn+3是同类项，则（m+n）2023＝　 　．
10．（2023 四平模拟）计算：899×（﹣）99＝　 　．
11．（2023 路桥区二模）已知x2+2x﹣2＝0，代数式x（x+2）+（x+1）2的值为 　 　．
12．（2023 通榆县二模）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，．
13．（2023 新华区校级二模）已知A＝4m（2m2﹣1）+4m，B＝8m．
（1）化简整式A，并求m＝﹣1时A的值；
（2）若C＝A﹣B．
①将C因式分解；
②若m为整数，直接写出整式C能否被16整除．
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第一章 数与式
第二节 整式与因式分解
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 代数式及求值 ☆☆ 整式与因式分解是广东省考卷中的一个比较重要的考查方向，年年都有考查，大多数试题也是广大考生较易的得分点，根据以往中考考查的题型来看，多以填空题、选择题为主，题型较为简单固定，有迹可循，需要注意的是有较大可能考查整式的化简求值，为避免在此处失分，应扎实掌握相关运算法则、方法技巧。
考点2 整式的相关概念 ☆
考点3 整式的运算法则 ☆☆☆
考点4 幂的运算 ☆☆☆
考点5 整式的混合运算—化简求值 ☆☆
考点6 因式分解 ☆☆☆
考点1 代数式及求值
1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.代数式求值：用数值替换代数式里的字母，计算后得到结果。
考点2 整式的相关概念
1.单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做多项式的次数。
4.多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为0。
5.整式：单项式和多项式统称为整式。
注意：分母上含有字母的不是整式。
6.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
考点3 整式的运算法则
1.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
2.整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。
3.整式的乘法：
4.整式的除法：
考点4 幂的运算
1.同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：
①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；
②a可以是单项式，也可以是多项式；
③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
2．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：
①幂的乘方的底数指的是幂的底数；
②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：
①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；
②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
3．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
考点5 整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入化简后的整式求值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
考点6 因式分解
1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2.因式分解的常用方法
（1）提公因式法：
（2）运用公式法：
（3）分组分解法：
（4）十字相乘法：
3.因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，再看是否能用公式法，最后观察多项式的能否继续分解。
考点1：代数式及求值
◇例题
1．用代数式表示“a的平方与b的平方的差”，正确的是（　　）
A．（a﹣b）2 B．a2﹣b2 C．a﹣b2 D．a﹣2b
【分析】根据题意可以列出相应的代数式，本题得以解决．
【解答】解：的平方与b的平方的差可以表示为：a2﹣b2，
故选：B．
2．若a+3b﹣2＝0，则代数式1+2a+6b的值是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由已知条件可得a+3b＝2，将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵a+3b﹣2＝0，
∴a+3b＝2，
∴1+2a+6b
＝1+2（a+3b）
＝1+2×2
＝5，
故选：A．
◆变式训练
3．一支钢笔的价钱是a元，一个笔筒的价钱是b元，买3支钢笔和6个笔筒应付 　　元．
【分析】根据题中数量关系：“钢笔单价×钢笔数量+笔筒单价×笔筒数量”列式即可．
【解答】解：∵钢笔的价钱是a元，一个笔筒的价钱是b元，
∴买3支钢笔和6个笔筒应付（3a+6b），
故答案为：（3a+6b）．
4．若2x+y＝8，则4x+2y﹣10的值为 　　．
【分析】利用整体代入思想解答．
【解答】解：∵2x+y＝8，
∴4x+2y﹣10＝2（2x+y）﹣10＝2×8﹣10＝6，
故答案为：6．
考点2：整式的相关概念
◇例题
1．下列各代数式中，是单项式的是（　　）
A．2m﹣n B．5xy C．ab+5 D．
【分析】数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数；由此判断即可．
【解答】解：A、2m﹣n是多项式，故此选项不符合题意；
B、5xy是单项式，故此选项符合题意；
C、ab+5是多项式，故此选项不符合题意；
D、是多项式，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．下列说法正确的是（　　）
A．的系数是﹣3 B．32b2的次数是4
C．是多项式 D．x2+2x﹣1的常数项是1
【分析】根据单项式的系数，次数，多项式的定义及其项的定义逐项判断即可．
【解答】解：﹣的系数为﹣，则A不符合题意；
32b2的次数为2，则B不符合题意；
是多项式，则C符合题意；
x2+2x﹣1的常数项是﹣1，则D不符合题意；
故选：C．
3．在，2m2n+5mn2，，2xy，中，整式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】单项式和多项式统称为整式，据此即可求得答案．
【解答】解：，2xy，﹣是单项式，2m2n+5mn2是多项式，它们均为整式，共4个，
故选：C．
4．下列各组单项式是同类项的是（　　）
A．3a2与a2 B．3a2与b2 C．3π与a D．3a2b与ab2
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同．据此进行解题即可．
【解答】解：A、3a2与a2符合同类项的定义，故是同类项，符合题意；
B、3a2与b2不是同类项，不符合题意；
C、3π与a不是同类项，不符合题意；
D、3a2b与ab2不是同类项，不符合题意；
故选：A．
◆变式训练
5．在式子，，2xy，2x+y，3，6x2﹣y2+1中，整式有 　个．
【分析】根据整式的定义可知凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，再对所给的式子进行判断即可．
【解答】解：整式有，2xy，2x+y，3，6x2﹣y2+1，
∴共有5个整式，
故答案为：5．
6．下列叙述中，正确的是（　　）
A．0是单项式
B．单项式23xy的次数是5
C．单项式的系数为﹣2
D．多项式3a3b+2a2是六次二项式
【分析】根据单项式的定义，单项式的系数与次数的定义，多项式的项与次数的定义逐项判断即可．
【解答】解：0是单项式，则A符合题意；
单项式23xy的次数是2，则B不符合题意；
单项式﹣的系数为﹣，则C不符合题意；
多项式3a3b+2a2是四次二项式，则D不符合题意；
故选：A．
7．若﹣4x3y与xay是同类项，则a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
【分析】根据同类项的定义，即相同字母的指数也相同可得a的值．
【解答】解：∵﹣4x3y与xay是同类项，
∴a＝3．
故选：C．
考点3：整式的运算法则
◇例题
1．下列各式中运算正确的是（　　）
A．7a+a＝7a2 B．3a2b+5ba2＝8a2b
C．2ab+ab＝ab D．﹣2（a+b）＝﹣2a+2b
【分析】根据合并同类项法则和去括号法则逐一判断即可．
【解答】解：A．7a+a＝8a，此选项计算错误，不符合题意；
B．3a2b+5ba2＝8a2b，此选项计算正确，符合题意；
C．2ab+ab＝3ab，此选项计算错误，不符合题意；
D．﹣2（a+b）＝﹣2a﹣2b，此选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
2．计算3a2 2a4＝　 　．
【分析】根据单项式乘单项式的法则，将它们的系数和同底数幂分别相乘，即可计算求值．
【解答】解：3a2 2a4＝（3×2） a2+4＝6a6，
故答案为：6a6．
3．计算的结果是（　　）
A．﹣6x3﹣2x2+12x B．6x3﹣2x2+12
C．6x3+2x2﹣12x D．6x3﹣2x2+12x
【分析】根据单项式乘多项式的法则计算即可．
【解答】解：
＝
＝6x3﹣2x2+12x，
故选：D．
4．下列算式中，可用完全平方公式计算的是（　　）
A．（1+x）（1﹣x） B．（﹣x﹣1）（﹣1+x）
C．（x﹣1）（1+x） D．（﹣x+1）（1﹣x）
【分析】利用完全平方公式和平方差公式对每个选项解析逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵（1+x）（1﹣x）符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算，
∴A选项不符合题意；
∵（﹣x﹣1）（﹣1+x）＝（﹣1﹣x）（﹣1+x），
∴B选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算，
∴B选项不符合题意；
∵（x﹣1）（1+x）＝（x﹣1）（x+1），
∴C选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算，
∴C选项不符合题意；
∵（﹣x+1）（1﹣x）＝（﹣x+1）2，
∴D选项可用完全平方公式计算，符合题意．
故选：D．
5．计算：（2x﹣y）（x﹣2y）＝　 ．
【分析】利用多项式乘以多项式计算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝2x x﹣2x 2y﹣y x+y 2y
＝2x2﹣4xy﹣xy+2y2
＝2x2﹣5xy+2y2．
故答案为：2x2﹣5xy+2y2．
◆变式训练
6．计算：3a（a+1）（a﹣1）＝　 ．　．
【分析】先利用平方差公式计算，这个款单项式乘多项式法则计算
【解答】解：原式＝3a（a2﹣1）
＝3a3﹣3a．
故答案为：3a3﹣3a．
7．已知A＝2x2﹣1，B＝3﹣2x2，则B﹣2A＝　 　．
【分析】将A和B的式子代入可得B﹣2A＝3﹣2x2﹣2（2x2﹣1），去括号合并可得出答案．
【解答】解：由题意得：B﹣2A＝3﹣2x2﹣2（2x2﹣1），
＝3﹣2x2﹣4x2+2＝﹣6x2+5．
故答案为﹣6x2+5．
8．已知（x﹣3）（x+2）＝x2+ax+b，则a﹣b的值是（　　）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
【分析】根据多项式乘以多项式法则计算，即可得出结果．
【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6＝x2+ax+b，
∴a＝﹣1，b＝﹣6；
∴a﹣b＝﹣1﹣（﹣6）＝5．
故选：C．
9．如果a2+b2＝5，ab＝2，那么（a﹣b）2＝　 　．
【分析】利用完全平方公式展开，再代入数据计算即可．
【解答】解：∵a2+b2＝5，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
＝5﹣2×2
＝5﹣4
＝1．
故答案为：1．
10．已知x﹣y＝﹣3，x+y＝2，则x2﹣y2的值为　 ．
【分析】根据平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）即可计算
【解答】解：∵x﹣y＝﹣3，x+y＝2，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝﹣3×2＝6，
故答案为：﹣6．
考点4：幂的运算
◇例题
1．计算x x2的结果是（　　）
A．3x B．x2 C．x D．x3
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解答】解：x x2＝x1+2＝x3．
故选：D．
2．计算（﹣2b3）2正确的是（　　）
A．4b5 B．﹣4b5 C．4b6 D．﹣4b6
【分析】利用积的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（﹣2b3）2＝4b6．
故选：C．
3．如果a10÷（ak）4＝a2，那么k＝　 　．
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，得出10﹣4k＝2，从而得出k的值．
【解答】解：∵a10÷（ak）4＝a2，
∴a10÷a4k＝a2，
∴a10﹣4k＝a2，
∴10﹣4k＝2，
解得k＝2，
故答案为：2．
◆变式训练
4．下列计算正确的是（　　）
A．x3 x﹣3＝0 B．x2 x3＝x6
C．（x2）3＝x5 D．x
【分析】根据整式中乘方的运算法则来解答．
【解答】解：A选项中，x3 x﹣3＝x0＝1，故A选项不符合题意；
B选项中，x2 x3＝x5，故B选项不符合题意；
C选项中，（x2）3＝x6，故C选项不符合题意；
D选项中，x2÷x5＝x﹣3＝，故D选项符合题意，
故选：D．
5．已知am＝2，an＝3，则an﹣m＝　 　．
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴an﹣m＝an÷am＝3÷2＝．
故答案为：．
6．计算：＝　 　．
【分析】根据积的乘方逆运算法则计算即可．
【解答】解：．
故答案为：﹣1．
考点5：整式的混合运算—化简求值
◇例题
1．先化简，再求值：（2x﹣3x2+1）﹣2（﹣x2+x+1），其中x＝﹣1．
【分析】先化简该代数式，再将x＝﹣1代入、求解．
【解答】解：∵（2x﹣3x2+1）﹣2（﹣x2+x+1）
＝2x﹣3x2+1+2x2﹣2x﹣2
＝﹣x2﹣1，
∴当x＝﹣1时，代入
原式＝﹣（﹣1）2﹣1
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
2．先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+a（2b﹣a），其中a＝3，b＝﹣2．
【分析】先按照平方差公式及单项式乘以多项式的运算法则展开化简，再将a＝3，b＝﹣2代入计算即可．
【解答】解：（a+b）（a﹣b）+a（2b﹣a）
＝a2﹣b2+2ab﹣a2
＝﹣b2+2ab，
∵a＝3，b＝﹣2，
原式＝﹣（﹣2）2+2×3×（﹣2）
＝﹣4﹣12
＝﹣16．
◆变式训练
3．计算：
已知A＝b2﹣a2+5ab，B＝3ab+2b2﹣a2．
（1）化简：2A﹣B；
（2）当a＝1，b＝2时，求2A﹣B的值．
【分析】（1）根据整式的加减运算进行化简即可求出答案．
（2）将a与b的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2（b2﹣a2+5ab）﹣（3ab+2b2﹣a2）
＝2b2﹣2a2+10ab﹣3ab﹣2b2+a2
＝﹣a2+7ab，
（2）当a＝1，b＝2时，
原式＝﹣1+7×1×2
＝﹣1+14
＝13．
4．先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣（3x+y）（3x﹣y）+5x（x+y），其中x＝﹣2，y＝﹣1
【分析】先利用乘法公式展开，再合并同类项得到原式＝xy+2y2，然后把x＝﹣2，y＝﹣1代入计算即可．
【解答】解：原式＝4x2﹣4xy+y2﹣（9x2﹣y2）+5x2+5xy
＝4x2﹣4xy+y2﹣9x2+y2+5x2+5xy
＝xy+2y2，
当x＝﹣2，y＝﹣1时，
原式＝（﹣2）×（﹣1）+2×（﹣1）2
＝2+2
＝4．
考点6：因式分解
◇例题
1．多项式4a2﹣2ab与多项式4a2﹣b2的公因式为（　　）
A．2a﹣b B．2a C．2a+b D．4a2﹣b
【分析】分别将多项式4a2﹣2ab与多项式4a2﹣b2进行因式分解，再寻找它们的公因式．
【解答】解：∵4a2﹣2ab＝2a（2a﹣b），4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），
∴公因式是：2a﹣b．
故选：A．
2．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+b2 B．2a﹣b2 C． D．
【分析】根据平方差公式进行因式分解分别判断即可．
【解答】解：a2+b2不能进行因式分解，
故A不符合题意；
2a﹣b2不能因式分解，
故B不符合题意；
a2﹣＝（a+）（a﹣），
故C符合题意；
﹣a2﹣不能因式分解，
故D不符合题意，
故选：C．
3．若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）
A．±6 B．±12 C．﹣13或11 D．13或﹣11
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解答】解：∵4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，
∴k+1＝±12，
解得：k＝﹣13或11，
故选：C．
4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x2+2x+1＝（x+1）2 B．x（x+1）＝x2+x
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x3+2x2﹣3＝x2（x+2）﹣3
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2符合因式分解的定义，则A符合题意；
x（x+1）＝x2+x是乘法运算，则B不符合题意；
x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3中等号右边不是积的形式，则C不符合题意；
x3+2x2﹣3＝x2（x+2）﹣3中等号右边不是积的形式，则D不符合题意；
故选：A．
5．因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为（　　）
A．（a﹣b）2（a+b） B．（a+b）2（a﹣b）
C．ab（a+b）2 D．ab（a﹣b）2
【分析】利用分组分解法分解因式即可．
【解答】解：原式＝（a3+a2b）﹣（ab2+b3）
＝a2（a+b）﹣b2（a+b）
＝（a2﹣b2）（a+b）
＝（a﹣b）（a+b）（a+b）
＝（a﹣b）（a+b）2；
故选：B．
◆变式训练
6．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a2﹣4+a＝（a+2）（a﹣2）+a
B．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2
C．a2+b＝a（a+b）
D．a2+4a+4＝（a+2）2
【分析】将一个多项式化成几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【解答】解：a2﹣4+a＝（a+2）（a﹣2）+a中等号右边不是积的形式，则A不符合题意；
a2+4a﹣4＝（a﹣2）2中左右两边不相等，则B不符合题意；
a2+b＝a（a+b）中左右两边不相等，则C不符合题意；
a2+4a+4＝（a+2）2符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
7．将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），则m，n的值为（　　）
A．5，﹣14 B．﹣5，14 C．5，14 D．﹣5，﹣14
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知m＝﹣7+2，n＝﹣7×2．
【解答】解：∵将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），
∴m＝﹣7+2＝﹣5，n＝﹣7×2＝﹣14，
故选：D．
8．多项式6a2b+18a2b3x﹣24ab2y的公因式是 　 　．
【分析】多项式找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【解答】解：多项式6a2b+18a2b3x﹣24ab2y中，
各项系数的最大公约数是6，
各项都含有的相同字母是a、b，字母a的指数最低是1，字母b的指数最低是1，
所以它的公因式是6ab．
故答案为：6ab．
9．因式分解：16x2﹣1＝　 　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：16x2﹣1
＝（4x）2﹣12
＝（4x﹣1）（4x+1）．
故答案为：（4x﹣1）（4x+1）．
10．分解因式9+a2﹣6a＝　 ．
【分析】根据完全平方公式因式分解即可求解．
【解答】解：9+a2﹣6a＝（a﹣3）2．
故答案为：（a﹣3）2．
1．（2023 广州）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a2＝a4（a≠0）
C．a3 a5＝a8 D．（2a）﹣1＝（a≠0）
【分析】直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
B．a8÷a2＝a6（a≠0），故此选项不合题意；
C．a3 a5＝a8，故此选项符合题意；
D．（2a）﹣1＝（a≠0），故此选项不合题意．
故选：C．
2．（2023 广东模拟）将多项式a3﹣16a进行因式分解的结果是（　　）
A．a（a+4）（a﹣4） B．（a﹣4）2
C．a（a﹣16） D．（a+4）（a﹣4）
【分析】先提公因式，然后按照平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a3﹣16a
＝a（a2﹣16）
＝a（a+4）（a﹣4）．
故选：A．
3．（2021 广东）已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　）
A．1 B．6 C．7 D．12
【分析】分别根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，
∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12．
故选：D．
4．（2023 汕尾城区二模）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（　　）
A．a2+ab＝a（a+b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】根据题意，首先由图形分别求出面积，即可．
【解答】解：由图①得，空白图形面积＝a2﹣b2；
由图②得，空白图形面积＝（a+b）（a﹣b）．
故可得公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．所以可排除A，B，C选项．
所以本题答案为D．
5．（2023 广东模拟）已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b+2的值为（　　）
A．11 B．25 C．26 D．37
【分析】首先利用平方差公式得：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＝3（a+b），然后将a2﹣b2＝3（a+b）整体代入原式整理，最后再将a﹣b＝3整体代入即可得出答案．
【解答】解：∵a﹣b＝3，
∴a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＝3（a+b），
∴a2﹣b2﹣6b+2
＝3（a+b）﹣6b+2
＝3a+3b﹣6b+2
＝3a﹣3b+2
＝3（a﹣b）+2
＝3×3+2
＝11．
故选：A．
6．（2023 广东）因式分解：x2﹣1＝　 　．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
7．（2023 南山区模拟）因式分解：2x3﹣4x2+2x＝　 ．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2x3﹣4x2+2x
＝2x（x2﹣2x+1）
＝2x（x﹣1）2．
故答案为2x（x﹣1）2．
8．（2020 广东）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中x＝，y＝．
【分析】根据整式的混合运算过程，先化简，再代入值求解即可．
【解答】解：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，
＝x2+2xy+y2+x2﹣y2﹣2x2
＝2xy，
当x＝，y＝时，
原式＝2××＝2．
9．（2023 盐田区二模）先化简，再求值：（a﹣b）2+（4b﹣a）（a+2b）．其中a＝﹣2023，b＝．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（a﹣b）2+（4b﹣a）（a+2b）
＝a2﹣2ab+b2+4ab+8b2﹣a2﹣2ab
＝9b2，
当a＝﹣2023，b＝时，原式＝9×（）2
＝9×
＝．
10．（2023 禅城区三模）按下列程序计算，把答案填写在表格内，并回答下列问题：
输入x 3 2 ﹣2 …
输出答案 1 1 　1　 　1　 …
（1）根据上述计算，你发现了什么规律？
（2）请列出代数式，并说明你发现的规律的正确性．
【分析】根据题意可列出代数式，根据规律即可求解．
【解答】解：[（﹣2）2+（﹣2）]÷（﹣2）2﹣（﹣）＝1；
[（）2+]÷（）2﹣＝1．
故答案为：1；1．
（1）规律：不论x取何值，最终答案都是1；
（2）代数式：（x2+x）÷x2﹣＝1，
理由：∵（x2+x）÷x2﹣＝1+﹣＝1，
∴不论x取何值，最终答案都是1．
1．（2023 永嘉县三模）买一个足球需m元，买一个篮球需n元，则买5个足球和4个篮球共需（　　）元．
A．9mn B．20mn C．5m+4n D．4m+5n
【分析】根据单价×数量＝金额表示出足球与篮球各自的费用，再将两个费用求和便可得总费用．
【解答】解：根据题意知买5个足球和4个篮球共需（5m+4n）元，
故选：C．
2．（2023 沭阳县模拟）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．5x2﹣3x2＝2
C．x2+x＝x3 D．﹣8y+3y＝﹣5y
【分析】根据合并同类项法则即可求解．
【解答】解：A．2x+3y不是同类项，不能合并，选项A不符合题意；
B．5x2﹣3x2＝2x2，选项B不符合题意；
C．x2+x不是同类项，不能合并，选项C不符合题意；
D．﹣8y+3y＝﹣5y，选项D符合题意；
故选：D．
3．（2023 建华区三模）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3x2）3＝﹣9x6 B．x8÷x2＝x4
C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．a2 2a2＝2a4
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方运算以及二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝﹣27x6，故A不符合题意．
B、原式＝x6，故B不符合题意．
C、原式＝x2﹣2xy+y2，故C不符合题意．
D、原式＝2a4，故D符合题意．
故选：D．
4．（2023 东莞市校级一模）下列说法中正确的是（　　）
A．2不是单项式
B．的系数是
C．3πr2的次数是3
D．多项式5a2﹣6ab+12的次数是4
【分析】根据单项式和多项式的概念逐一求解可得．
【解答】解：A．2是单项式，故此选项不符合题意；
B．的系数是，故此选项符合题意；
C．3πr2的次数是2，故此选项不符合题意；
D．多项式5a2﹣6ab+12的次数是2，故此选项不符合题意．
故选：B．
5．（2023 衡山县二模）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　　）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【分析】将a2b+ab2变形为ab（a+b），再代入计算即可．
【解答】解：因为ab＝﹣3，a+b＝2，
所以a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×2
＝﹣6，
故选：B．
6．（2023 路北区模拟）在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】分别求两图形的面积，可得出平方差公式．
【解答】解：如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
7．（2022 东海县二模）分解因式：m3﹣4m2+4m＝　m（m﹣2）2　．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：m3﹣4m2+4m
＝m（m2﹣4m+4）
＝m（m﹣2）2．
故答案为：m（m﹣2）2．
8．（2023 竹山县模拟）已知x﹣2y＝3，那么代数式3﹣2x+4y的值是　﹣3　．
【分析】将3﹣2x+4y变形为3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行计算即可．
【解答】解：∵x﹣2y＝3，
∴3﹣2x+4y＝3﹣2（x﹣2y）＝3﹣2×3＝﹣3；
故答案为：﹣3．
9．（2023 宝应县模拟）若与2x4yn+3是同类项，则（m+n）2023＝　﹣1　．
【分析】根据同类项的定义解决此题．
【解答】解：由题意得：m+3＝4，n+3＝1．
∴m＝1，n＝﹣2．
∴（m+n）2023＝（1﹣2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
10．（2023 四平模拟）计算：899×（﹣）99＝　﹣1　．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答．
【解答】解：899×（﹣）99
＝[8×（﹣）]99
＝（﹣1）99
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
11．（2023 路桥区二模）已知x2+2x﹣2＝0，代数式x（x+2）+（x+1）2的值为 　5　．
【分析】由x2+2x﹣2＝0，得x2+2x＝2，将x（x+2）+（x+1）2变形为2（x2+2x）+1，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2（x2+2x）+1
＝2×2+1
＝4+1
＝5，
故答案为：5．
12．（2023 通榆县二模）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，．
【分析】将原式的第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并同类项后，得到最简结果，然后将x与y的值代入，计算后即可得到原式的值．
【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2，
当x＝，y＝﹣时，原式＝12××（﹣）+10×（﹣）2＝．
13．（2023 新华区校级二模）已知A＝4m（2m2﹣1）+4m，B＝8m．
（1）化简整式A，并求m＝﹣1时A的值；
（2）若C＝A﹣B．
①将C因式分解；
②若m为整数，直接写出整式C能否被16整除．
【分析】（1）去括号，合并同类项化简，后代入求值．
（2）①运用先提取公因式，再套用公式分解即可．
②分m为偶数和奇数分类证明即可．
【解答】解：（1）A＝4m（2m2﹣1）+4m
＝8m3﹣4m+4m＝8m3．
当m＝﹣1时原式＝8×（﹣1）3＝﹣8．
（2）①当A＝8m3，B＝8m时，
C＝A﹣B＝8m3﹣8m＝8m（m+1）（m﹣1）．
②能，理由如下：
当m为偶数时，设m＝2k（k是整数），
则C＝8m（m+1）（m﹣1）＝16k（2k+1）（2k﹣1），
故整式C能被16整除．
当m为奇数时，设m＝2k+1（k是整数），
则C＝8m（m+1）（m﹣1）＝8（2k+1）（2k+2）（2k）＝32k（k+1）（2k+1），
故整式C能被16整除．
综上所述，整式C能被16整除．
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