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第四章 三角形及四边形
第二节 三角形及其全等三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三角形的相关概念 ☆ 三角形及其全等三角形是中考必考内容，三角形的相关概念（如：内角和、三边关系、三线等）常结合三角形全等在选填题中考查，全等三角形的性质与判定常用四边形在解答题中考查。三角形及其全等三角形主要重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10~15 分。
考点2 三角形中的重要线段 ☆☆
考点3 全等三角形的判定与性质 ☆☆☆
考点4 全等三角形的实际应用 ☆☆
考点5 角平分线的性质与判定 ☆☆☆
■考点1 三角形的相关概念
1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。
2）三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和 第三边． 推论：三角形的两边之差 第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。
3）三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和 ．
推论：①直角三角形的两个锐角 ；②三角形的一个外角等于和它 的两个内角的 ；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
■考点二　三角形中的重要线段
1）三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做 。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做 。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 。
■考点三　全等三角形的判定与性质
1）三角形全等的判定定理：
（1）边边边定理：有 的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）边角边定理：有 的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）角边角定理：有 的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有 的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有 的两个 全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
2）全等三角形的性质：
（1）全等三角形的 相等， 相等；
（2）全等三角形的 相等， 相等；
（3）全等三角形对应的 线、 线、 线都相等。
■考点四　全等三角形的实际应用
1）通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。
2）若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。
3）利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
■考点五　角平分线的性质与判定
1）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的 ．
如图，已知平分，，，则．
2）角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的 上．
■易错提示
1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路。
2.角平分线的性质定理中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等。
■考点一　三角形的相关概念
◇典例1：（2023·江苏宿迁·统考中考真题）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
◆变式训练
1.（2023·福建·统考中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
2.（2023·河北保定·统考模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（　　）

A．3 B．5 C．7 D．8
◇典例2：（2023·四川遂宁·统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形．
◆变式训练
1．（2023·吉林·统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
2.（2022·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
◇典例3：（2023·河北·模拟预测）在中，数据如图所示，若比小，则比（ ）

A．大 B．小 C．大 D．小
◆变式训练
1.（2023·河北秦皇岛·统考三模）定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角． 求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
2．（2023·山西太原·统考二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．

下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；方法二：延长BC交AD于点E；方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
■考点二　三角形中的重要线段
◇典例4：（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）

A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
◆变式训练
1．（2023·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形．如图，当时，折痕是三角形的（ ）

A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
2.（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
◇典例5：（2023·河北沧州·统考三模）题目：如图，的三边均不相等，在此三角形内找一点O，使得，，的面积均相等．甲、乙两人的做法如下，判断正确的是（ ）

A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲错误，乙正确 D．甲正确，乙错误
◆变式训练
1. （2023·江苏苏州·校考二模）等腰中，，，则重心G到底边的距离是 ．
2.（2023·江苏南京·校考模拟预测）如图中，点是边的中点，是边上一点，且，连接、交于点，若的面积是，则的面积为 ．

◇典例6：（2023·河北衡水·二模）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．

（1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”）
（2）若，则比的度数大 ．
◆变式训练
1.（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在x轴负半轴，，点M为的重心，若将绕着点O逆时针旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ．

■考点三　全等三角形的判定与性质
◇典例7：（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，点E、点F在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·浙江衢州·统考中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
◇典例8：（2023·台湾·统考模拟预测）已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（ ）
A．， B．， C．， D．，
◆变式训练
1. （2023·浙江台州·统考一模）如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则 ．
◇典例9：（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
◆变式训练
1.（2023·山东·统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
◇典例10：（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，∴．
∵，∴．第一步
又，，∴第二步
∴第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．

◆变式训练
1．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，，，垂足分别为，．
(1)求证：；(2)若，，求的长．

3．（2023·吉林·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．求证：．

◇典例11：（2023·重庆·统考中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．

◆变式训练
1. （2023·山东临沂·统考中考真题）如图，．
(1)写出与的数量关系(2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：．(3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．

2．（2023·青海海西·校考一模）请完成如下探究系列的有关问题：
探究1：如图1，是等腰直角三角形，，点为上一动点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接，则线段，之间的位置关系为　　，数量关系为　　．
探究2：如图2，当点运动到线段的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）
探究3：如图3，如果，，仍然保留为，点在线段上运动，请你判断线段，之间的位置关系，并说明理由．
■考点四　全等三角形的实际应用
◇典例12：（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
◆变式训练
1．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏盐城·校考一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）

■考点五　角平分线的性质与判定
◇典例13：（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且 B．且C．且 D．且
◆变式训练
1.（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·河北沧州·模拟预测）画的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法如图所示，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉 ①利用直尺和三角板画； ②在上截取，使； ③作射线，即为所求． 淇淇 ①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点； ③作射线，即为所求．
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
◇典例14：（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
◆变式训练
1.（2023·北京·模拟预测）如图，中，，平分，，则的面积是 ．
2.（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．

1．（2023·河北·统考中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为( )

A． B．1 C． D．2
3．（2022·四川资阳·中考真题）如图所示，在中，按下列步骤作图：
第一步：在上分别截取，使；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线交于点M；第四步：过点M作于点N．下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
4．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．

7．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则 ．

8．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，，，．(1)求证：；(2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
9．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．(1)求证：；(2)若，时，求的面积．

10．（2023·江苏·统考中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．
(1)求证：；(2)点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是________．

11．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．
12．（2022·湖南湘潭·中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．
(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．
1．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
2．（2023·广东·中考模拟）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河北衡水·校考模拟预测）在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起．李老师将三角板绕点顺时针旋转（保持，延长线段，与线段的延长线交于点（如图所示），随着的增大，的值（ ）

A．一直变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．一直变大
4．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则 ．

6．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为 ．
6．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，已知点D．为的边上一点，请在边上确定一点E，（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）；

下面是小东设计的尺规作图过程．
作法：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点G、F；
②以点D为圆心，长为半径画弧，交于点M；
③以点M为圆心，长为半径画弧，交弧于点P；
④作射线交于点E，则；
⑤连接，则·
根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：分别过点D和点E作，垂足分别为K、H，
∵， ∴ ；
∵，∴ °；
∴ ，∴四边形是矩形，∴ ；
∵ ， ；∴·
7．（2023·北京平谷·统考二模）下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，，点是延长线上一点． 求证：．
方法一：利用三角形的内角和定理的方法 证明： 二：构造平行线进行证明行证明 证明：
8．（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，在与中，，与相交于点E，．(1)求证：；(2)连接，设线段的中点分别为M，线段的中点分别为N，直线与相交于点F．求证：F，N，E，M四点共线．

9．（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，线段相交于点E，连接，已知，，延长到F，连接，使得．
(1)求证：；(2)在中，作边上的中线，延长到N，连接，使，过N作，交的延长线于点G，若，求证：．

10．（2023·江西抚州·校考模拟预测）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时，直接写出的度数为______；若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
1．（2023·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
2．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是 ．
3．（2023·北京西城·校考模拟预测）已知等腰直角三角形中，，，点D在射线上移动（不与B、C重合），连接，线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，当点E落在线段上时，①直接写出的度数______（可用表示）；
②直接用等式表示的数量关系：______；
(2)当点E落在线段的延长线上时，请在图2中画出符合条件的图形，用等式表示的数量关系，并证明你的结论．
4．（2023·山西大同·校联考模拟预测）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图，现有一个等腰直角三角形纸板，，，为斜边上的中线，沿把纸板剪开，再将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点为，点的对应点为，连接和．试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由，
猜想与证明：(1)请解答老师提出的问题；(2)如图2，边，的中点分别为，，连接．试判断和之间的数量关系，并加以证明；
探索发现：(3)如图3，创意小组的同学在前面同学的启发下，连接，发现与之间的数量关系是固定不变的，请直接写出与之间的数量关系．

5．（2023·重庆·校考二模）（1）如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．
小明探究的方法是：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．
（2）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为______．
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第四章 三角形及四边形
第二节 三角形及其全等三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三角形的相关概念 ☆ 三角形及其全等三角形是中考必考内容，三角形的相关概念（如：内角和、三边关系、三线等）常结合三角形全等在选填题中考查，全等三角形的性质与判定常用四边形在解答题中考查。三角形及其全等三角形主要重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10~15 分。
考点2 三角形中的重要线段 ☆☆
考点3 全等三角形的判定与性质 ☆☆☆
考点4 全等三角形的实际应用 ☆☆
考点5 角平分线的性质与判定 ☆☆☆
■考点1 三角形的相关概念
1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。
2）三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。
3）三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
■考点二　三角形中的重要线段
1）三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
■考点三　全等三角形的判定与性质
1）三角形全等的判定定理：
（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
2）全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等。
■考点四　全等三角形的实际应用
1）通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。
2）若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。
3）利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
■考点五　角平分线的性质与判定
1）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
如图，已知平分，，，则．
2）角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
■易错提示
1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路。
2.角平分线的性质定理中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等。
■考点一　三角形的相关概念
◇典例1：（2023·江苏宿迁·统考中考真题）以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得．
【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
B、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
C、，满足三角形的三边关系，能搭成三角形，则此项符合题意；
D、，不满足三角形的三边关系，不能搭成三角形，则此项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边．
◆变式训练
1.（2023·福建·统考中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　）
A．1 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得，即，故的值可选5，故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
2.（2023·河北保定·统考模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（　　）

A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【分析】连接，根据勾股定理可得的长，再分两种情况讨论即可；
【详解】连接，则．如图1，当点在线段上时，；

如图2，当点在的延长线上时，，∴的取值范围为，故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、三角形的三边关系，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求出．
◇典例2：（2023·四川遂宁·统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形．
【答案】直角
【分析】设一份为，则三个内角的度数分别为，，，然后根据三角形内角和进行求解即可．
【详解】解：设一份为，则三个内角的度数分别为，，．
则，解得．所以，，即，．
故这个三角形是直角三角形．故答案是：直角．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·吉林·统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．
2.（2022·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
【答案】A
【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分析可得出正确答案．
【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角，因为：∠1+∠2+∠3=180°，
所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A选项不正确，符合题意；B、如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD．
∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD与Rt△CBE中，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．，故B选项正确，不符合题意；
C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，故C选项正确，不符合题意；
D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，故D选项正确，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力．
◇典例3：（2023·河北·模拟预测）在中，数据如图所示，若比小，则比（ ）

A．大 B．小 C．大 D．小
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理，得，得到，结合已知判断即可．
【详解】根据三角形内角和定理，得，
∴，∴，∵比小，∴，故选A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·河北秦皇岛·统考三模）定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角． 求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得，
∴（两直线平行，内错角相等），∴，∴．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
2．（2023·山西太原·统考二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．

下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；方法二：延长BC交AD于点E；方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
【答案】，方法见解析
【分析】选择方法一：作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E，根据外角的性质求出即可解得；
选择方法二：延长BC交AD于点E， 根据外角的性质求出即可解得；
选择方法三：连接BD，根据三角形内角和求出，在中，，再根据角之间的和差即可求出．
【详解】解：选择方法一：如答图1，作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E．
∵是的外角，∴． 同理可得．
∴． ∴．
∵，，，∴

选择方法二：如答图2，延长BC交AD于点E．
∵是的外角，∴．
同理可得． ∴．
∵，，，∴
选择方法三：如答图3，连接BD．在中，．
∴∴．
在中，． ∴．
∵，，， ∴
【点睛】此题考查了三角形的外角性质、三角形内角和，解题的关键是构造辅助线，会用三角形的外角性质、三角形内角和解题．
■考点二　三角形中的重要线段
◇典例4：（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）

A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线
【答案】B
【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可．
【详解】解：由图可得，图①中，线段是的高线，
图②中，线段是的角平分线，图③中，线段是的中线，故选：B．
【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形．如图，当时，折痕是三角形的（ ）

A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【答案】C
【分析】根据折叠的性质和平角定义得到，再根据三角形的高线定义求解即可．
【详解】解：∵，，∴，
又∵折痕经过三角形的顶点，∴折痕是三角形的高线，故选：C．
【点睛】本题考查折叠性质、平角定义、三角形的高线，理解三角形的高线定义是解答的关键．
2.（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．
【详解】解：如图，
∵由折叠的性质可知，∴AD是的角平分线，故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键．
◇典例5：（2023·河北沧州·统考三模）题目：如图，的三边均不相等，在此三角形内找一点O，使得，，的面积均相等．甲、乙两人的做法如下，判断正确的是（ ）

A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲错误，乙正确 D．甲正确，乙错误
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质可判断甲的做法不正确，根据三角形中线的性质和三角形的重心的性质可判断乙的做法正确，可得答案．
【详解】解：对于甲：由做法可知：点O是三角形的三条角平分线的交点，
∴点O到三边的距离相等，记这个距离是h，
由于的三边均不相等，则，，的面积均不相等，∴甲的做法错误；
对于乙：由做法可得：点O是三角形三边中线的交点，连接，如图，
∴，∴，同理可得：，，
∴，，的面积均相等，∴乙的做法正确；故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的角平分线的性质、三角形的中线和三角形重心的性质，正确理解题意、掌握相关图形的性质是解题的关键．
◆变式训练
1. （2023·江苏苏州·校考二模）等腰中，，，则重心G到底边的距离是 ．
【答案】/
【分析】根据题意作出高线，首先根据等腰三角形的性质及勾股定理可求得的长，再根据重心的性质即可求得结果．
【详解】解：如图所示，过点A作于点D，

∵，，∴，∴，
∵为等腰三角形底边上的中线，
∴重心一定在上，且重心G到底边的距离为的长，
根据重心的性质可知，．故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，重心的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
2.（2023·江苏南京·校考模拟预测）如图中，点是边的中点，是边上一点，且，连接、交于点，若的面积是，则的面积为 ．

【答案】30
【分析】连接，由点是边的中点，得，由的面积是，得，令，由及三角形的面积公式得，，从而得，从而即可计算得解。
【详解】解：连接，∵点是边的中点，∴，∴，

∵的面积是，∴，令，
∵，∴，∴，
，
∴，∴，∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的面积，三角形中线等知识点，掌握等积变换是解答此题的关键．
◇典例6：（2023·河北衡水·二模）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．

（1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”）
（2）若，则比的度数大 ．
【答案】 高
【分析】（1）由折叠的性质结合三角形角平分线，中线，高的定义即可判断；
（2）由折叠的性质结合三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）由折叠的性质可知，，，
∴折痕是的高．故答案为：高；
（2）∵由折叠的性质可知，，
∴．故答案为：15．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质．熟练掌握上述知识点是解题关键．
◆变式训练
1.（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在x轴负半轴，，点M为的重心，若将绕着点O逆时针旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ．

【答案】
【分析】由重心的性质可得点的坐标，根据旋转的性质证全等即可求得旋转后三角形的重心的坐标．
【详解】解：∵，点M为的重心∴,
∵点∴点

∵将绕着点O逆时针旋转90°过点作轴，连接
∵∴
∵∴
∴∴点故答案为：
【点睛】本题考查了重心的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等．熟记相关数学结论是解题关键．
■考点三　全等三角形的判定与性质
◇典例7：（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，点E、点F在上，，，添加一个条件，不能证明的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，∴，即，
∵，∴当时，利用可得，故A不符合题意；
当时，利用ASA可得，故B不符合题意；
当时，利用SAS可得，故C不符合题意；
当时，无法证明，故D符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可．
【详解】根据题中所给的作图步骤可知，是的角平分线，即．
当时，又，且，
所以，所以，故A选项不符合题意．
当时，，又，且，
所以，所以，故B选项不符合题意．
当时，因为，，，
所以，所以，
又，所以，即．
又，所以，
则方法同（2）可得出，故C选项不符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
2.（2023·浙江衢州·统考中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可）(2)见解析
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；或者选择的条件为：①③④；
（2）证明：当选择的条件为①②③时，
，，即，
在和中，，；
当选择的条件为①③④时，，，即，
在和中，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
◇典例8：（2023·台湾·统考模拟预测）已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】由与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得，，，可得；，可得，由大角对大边可得；利用，可得，即，由上可得正确选项．
【详解】解：≌，，，，
，．，，．．
，，即．．，．故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．
◆变式训练
1. （2023·浙江台州·统考一模）如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则 ．
【答案】/145度
【分析】根据可得，再由三角形内角和得到，利用邻补角定义求出即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴．故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和以及邻补角定义，解答关键是在全等三角形性质基础上灵活运用数形结合思想
◇典例9：（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论．
【详解】解：∵，∴，
∵若，又，∴与满足“”的关系，无法证明全等，
因此无法得出，故A是假命题，∵若，∴，
在和中，，∴，∴，故B是真命题；
若，则，在和中，，∴，∴，∵，∴，故C是真命题；
若，则在和中，
，∴，∴，故D是真命题；故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．
◆变式训练
1.（2023·山东·统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．
【详解】解：如图，由图可知：，，

∴，∴，∵，∴，
∵，∴，
∴；故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
◇典例10：（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，∴．
∵，∴．第一步
又，，∴第二步
∴第三步

(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．
【答案】(1)二(2)见解析
【分析】（1）根据证明过程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．
【详解】（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二．
（2）证明：∵，，
在和中，，，，
在和中，，，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在 中，，，．
．．，．
在和中，，∴．．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，，，垂足分别为，．

(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）利用“”可证明；（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【详解】（1）证明：，，，
在和中，，；
（2）解：，，
在中，，
，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
3．（2023·吉林·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．求证：．

【答案】证明见解析
【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：在和中，∴ ∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
◇典例11：（2023·重庆·统考中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．

【答案】3
【分析】证明，得到，即可得解．
【详解】解： ∵，∴，
∵，，∴，∴，∴，
在和中：，∴，
∴，∴，故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
◆变式训练
1. （2023·山东临沂·统考中考真题）如图，．

(1)写出与的数量关系(2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：．(3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
【答案】(1)，(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解；
（2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证；
（3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证．
【详解】（1）解：∵∴，
∵∴即；
（2）证明：如图所示，
∴∴，∵，∴
∵，,∴
∴∴ ∴
（3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，

∵，，∴，∴
∵是的角平分线，∴，∴∴
∵，∴，，∴，
又∵，∴，
即，∴，又，则，
在中，，∴，∴
【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2．（2023·青海海西·校考一模）请完成如下探究系列的有关问题：
探究1：如图1，是等腰直角三角形，，点为上一动点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接，则线段，之间的位置关系为　　，数量关系为　　．
探究2：如图2，当点运动到线段的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）
探究3：如图3，如果，，仍然保留为，点在线段上运动，请你判断线段，之间的位置关系，并说明理由．

【答案】探究1：；探究2，仍然成立，理由见详解；探究3：，理由见详解
【分析】探究1：根据题意证明，推出，推出，推出即可；探究2：结论不变，证明方法与探究1类似；
探究3，过点作，交的延长线于点，时，利用正方形性质可推出即可得到，得出结论．
【详解】探索1：，，
四边形为正方形，，，，
在和中，，，
，，，，
故答案为： ，；
探索2：探索1中的两条结论是否仍然成立，
理由如下：，，
四边形为正方形，，，
在和中，，，
，，，；
探索3：线段，之间的位置关系是，
理由如下：如图，过点作，交的延长线于点，

，，，四边形为正方形，，
，，，
，，，
线段，之间的位置关系是．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
■考点四　全等三角形的实际应用
◇典例12：（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）先证明，可得，可得是的角平分线；
（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，∴，∴是的角平分线；故答案为：
（2）∵，，，∴，
∴，∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．
◆变式训练
1．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．
【详解】A. ．根据SSS一定符合要求；B. ．根据SAS一定符合要求；
C. ．不一定符合要求；D. ．根据ASA一定符合要求．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三个判定定理．
2．（2023·江苏盐城·校考一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）

【答案】（1）理由见解析（2）图见解析
【分析】（1）证明，即可得出结论；（2）连接，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，连接，四边形即为所求．
【详解】（1）证明：在和中，∴，∴；
（2）连接，交网格线于点，连接并延长，交网格线于点，连接，四边形即为所求，如图：

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，无刻度尺作图．解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，以及对角线互相平分的四边形为平行四边形．
■考点五　角平分线的性质与判定
◇典例13：（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且 B．且C．且 D．且
【答案】A
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：，
∵，∴．∴．∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
◆变式训练
1.（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得，故A，C正确；
∴在的垂直平分线上，∴，故D选项正确，
而不一定成立，故B选项错误，故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
2.（2023·河北沧州·模拟预测）画的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法如图所示，下列判断正确的是（ ）
嘉嘉 ①利用直尺和三角板画； ②在上截取，使； ③作射线，即为所求． 淇淇 ①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点； ③作射线，即为所求．
A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对
【答案】C
【分析】用平行线的性质，等腰三角形的性质可判断嘉嘉的作法；用三角形全等可判定淇淇的作法．
【详解】∵，∴；

∵，∴，∴，故射线平分，故嘉嘉的作法正确；
∵，∴，∴，
∵，；∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
故射线平分，故淇淇的作法正确；故选C．
【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
◇典例14：（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意，
根据作图可知为的角平分线，∵∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·北京·模拟预测）如图，中，，平分，，则的面积是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积求解，过点D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵平分，，，∴，
∵，∴，故答案为：5．
2.（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．

【答案】
【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出．
【详解】如图：过点作于点，

，由题意得：平分，
，，，
，，
，；故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键．
1．（2023·河北·统考中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在中，，∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，故选：B．
【点睛】本题考查三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为( )

A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】过点作于点，勾股定理求得，根据作图可得是的角平分线，进而设，则，根据，代入数据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

在中，，，∴，
根据作图可得是的角平分线，∴
设，∵∴解得：故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正弦的定义，勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
3．（2022·四川资阳·中考真题）如图所示，在中，按下列步骤作图：
第一步：在上分别截取，使；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线交于点M；第四步：过点M作于点N．下列结论一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，平分，即可得出正确答案．
【详解】解：由题意可知，平分，
∵不一定等于90°，∴，因此A选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此B选项不正确；
∵平分，∴，因此C选项不正确；
∵不一定等于90°，∴不一定等于，因此D选项不正确；故选C．
【点睛】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定，掌握角平分线的作图方法是本题的关键．
4．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
【详解】A、，不能判断，选项不符合题意；
B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；
C、，不能判断，选项不符合题意；
D、，不能判断，选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
5．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、B；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断C、D．
【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线，
∴，故A结论正确，不符合题意；
∵，∴，故B结论正确，不符合题意；
在中，由勾股定理得，
∵，∴，
∴，∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
∴，故D结论正确，不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质和定义，角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
6．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ．

【答案】或
【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．
【详解】解：由折叠的性质得：；∵，∴；
①当在下方时，如图，∵，
∴，∴；

②当在上方时，如图，∵，∴，
∴；
综上，的度数为或；故答案为：或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．
7．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则 ．

【答案】5
【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，

在中，∵，∴，
∵是的角平分线，∴，
∵，∴，∴，，
设，在中，∵，，
∴，∴，∴．故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，，，．(1)求证：；(2)用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立；
（2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可．
【详解】（1）证明：∵，，，∴，∴；
（2）解：所作图形如图，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键．
9．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

(1)求证：；(2)若，时，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论；（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，∴，
在和中，，∴，∴，∴；
（2）解：过点E作于F，由（1）知，
∵，∴，∵，∴，
∴，，∴．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．
10．（2023·江苏·统考中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．

(1)求证：；(2)点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是________．
【答案】(1)见解析(2)①见解析 ②
【分析】（1）可证得，结合，即可证明结论．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，据此即可求得答案．
【详解】（1）∵，，，∴．
在和中∴．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点．

②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知．故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键．
11．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；；（2），见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系．
【详解】（1），，．
在中，，，，
，．．
（2），的关系：．
理由如下：设，．在中，，
，．，
在中，，．
．．．
【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．
12．（2022·湖南湘潭·中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．
(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．
【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2
(2)DE=CE+BD；理由见解析；②BD=CE+DE；理由见解析 (3)
【分析】（1）先根据得出，根据，得出，，再根据，求出，，
即可得出，最后根据三角函数得出，，
即可求出；
（2）①DE=CE+BD；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
②BD=CE+DE；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
（3）在Rt△AEC中，根据勾股定理求出，根据，得出，代入数据求出AF，根据AC=5，算出CF，即可求出三角形的面积．
(1)解：∵，，∴，
∵，∴，，
∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，
∴，，
∴，
∴，
，∴．
(2)DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；
②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．
(3)根据解析（2）可知，AD=CE=3，∴，
在Rt△AEC中，根据勾股定理可得：，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴，∴，即，
解得：，∴，
∵AB=AC=5，∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明，是解题的关键．
1．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（　　）
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，
∴桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固，故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形具有稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．
2．（2023·广东·中考模拟）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答．
【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a，
则根据题意有：，即，
当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，或者，
综上a的取值范围为：，据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km，故选：A．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边．
3．（2022·河北衡水·校考模拟预测）在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起．李老师将三角板绕点顺时针旋转（保持，延长线段，与线段的延长线交于点（如图所示），随着的增大，的值（ ）

A．一直变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．一直变大
【答案】B
【分析】利用证明，得，从而，则可得出结论．
【详解】解：如图，在上截取，连接，，
由题意得：，，，
在和中，，（），
，，
的值保持不变．故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
4．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键．作，根据角平分线的性质得到，即可得答案．
【详解】解：过点作于，如图所示，
∵，平分，∴，即是点到的距离为，故选A．
5．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，D是的中点，点G是的重心．，则 ．

【答案】4
【分析】根据重心的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵D是的中点，点G是的重心，
∴，∴；故答案为：4．
【点睛】本题考查重心的性质，熟练掌握重心到顶点的距离是中心到对边中点距离的2倍，是解题的关键．
6．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
根据旋转的性质可得，，，然后根据正方形的性质和等量代换可得，进而可根据证明，可得，设，则与可用含x的代数式表示，然后在中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】∵将绕点顺时针旋转得到，
，，
在正方形中，，
，点G、B、E在同一直线上,
又，
在和中，，∴，∴，
又四边形是正方形，， 设，
，，
在中，由勾股定理，得：，
即解得： 的长为2故答案为：2．
6．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，已知点D．为的边上一点，请在边上确定一点E，（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）；

下面是小东设计的尺规作图过程．
作法：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点G、F；
②以点D为圆心，长为半径画弧，交于点M；
③以点M为圆心，长为半径画弧，交弧于点P；
④作射线交于点E，则；
⑤连接，则·
根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：分别过点D和点E作，垂足分别为K、H，
∵， ∴ ；
∵，∴ °；
∴ ，∴四边形是矩形，∴ ；
∵ ， ；∴·
【答案】(1)见解析(2)；；；；
【分析】（1）根据题中步骤作图；（2）根据同底等高证明即可.
【详解】（1）解：如图，

（2）证明：分别过点D和点E作，垂足分别为K、H，
∵，∴；
∵，∴；
∴，∴四边形是矩形，∴；
∵，；∴·
故答案为：；；；；．
【点睛】本题考查了复杂作图，掌握三角形的面积公式是解题的关键.
7．（2023·北京平谷·统考二模）下面是证明三角形内角和定理推论1的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 已知：如图，，点是延长线上一点． 求证：．
方法一：利用三角形的内角和定理的方法 证明： 二：构造平行线进行证明行证明 证明：
【答案】见解析
【分析】方法一：，，即可得出结论；
方法二：过点C作，由平行线的性质得，，再由，即可得出结论．
【详解】证明：方法一：中，，
∵，∴；
方法二：过点C作，如图，

∵∴，，
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理或平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理或平行线的性质是解题的关键．
8．（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，在与中，，与相交于点E，．(1)求证：；(2)连接，设线段的中点分别为M，线段的中点分别为N，直线与相交于点F．求证：F，N，E，M四点共线．

【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可证出结论；（2）连接，，，由全等三角形的性质得出，，证出，可得，由等腰三角形的性质可得为的垂直平分线，平分，平分，由，为的垂直平分线，进而可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
在和中，，∴，
∴，∴，∵，∴；
（2）证明：连接，，，

∵，∴，，∴，
又∵为的中点，则∴为的垂直平分线，平分，
∵，∴为的垂直平分线，∴E，M，F三点共线，
∵，，∴，∵N为的中点，∴平分，
∵平分，∴N在上，∴F，N，E，M四点共线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中垂线的性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
9．（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，线段相交于点E，连接，已知，，延长到F，连接，使得．
(1)求证：；(2)在中，作边上的中线，延长到N，连接，使，过N作，交的延长线于点G，若，求证：．

【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）利用证明即可；
（2）证明是等边三角形，再想办法证明，即可．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴；
（2）解：∵，∴，，
∴是等边三角形，∴，
∴，∴，∴，
∵，∵，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．（2023·江西抚州·校考模拟预测）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时，直接写出的度数为______；若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)，详见解析(2)①；②
【分析】（1）利用证明，即可得出答案；（2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题；②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得．
【详解】（1）解：，理由如下：
是等边三角形，，，，
将线段绕点顺时针旋转得到，，，
，，，；

（2）解：①如图，当时，则，，，
；
②，理由如下：延长到，使，连接，，
为的中点，，四边形为平行四边形，
且，，，
又，，，
又，，，，
又为正三角形，，．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．
1．（2023·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．过点C作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值，根据的面积为，，结合三角形的面积公式求出，即可解答．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值，
∵是的平分线，∴，∴是点C到直线的最短距离（垂线段最短），
∵的面积为，，∴，
∵的最小值是．故选：D．
2．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了直角三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，过点作于点，可证得，得出，当且仅当，即点与点重合时，为的最小值，即可得出的最小值为2．
【详解】解：取的中点，连接，过点作于点，
则，，
，，，，
由旋转得：，，，
，，
，，，，
当且仅当，即点与点重合时，为的最小值，
的最小值为2．故答案为：2．
3．（2023·北京西城·校考模拟预测）已知等腰直角三角形中，，，点D在射线上移动（不与B、C重合），连接，线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，当点E落在线段上时，①直接写出的度数______（可用表示）；
②直接用等式表示的数量关系：______；
(2)当点E落在线段的延长线上时，请在图2中画出符合条件的图形，用等式表示的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)①；②(2)，见解析
【分析】（1）①由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，则可得出答案；②过点作，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
【详解】（1）解：①∵线段绕点D顺时针旋转得到线段
∴，∴∴
∵，∴ ∴∴
②过点作，如下图：

∵，∴∵∴∴
由勾股定理可得：∴
∵线段绕点D顺时针旋转得到线段∴
∵，∴
∴又∵∴∴
∵，∴
∴故答案为：
（2）解：，理由如下：过点作，交延长线于点，

∵线段绕点D顺时针旋转得到线段∴∴
设，则 ∵，
∴∴∴
∵∴∴
∵∴∴
由勾股定理可得：，∴
∴
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．（2023·山西大同·校联考模拟预测）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图，现有一个等腰直角三角形纸板，，，为斜边上的中线，沿把纸板剪开，再将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点为，点的对应点为，连接和．试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由，
猜想与证明：(1)请解答老师提出的问题；(2)如图2，边，的中点分别为，，连接．试判断和之间的数量关系，并加以证明；
探索发现：(3)如图3，创意小组的同学在前面同学的启发下，连接，发现与之间的数量关系是固定不变的，请直接写出与之间的数量关系．

【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3)，证明见解析
【分析】（1）由，，为斜边上的中线，可得，，即得，根据将绕点逆时针旋转得到，有，故，从而；
（2）连接，，取中点，连接，，设交于，交于，由，知，可证，又为中点，为中点，为中点，故，，，，从而，，是等腰直角三角形，可得，即得；（3）连接，由，得，，可证，有，又，，故．
【详解】（1）解： ，理由如下：，，为斜边上的中线，
，，，
将绕点逆时针旋转（＜＜）得到，
，（），；
（2），证明如下，
连接，，取中点，连接，，设交于，交于，如图：

由（）知，，，
，，
，，，
为中点，为中点，为中点，
，，，，
，，是等腰直角三角形，
，；
（3）；证明如下：连接，如图：
由（）知，，，，
，
，即，，
，，．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理及应用，等腰直角三角形性质与判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握旋转的性质和作辅助线构造直角三角形解决问题．
5．（2023·重庆·校考二模）（1）如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．
小明探究的方法是：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．
（2）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为______．
【答案】（1）；（2）仍成立，理由见解析；（3）．
【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．（2）延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．（3）在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，证明和，在通过角的和差即可得到结论．
【详解】解：（1）．理由：如图1，延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
在和中， ，
∴，∴，，
∵，，∴，
∵，∴，∴．
故答案为：；
（2）仍成立，理由：如图2，延长到点G，使，连接，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，，∴，
∴
（3）．
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴，即，
∴．故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．
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