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第四章 三角形及四边形
第一节 几何图形初步、相交线与平行线
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 认识几何图形 ☆ 本专题内容是初中几何的基础，在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，大部分地区在选择、填空题中考察可能性较大，主要考查平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待。
考点2直线、射线、线段的相关概念 ☆
考点3 角的相关概念 ☆☆
考点4 相交线 ☆☆
考点5 平行线的性质与判定 ☆☆☆
■考点一　认识几何图形
1.几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形。
2.立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形。
3.平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形。
4．正方体的展开图（共计11种）：
5.几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形；2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线；3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面；4）体：几何体简称体。
6.组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。
7.拓展：欧拉公式：V+F-E=2，（其中：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E））。
■考点二　直线、射线、线段的相关概念
1.直线的性质：（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）基本事实：经过两点有且只有一条直线。
2.线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离。
3.线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC。
■考点三　角的相关概念
1.角：有公共端点的两条射线组成的图形。
2.角平分线定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线。
性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB ，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC。
3.度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°。
4.余角和补角及其性质
1） 余角：∠1＋∠2＝90° ∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180° ∠1与∠2互为补角。
3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
■考点四　相交线
1.两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交。
2.垂直定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直。
3.垂直的性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
4.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。
5.三线八角：直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．其中∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角。
6．对顶角：1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。2）性质：对顶角相等。
■考点五　平行线的性质与判定
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3.平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．
（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行（同一平面内）。
4.平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补。
5.平行线间的距离
1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。
2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等。
6.除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：
做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
■易错提示
1. 一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件：1）射线必须在角的内部；2）它把这个角分成两个相等的角；
2. 互为余角、补角是两个角之间的关系,只与角的度数有关，与角的位置无关；
3. 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
4. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件；
5. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的。
■考点一　认识几何图形
◇典例1：（2023·四川乐山·统考中考真题）下面几何体中，是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆柱的特征，即可解答．
【详解】解：A.是正方体，故不符合题意；B.是圆柱，故符合题意；
C.是圆锥，故不符合题意；D.是球体，故不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·江苏镇江·校联考一模）不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型并描述它的特征．小乐：它有4个面是三角形；小欣：它有6条棱．则该几何体模型的形状可能是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【答案】A
【分析】根据几何体有4个面是三角形，有6条棱，进行判断即可．
【详解】解：∵几何体有4个面是三角形，
∴几何体不能是棱柱（棱柱侧面均为四边形，只有三棱柱上下底面是三角形）；
又∵几何体有6条棱，∴选项中只有A选项符合题意；故选A．
【点睛】本题考查几何体的判断．熟练掌握常见几何体的特征，是解题的关键．
◇典例2：（2023·湖南益阳·统考中考真题）下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．
【详解】解：由轴对称图形定义可知：A，B，C不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．
◆变式训练
1.（2023·山东·统考中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【分析】根据题意画出立体图形，即可求解．
【详解】解：折叠之后如图所示，则K与点D的距离最远，故选D．

【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力．
2.（2023·湖北宜昌·统考中考真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）．

A．文 B．明 C．典 D．范
【答案】B
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，以此来找相对面．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“城”字对面的字是“明”，故选：B.
【点睛】本题考查了正方体相对面上的字，熟练掌握正方体的平面展开图特点是解题的关键．
◇典例3：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可．
【详解】解：由题意可知：
一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱．故选：B
【点睛】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键．
◆变式训练
1.（2023·江苏无锡·校考三模）一块直角边分别为6和8的三角形木板，绕长度为8的边旋转一周，则斜边扫过的面积是（　　）
A．45 B． C．60 D．
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，求出圆锥的侧面积即可．
【详解】如图，一块直角边分别为6和8的三角形木板，绕长度为8的边旋转一周，得到一个底面半径为6，高为8的圆锥，斜边即圆锥的母线扫过的面积即为圆锥的侧面积，
∵，，∴．∴．故选D．
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键．
2.（2023·河南信阳·二模）妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆
【答案】A
【分析】根据圆柱体的截面形状，判断即可．
【详解】解：因为圆柱的截面形状可能是圆形，椭圆形或长方形，所以，一个密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，则水面的形状不可能是三角形．故选：A．
【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握圆柱体的截面形状是解题的关键．
◇典例5：（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，

∴图中阴影部分的面积为 故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·广东深圳·校考三模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边上，三角形①的边在边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设七巧板正方形的边长为x，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出，的长，即可求解．
【详解】解：设七巧板正方形的边长为，，，，，
．故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，七巧板，勾股定理，正方形的性质，表示出，的长是解题的关键．
◇典例6：（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：___________________．
【答案】（1）表格详见解析；（2）
【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；（2）从特殊到一般探究规律即可．
【详解】解：（1）填表如下：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．
【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型．
◆变式训练
1．（2023·贵州铜仁·统考三模）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．
(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______．
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 m 6 12
正八面体 n 8 12
正十二面体 20 12 30
(2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．
(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．
【答案】(1)8；6(2)V+F-E=2(3)这个多面体的面数为16
【分析】（1）观察图形即可得出结论； （2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2；
（3）将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数．
【详解】（1）解：观察图形，长方体的顶点数为8；正八面体的顶点数为6；
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
故答案为：8；6；
（2）解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
（3）解：由题意得：F+F-30=2，解得F=16，∴这个多面体的面数为16．
【点睛】本题主要考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，正确理解题意是解题的关键．
■考点二　直线、射线、线段的相关概念
◇典例7：（2023·河北石家庄·校考模拟预测）如图，若射线与线段有一个公共点，则射线可能经过的点是（　　）

A．点D B．点E C．点Q D．点M
【答案】A
【分析】把P与各点的连线画出来，进而可得答案．
【详解】解：如图，连接，，，，，由图可知与线段相交，

∴射线可能经过的点是D，故选：A．
【点睛】本题考查了射线与线段．解题的关键在于熟练掌握射线、线段的特征．
◆变式训练
1. （2023·河北保定·保定市第十七中学校考三模）如图，直线，和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是（ ）

A．① B．② C．③ D．④或⑤
【答案】B
【分析】根据线段的特点进行判断即可．
【详解】解：∵线段与线段有公共点，∴点Q在②区域内，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段、直线和射线的定义，相交的定义，解题的关键是熟练掌握相交的定义．
◇典例8：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可．
【详解】解：∵两点之间线段最短，
∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短．
◆变式训练
1. （2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【分析】根据两点确定一条直线进行求解即可．
【详解】解：锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是两点确定一条直线，故选B．
【点睛】本题考查了两点确定一条直线，正确理解题意是解题的关键．
2.（2023·浙江杭州·模拟预测）下面说法正确的是（ ）
A．两点间的连线的长度，叫做两点间的距离 B．连结两点的线段，叫做两点间的距离
C．两点间的距离就是两点间的路程 D．两点间的距离是连结两点的线段的长度
【答案】D
【分析】根据两点间的距离的定义：连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，即可求解．
【详解】连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，故A、B、C错误，D正确．故选：D．
【点睛】本题考查了两点间的距离的定义，解题的关键是要明确：连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，不能漏掉“长度”．
◇典例9：（2023·黑龙江大庆·统考一模）哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有 种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同）
【答案】15
【分析】把中途4站看作线段上的4个点，数出线段的数量即可求解．
【详解】把中途4站看作线段上的4个点．
线段共有：（条），所以有15种不同的票价．故答案为：15．
【点睛】本题考查了线段数量问题，将问题转化是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）2条直线最多有个交点，3条直线最多有个交点，按照规律依此类推，2023条直线最多有个交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，，，由此发现规律，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，，……，
由此发现，，∴，
∴
．故选：B
【点睛】本题主要考查了直线的交点个数，数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
2．（2023·安徽蚌埠·校考二模）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】根据题意画出图形即可求解．
【详解】如图所示，将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为块，故选：C．
【点睛】本题考查了直线分平面问题，理解题意是解题的关键．
◇典例10：（2023·河北沧州·校考模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对
C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对
【答案】A
【分析】根据作图的方法以及线段的中点，三等分点的定义，即可求解．
【详解】解：①“延长线段到，使”，则点是线段中点，故嘉嘉说法正确；
②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”，如图，如果线段，那么线段或，故淇淇说法错误．故选：A．

【点睛】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，画线段，分类讨论是解题的关键
◆变式训练
1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，某同学用直尺画数轴．数轴上点A、分别在直尺的，处，若点A对应，直尺的0刻度位置对应，则线段中点对应的数为（ ）

A．4 B．5 C．8 D．12
【答案】A
【分析】根据题意得出代表数轴上两个单位长度，求出线段中点对应直尺处，再求线段中点对应的数即可．
【详解】解：∵点A、分别在直尺的，处，点A对应，直尺的0刻度位置对应，
∴代表数轴上两个单位长度，∴线段中点对应直尺处，
∴线段中点对应的数为：故选：A．
【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离，理解题意是解题关键．
2.（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由题意可求出，，，．再根据题意结合速度=路程÷时间讨论即可．
【详解】解：由题意可知．∵，∴，，
∴，．
当大货车第一次到达D地时，用时，∴此时小车行驶路程为．
∵，∴此过程两车不相遇；
当大货车第一次由D地返回B地，且到达C地的过程中，
∵，∴大货车到达C地用时．
假设此过程中两车相遇，且又经过t秒相遇，则，
解得：，即说明大货车到达C地之前没相遇；
当大货车继续由C地返回B地时，∵，∴大货车到达B地用时．
此时大货车共行驶．∵小车到达C地用时，
∴当大货车到达B地时，小车已经到达C地停靠．
∵小车中途在C地停靠3分钟，即，
∴当大货车到达B地时，小车在C地还需停靠．
当大货车又从B地出发前往D地时，用时，
∴当大货车到达D地时小车还在停靠，即此时第一次相遇，
∴此时小车剩余停靠时间，
∴当小车出发时，大货车第二次从D地前往B地行驶了．
假设大货车到达B地前小车能追上大货车，且用时为，则，
解得：，即说明大货车到达B地前小车没追上大货车，∴此过程两车没相遇．
当大货车最后由B地前往A地时，小车正在向B地行驶，∴两车此过程必相遇．
综上可知，两车相遇的次数为2次．故选A．
【点睛】本题考查线段的n等分点，线段的和与差，一元一次方程的实际应用．读懂题意，列出算式或方程是解题关键．
■考点三　角的相关概念
◇典例11：（2023·山东临沂·统考中考真题）下图中用量角器测得的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图形可直接得出．
【详解】解：由题意，可得，故选：C．
【点睛】本题考查角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·湖北恩施·校考模拟预测）用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把角按一定比例放大或缩小，角的度数不变．
【详解】解：放大镜看一个的角，角的两边的张开程度没变，即角的度数不变，故选：D．
【点睛】本题考查角的概念，关键是掌握图形的放大或缩小的性质．
2. （2023·河北·统考中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向
【答案】D
【分析】根据方向角的定义可得答案．
【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向．故选D．

【点睛】本题主要考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．
3.（2023·浙江宁波·校考一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】说明是假命题只要举出两个锐角的和不是钝角即可．
【详解】解：A．，，则，能说明；
B．，，则，不能说明；
C． ，，不是锐角，不可以说明；
D．，，不是锐角，不能说明；故选：A．
【点睛】本题考查说明一个命题是假命题．比较简单，只需要条件符合，结论不符即可．
◇典例12：（2023·广东河源·三模）任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于 ．
【答案】90
【分析】本题主要考查了补角和余角．设这个锐角为x，可得一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于，即可求解．
【详解】解：设这个锐角为x，依题意得：．故答案为：90．
◆变式训练
1.（2023·广东佛山·统考三模）已知，与互为余角，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据互为余角的定义即可求解．
【详解】解：∵与互为余角，∴，
又∵，∴，故选：B．
【点睛】本题考查互为余角的定义，熟练掌握如果两个角的和等于，则这两个角互为余角是解题的关键．
2．（2023·陕西咸阳·校考三模）若，则补角的大小是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】两个角的和为 则这两个角互为补角，根据补角的含义可得答案．
【详解】解：∵，∴的补角为 故选D．
【点睛】本题考查的是互补的两个角之间的关系，掌握“两角互补的含义”是解本题的关键．
3.（2023·北京大兴·统考一模）已知，，，四点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C．比大 D．与互补
【答案】D
【分析】分别求出、、、的大小，即可进行判断．
【详解】解：由题意可得，，，，，
∴选项A、B、C都不正确，，∴选项D正确，故选：D
【点睛】此题考查了角的大小和计算，正确求解角的度数是解题的关键．
4.（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．

【答案】55
【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到．
【详解】∵由作图可得，是的角平分线
∴．故答案为：55．
【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
■考点四　相交线
◇典例13：（2023·河南·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，故选：B
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
◆变式训练
1.（2023·青海·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据邻补角可进行求解．
【详解】解：∵，∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角是解题的关键．
2.（2023·河南周口·校考模拟预测）如图，直线相交于点，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对顶角相等，垂直的定义，结合已知条件得出，解方程，即可求解．
【详解】解：∵，∴
∵，
∴解得：，故选：C．
【点睛】本题考查对顶角相等，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
◇典例14：（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三角形中，，，垂足为D，则下列说法不正确的是（ ）

A．线段的长是点A到的距离 B．线段的长是点C到的距离
C．线段的长是点B到的距离 D．线段的长是点B到的距离
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离判断即可得到答案．
【详解】解：A、线段的长是点A到的距离，正确，不合题意；
B、线段的长是点A到的距离，错误，符合题意；
C、线段的长是点B到的距离，正确，不合题意；
D、线段的长是点B到的距离，正确，不合题意；故选：B．
【点睛】此题考查的是点到直线的距离，掌握其概念是解决此题的关键．
◆变式训练
1.（2023·吉林长春·模拟预测）长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小致同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小致这样走的数学依据 ．

【答案】垂线段最短
【分析】由垂线段的性质，垂线段最短，即可解得．
【详解】解：由题意可得：小致这样走的数学依据 垂线段最短，故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线段最短，正确理解垂线段最短的含义是关键．
2.（2023·浙江杭州·校联考三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且，其中，则点P到直线l的距离可能是（　　）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】A
【分析】根据垂线段最短解决此题．
【详解】解：根据垂线段最短，，∵，∴A符合要求．故选：A．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟知“垂线段最短”是解答此题的关键．
◇典例15：（2023·山东淄博·统考一模）有以下命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等．其中假命题的是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
【答案】C
【分析】根据对顶角相等、平行公理、平行线的性质，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：①对顶角相等，故该命题是真命题；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该命题是真命题；
③两直线平行，同位角相等，故该命题是假命题．故选：C．
【点睛】本题主要考查真假命题的判断、对顶角相等、平行线的性质、平行公理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022·河北石家庄·考模拟预测）如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到答案．
【详解】解：经过刻度尺平移测量，③符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线，利用了平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
2.（2023·四川宜宾·模拟预测）有下列说法：对顶角相等；同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线的距离即为垂线段；同旁内角互补，两直线平行其中正确的有 ．
【答案】
【分析】分别利用平行线的性质、对顶角的性质及平行公理对四个选项逐一判断后即可确定正确选项．
【详解】解：对顶角相等，故正确；只有在两直线平行的条件下，同位角一定相等，故错误；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；
点到直线的距离即为垂线段的长度，故错误；
同旁内角互补，两直线平行，正确；故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质、对顶角的性质及平行公理的知识，属于基础定理及定义，难度不大．
◇典例16：（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，直线l1，l2被直线l3所截，则（　　）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是内错角 C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是内错角
【答案】C
【分析】两条直线a、b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，被截两直线a、b的同一侧的角（都在左侧或者都在右侧），把这样的两个角称为同位角；根据定义分别判断即可．
【详解】解：∠1和∠2既不是同位角，也不是内错角，故选项A、B错误；
∠1和∠3是同位角，故选项C正确，选项D错误；故答案为：C．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，与的位置关系是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】A
【分析】根据的位置，结合同位角的定义可得答案．
【详解】如图所示，和两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，所以和是同位角．故选：A．
【点睛】本题考查的是同位角的识别，掌握同位角的含义是解题的关键．
■考点五　平行线的性质与判定
◇典例17：（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据含有角的直角三角尺，得到的值，再利用平行线的性质得到的值，即可解答．
【详解】解：图中是含有角的直角三角尺，，
，，，故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）

A．50° B．40° C．35° D．45°
【答案】B
【分析】根据邻补角求出，利用角平分线求出，再根据平行线的性质求出的度数．
【详解】解：∵，∴
∵是的平分线，∴，
∵，∴，故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角，正确掌握平行线的性质是解题的关键．
2.（2023·湖南·统考中考真题）如图，直线直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出∠2的度数．
【详解】解：如图所示，
∵直线直线n，∴，∴∵，∴，
∵，∴，∴，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
◇典例18：（2023·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵
∴，，
∵，∴，
∴，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．

【答案】
【分析】根据两次转弯后方向不变得到，即可得到．
【详解】解：∵一条公路经两次转弯后，方向未变，
∴转弯前后两条道路平行，即，∴．故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，由题意得到是解题的关键．
2.（2023·山西太原·统考二模）利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将实际问题转化为方向角的问题即可解答．
【详解】解：如图，

，，，故选：B．
【点睛】本题考查方位角，解答此类题的关键是认清方位角，再结合三角形的内角与外角的关系求解．
◇典例19：（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知：如图，于点，于点，．

(1)求证：；(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据于点，于点可知，故，再由可得出，据此可得出结论．（2）根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）于点，于点，，，
，，．
（2），，，，
，．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是准确找出同位角，内错角，由此进行角度之间的代换．
◆变式训练
1．（2023·江苏扬州·校考二模）完成下面的证明：已知：如图，，，．求证：．
证明：（已知），
∴（　 　 ），
∴在中，（　 　 ），
∵（已知），
∴，
∵，
∴ = （ ），
∴（　 　 ）．
【答案】垂直定义；直角三角形的两个锐角互余(或三角形的内角和为；；； 等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】根据垂线的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，完成证明过程即可求解．
【详解】证明：（已知），∴（垂直定义），
∴在中，（直角三角形的两个锐角互余），
∵（已知），∴，
∵，∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直定义；直角三角形的两个锐角互余(或三角形的内角和为；；； 等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了垂线的定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
2．（2023·陕西西安·统考一模）如图，相交于点O，，延长到F，延长到E，，连接．求证．

【答案】见解析
【分析】根据等式的性质得出，再利用证明，再利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
【详解】证明：，，即，
，， ．．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用边角边证明两个三角形全等．
◇典例20：（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（ ）

A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线，
D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）
【答案】C
【分析】根据各选项的辅助线作法依次判断即可．
【详解】解：A．如图，∵，∴，
∵，∴，∴，故此选项不符合题意；

B．如图，∵，∴，
∵，∴，∴，故此选项不符合题意；
C．如图，由平分，平分，
没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，
∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意；

D．如图，延长交于点，∵，，，
∴，∴，，
∵，∴，∴，故此选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
◆变式训练
1．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线，根据平行线的性质，可得，根据三角板可知，进而等量代换结合已知条件即可求解．
【详解】解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线
∵a∥b，，，
，，，．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2023·江苏·统考一模）如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（　　）
A．42° B．43° C．44° D．45°
【答案】C
【分析】过点C作CNAB，过点E作EMAB，根据平行线的性质及角平分线的特点得到角度的数量关系56°＝∠BAC+2∠FDE，46°＝∠FDE+2∠BAC，从而求出∠FDE＝22°，可得到∠CDF的度数．
【详解】解：过点C作CNAB，过点E作EMAB，
∵FDAB，CNAB，EMAB，∴ABCNEMFD
∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．
∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC．
又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，
∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC
∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，46°＝∠FDE+2∠BAC②．
①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，∴∠BAC+∠FDE＝34°③．
①﹣③，得∠FDE＝22°．∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．故选：C．
【点睛】此题主要考查平行线间的角度求解，解题的关键是熟知平行线与角平分线的性质．
1．（2023·山东青岛·统考中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，
由图2可知：要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，
能看见的面数字之和为：；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：；
∴能看得到的面上数字之和最小为：，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．
2．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆锥体的立体图形判断即可．
【详解】用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形，故选：B．
【点睛】本题考查了截面图形的判断，具有一定的空间想象力是解答本题的关键．
3．（2023·江苏·统考中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵直尺的两边平行，∴，
又∵，∴，故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
4．（2023·湖南·中考真题）如图，直线被直线所截，已知，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，对顶角相等，计算即可．
【详解】如图，∵，∴，∵，∴，故选B．

【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握这些基本性质是解题的关键．
5．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可求，由，即可求解．
【详解】解：如图，

由题意得：，，，
，，，故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
6．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，直线，，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得的度数．
【详解】解：∵，，∴，
又∵，∴．故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键．
7．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边、分别交于点H、K，若，则等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行的性质可得，再根据四边形内角和为可得，问题随之得解．
【详解】∵，，∴，
∵，，，∴，
∵，∴，故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行的性质以及四边形内角和为，掌握四边形内角和为是解答本题的关键．
8．（2023·山东潍坊·统考中考真题）下列命题正确的是（ ）（多选题）
A．在一个三角形中至少有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
【答案】AB
【分析】根据三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、在一个三角形中至少有两个锐角，原命题正确，则此项符合题意；
B、在圆中，垂直于弦的直径平分弦，原命题正确，则此项符合题意；
C、设与互余，，，
∴如果两个角互余，那么它们的补角也互余，命题错误，则此项不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等，原命题错误，则此项不符合题意；故选：AB．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质，熟练掌握各定理和性质是解题关键．
9．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm．
【答案】4
【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4（cm），故答案为：4．
【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
10．（2022·江西·统考中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
【答案】
【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，∴根据勾股定理可知，长方形的对角线长：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是所拼成的正方形的特点确定长方形的长与宽．
11.（2023·山东烟台·统考中考真题）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，∴，
∵，，∴∴．故答案为：．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
1．（2023·广东·统考模拟预测）缓降机是火灾发生时避难的逃生设备，如图是厂商提供的缓降机安装示意图，图中呈现在三楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）．若某栋建筑的每个楼层高度皆为3公尺，则根据如图的安装方式在该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）为多少公尺？（ ）
A．21.7 B．22.6 C．24.7 D．25.6
【答案】A
【分析】根据题意，在八楼安装缓降机，绳长为落地架高度+七层楼高度-主机长度-绳端离地高度，列式计算出结果后对比选项进行选择。
【详解】解：该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长=（公尺），故选：
【点睛】本题考查线段的和差定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2.（2023·河北唐山·模拟预测）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
（4）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条；（5）垂直于同一条直线的两条直线互相垂直．
其中真命题有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】利用平行线的性质、点到直线的距离的定义等知识分别判断后即可确定真命题的个数，确定正确的选项．
【详解】解：（1）两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误；
（2）不相等的两个角也有可能是同位角，故原说法错误；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误；
（4）过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条；
（5）垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法正确，故正确的只有1个，故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、点到直线的距离的定义等知识，难度不大．
3．（2023·河北石家庄·考模拟预测）如图，有A，B，C三个地点，且，从A地测得B地的方位角是北偏东，那么从C地测B地的方位角是（　　）

A．北偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．南偏东
【答案】D
【分析】如图，建立方位图，根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出，即为从C地测B地的方位角.
【详解】解：如图，由题意可得，，∴，
∵，∴，即从C地测B地的方位角是南偏东；故选：D.

【点睛】本题考查了方位角、平行线的性质和直角三角形的性质，属于基础题目，正确理解题意、求出的度数是解题的关键.
4．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，(，)则下列结论不正确的是( )

A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】由余角的性质，得到，由，得到，因为，故和不平行，由，得到．
【详解】解： ＋＋，，故A正确；
，，故B正确；
，，
，，和不平行，故C错误；
，，
，，，故D正确．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
5．（2023·河北衡水·统考二模）在作业纸上，，点C在，之间，要得知两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行
C．I、II都可行 D．I、II都不可行
【答案】C
【分析】如图，延长交于，过作，而，，再利用平行线的性质可得答案，如图，延长交于，利用平行线的性质可得答案.
【详解】解：如图，延长交于，过作，而，∴，
∴，，∴，∴I可行，
如图，延长交于，∵，∴，∴II可行，故选C
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
6．（2023·河北保定·统考二模）已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下：

下列说法正确的是( )
A．小明的方法正确，小亮的方法不正确 B．小明的方法不正确，小亮的方法正确
C．小明、小亮的方法都正确 D．小明、小亮的方法都不正确
【答案】C
【分析】根据内错角相等两直线平行可知小明的方法正确，根据同位角相等两直线平行可知小亮的方法正确，由此得解．
【详解】解：小明的方法：设三角板的第三个顶点是F，

依题意得：，∴，即小明的方法正确；
小亮的方法：依题意，这是尺规作图—作相等的角，∴，
∴，即小亮的方法正确；∴小明、小亮的方法都正确，故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，尺规作图—作相等的角，掌握相关定理是解题的关键．
7．（2023·广东深圳·校考模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，则，由平行线的性质可得，，由此进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作，
，
，，，，
，，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．
8．（2022·山东淄博·模拟预测）图中的长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成的，那么其中第一部分所对应的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察长方体，可知第一部分所对应的几何体在长方体中，上面有两个正方体，下面有两个正方体，再在B、C选项中根据图形作出判断．
【详解】解：由长方体和第一部分所对应的几何体可知，
第一部分所对应的几何体上面有两个正方体，下面有两个正方体，并且与选项B相符．故选：B．
【点睛】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第一部分所对应的几何体的形状是解题的关键．
9．（2023·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图有11种情况：1 4 1型共6种，1 3 2型共3种，2 2 2型一种，3 3型一种，由此判定找出答案即可．
【详解】解：根据题意可得：补上后能够折成无盖的正方体容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6个，
故选：D．
【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是记住正方体展开图的类型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型．以及口诀“凹、田应弃之”．
10．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）已知点、、、在数轴上的位置如图所示，为的中点，若，点所对应的数为，则点所对应的数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出点A坐标，再求出点C坐标．
【详解】,B为m则A点坐标为：
B点与A点互为相反数，所以B点坐标为： 故选：D
【点睛】本题考查数轴上的点的位置和坐标，找到不同点之间是数量关系是本题关键．
11.（2023·黑龙江大庆·校考模拟预测）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，该几何体为圆锥，如图，则 ，，，在中，由勾股定理得，，则几何体的体积，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，该几何体为圆锥，如图，则，，，

在中，由勾股定理得，，
∴几何体的体积，故选：D．
【点睛】本题考查了根据圆锥的展开图求圆锥体积，勾股定理．解题的关键在于确定几何体的形状．
12．（2023·浙江温州·校考二模）如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使．

(1)求证：；(2)当时，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据平分得到，再由等量代换推出，根据内错角相等，两直线平行即可得证；
（2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵平分，∴，
又，∴，∴；
（2）解：∵，，，
在中，，，
又∵平分，∴，．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质与判定，灵活运用三角形内角和等于和平行线的判定和性质定理是解决问题的关键．
1．（2023·江西吉安·校考模拟预测）如图①所示的是一个正方体的表面展开图，将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻过第1格、第2格，到第3格时正方体朝上的一面上的字是（　　）

A．世 B．真 C．精 D．彩
【答案】B
【分析】根据正方体表面展开图的特征判断相对的面，再根据翻转得出答案．
【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“世”与“彩”相对，“界”与“真”相对，“杯”与“精”相对，
翻过第1格时，“世”在下面，“界”在右面，“杯”在前面，
翻过第2格时，“世”在后面，“界”在右面，“杯”在下面，
翻过第3格时，“界”在下面，因此“真”在上面，故选：B．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，利用了正方体的翻转，正方体中间相隔一个面的两个面是对面．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，如图1，它有五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，共七块板，可组成一个面积是1的大正方形．图2是一个用七巧板拼成的装饰图，将其放入矩形ABCD内，则矩形内空白处的面积是（ ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】设① 的直角边为，则各边长度如图所示，表示矩形的两边分别为：，，再利用割补法求解空白部分的面积即可．
【详解】解：设① 的直角边为，则各边长度如图所示，

由题意可得：，∴，
而矩形的两边分别为：，，
∴矩形内空白处的面积是，故选A
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，利用割补法求解图形的面积，理解题意，选择合适的解题方法是关键．
3．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．

（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
【答案】
【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可；
（2）过点作于点，证明，根据平行投影证明，根据，得出即可．
【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度，
∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为；故答案为：；
（2）过点作于点，如图所示：

则，∴，根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直，
∴，∴，∴，∴，
根据平行投影可知，当12点时，点在水平方向的投影为点E，经过n小时后，的投影在上，因此，∵， ∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移投影的有关知识，解题的关键是数形结合，发挥空间想象能力，根据平行投影得出．
4．（2023·广东深圳·校考模拟预测）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，两块三角尺有一组边平行．
【答案】3或或或
【分析】分五种情况：当时，当时，当时，当时，当时，利用平行线的性质，分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，，，
如图，当时，，
， ，，
，，
，，，解得：；
如图，当时，
，，，
，解得：；
如图，当时，则，
，，，解得：；
如图，当时，则，
， ，
，，
，解得：；
如图，当时，则，
，，解得：，
当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，
，故不符合题意；
综上所述：或或或秒时，两块三角尺有一组边平行，
故答案为：3或或或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、旋转的性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
5．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，M是线段AB上一定点，，C，D两点分别从点M，B出发以，的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）．
（1）当点C，D运动了时，求的值．
（2）若点C，D运时，总有，则_______．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且，求的值．
【答案】（1）6cm；（2）4；（3）或1
【分析】（1）由题意得CM=2cm，BD=4cm，根据AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD可得答案；
（2）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=AB；
（3）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得．
【详解】解：（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=4cm
∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，∴AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）；
（2）根据C、D的运动速度知：BD=2MC，∵MD=2AC，∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，
∵AM+BM=AB，∴AM+2AM=AB，∴AM=AB=4，故答案为：4；
（3）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN-BN=MN，又∵AN-AM=MN，∴BN=AM=4，∴MN=AB-AM-BN=12-4-4=4，∴；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN-BN=MN，又∵AN-BN=AB，∴MN=AB=12，∴，
综上：的值为或1．
【点睛】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
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第四章 三角形及四边形
第一节 几何图形初步、相交线与平行线
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 认识几何图形 ☆ 本专题内容是初中几何的基础，在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，大部分地区在选择、填空题中考察可能性较大，主要考查平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待。
考点2直线、射线、线段的相关概念 ☆
考点3 角的相关概念 ☆☆
考点4 相交线 ☆☆
考点5 平行线的性质与判定 ☆☆☆
■考点一　认识几何图形
1.几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形。
2.立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形。
3.平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形。
4．正方体的展开图（共计11种）：
5.几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形；2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线；3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面；4）体：几何体简称体。
6.组成几何图形元素的关系：点动成 ，线动成 ，面动成 。
7.拓展：欧拉公式：V+F-E=2，（其中：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E））。
■考点二　直线、射线、线段的相关概念
1.直线的性质：（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）基本事实：经过两点有且只有 。
2.线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫 。
3.线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC= ；AB=2AC=2BC。
■考点三　角的相关概念
1.角：有公共端点的两条射线组成的图形。
2.角平分线定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线。
性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC = ，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC。
3.度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°。
4.余角和补角及其性质
1） 余角：∠1＋∠2＝90° ∠1与∠2互为 ；2）补角：∠1＋∠2＝180° ∠1与∠2互为 。
3）性质：同角（或等角）的余角 ；同角（或等角）的补角 。
■考点四　相交线
1.两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系： 。
2.垂直定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直。
3.垂直的性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线 ；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段 。
4.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这 。
5.三线八角：直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．其中∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是 ；∠2和∠8，∠3和∠5是 ；∠5和∠2，∠3和∠8是 。
6．对顶角：1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。2）性质：对顶角 。
■考点五　平行线的性质与判定
1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 。
3.平行线的判定
（1） ，两直线平行．（2） ，两直线平行．（3） ，两直线平行．
（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5） 于同一直线的两直线互相平行（同一平面内）。
4.平行线的性质
（1）两直线平行， ．（2）两直线平行， ．（3）两直线平行， 。
5.平行线间的距离
1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这 。
2）性质：两平行线间的距离处处 ，夹在两平行线间的平行线段 。
6.除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：
做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
■易错提示
1. 一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件：1）射线必须在角的内部；2）它把这个角分成两个相等的角；
2. 互为余角、补角是两个角之间的关系,只与角的度数有关，与角的位置无关；
3. 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
4. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件；
5. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的。
■考点一　认识几何图形
◇典例1：（2023·四川乐山·统考中考真题）下面几何体中，是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·江苏镇江·校联考一模）不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型并描述它的特征．小乐：它有4个面是三角形；小欣：它有6条棱．则该几何体模型的形状可能是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
◇典例2：（2023·湖南益阳·统考中考真题）下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·山东·统考中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
2.（2023·湖北宜昌·统考中考真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）．

A．文 B．明 C．典 D．范
◇典例3：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·江苏无锡·校考三模）一块直角边分别为6和8的三角形木板，绕长度为8的边旋转一周，则斜边扫过的面积是（　　）
A．45 B． C．60 D．
2.（2023·河南信阳·二模）妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水面的形状不可能是（ ）
A．三角形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆
◇典例5：（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．

◆变式训练
1．（2023·广东深圳·校考三模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边上，三角形①的边在边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：___________________．
◆变式训练
1．（2023·贵州铜仁·统考三模）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．
(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______．
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 m 6 12
正八面体 n 8 12
正十二面体 20 12 30
(2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．
(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．
■考点二　直线、射线、线段的相关概念
◇典例7：（2023·河北石家庄·校考模拟预测）如图，若射线与线段有一个公共点，则射线可能经过的点是（　　）

A．点D B．点E C．点Q D．点M
◆变式训练
1. （2023·河北保定·保定市第十七中学校考三模）如图，直线，和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是（ ）

A．① B．② C．③ D．④或⑤
◇典例8：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
◆变式训练
1. （2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
2.（2023·浙江杭州·模拟预测）下面说法正确的是（ ）
A．两点间的连线的长度，叫做两点间的距离 B．连结两点的线段，叫做两点间的距离
C．两点间的距离就是两点间的路程 D．两点间的距离是连结两点的线段的长度
◇典例9：（2023·黑龙江大庆·统考一模）哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有 种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同）
◆变式训练
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）2条直线最多有个交点，3条直线最多有个交点，按照规律依此类推，2023条直线最多有个交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽蚌埠·校考二模）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
◇典例10：（2023·河北沧州·校考模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对
◆变式训练
1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，某同学用直尺画数轴．数轴上点A、分别在直尺的，处，若点A对应，直尺的0刻度位置对应，则线段中点对应的数为（ ）

A．4 B．5 C．8 D．12
2.（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
■考点三　角的相关概念
◇典例11：（2023·山东临沂·统考中考真题）下图中用量角器测得的度数是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·湖北恩施·校考模拟预测）用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2. （2023·河北·统考中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向
3.（2023·浙江宁波·校考一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
◇典例12：（2023·广东河源·三模）任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于 ．
◆变式训练
1.（2023·广东佛山·统考三模）已知，与互为余角，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西咸阳·校考三模）若，则补角的大小是( )
A． B． C． D．
3.（2023·北京大兴·统考一模）已知，，，四点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C．比大 D．与互补
4.（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．

■考点四　相交线
◇典例13：（2023·河南·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·青海·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·河南周口·校考模拟预测）如图，直线相交于点，若，则（ ）

A． B． C． D．
◇典例14：（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三角形中，，，垂足为D，则下列说法不正确的是（ ）

A．线段的长是点A到的距离 B．线段的长是点C到的距离
C．线段的长是点B到的距离 D．线段的长是点B到的距离
◆变式训练
1.（2023·吉林长春·模拟预测）长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小致同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小致这样走的数学依据 ．

2.（2023·浙江杭州·校联考三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且，其中，则点P到直线l的距离可能是（　　）

A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5
◇典例15：（2023·山东淄博·统考一模）有以下命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等．其中假命题的是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
◆变式训练
1．（2022·河北石家庄·考模拟预测）如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2.（2023·四川宜宾·模拟预测）有下列说法：对顶角相等；同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线的距离即为垂线段；同旁内角互补，两直线平行其中正确的有 ．
◇典例16：（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，直线l1，l2被直线l3所截，则（　　）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是内错角 C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是内错角
◆变式训练
1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，与的位置关系是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
■考点五　平行线的性质与判定
◇典例17：（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）

A．50° B．40° C．35° D．45°
2.（2023·湖南·统考中考真题）如图，直线直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
◇典例18：（2023·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．

2.（2023·山西太原·统考二模）利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（ ）

A． B． C． D．
◇典例19：（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知：如图，于点，于点，．

(1)求证：；(2)若，，求的度数．
◆变式训练
1．（2023·江苏扬州·校考二模）完成下面的证明：已知：如图，，，．求证：．
证明：（已知），
∴（　 　 ），
∴在中，（　 　 ），
∵（已知），
∴，
∵，
∴ = （ ），
∴（　 　 ）．
2．（2023·陕西西安·统考一模）如图，相交于点O，，延长到F，延长到E，，连接．求证．

◇典例20：（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（ ）

A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线，
D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）
◆变式训练
1．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏·统考一模）如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（　　）
A．42° B．43° C．44° D．45°
1．（2023·山东青岛·统考中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）

A．31 B．32 C．33 D．34
2．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏·统考中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．

3题 4题
4．（2023·湖南·中考真题）如图，直线被直线所截，已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
6．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．

6题 7题
7．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边、分别交于点H、K，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
8．（2023·山东潍坊·统考中考真题）下列命题正确的是（ ）（多选题）
A．在一个三角形中至少有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
9．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm．
10．（2022·江西·统考中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
11.（2023·山东烟台·统考中考真题）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为 ．

1．（2023·广东·统考模拟预测）缓降机是火灾发生时避难的逃生设备，如图是厂商提供的缓降机安装示意图，图中呈现在三楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）．若某栋建筑的每个楼层高度皆为3公尺，则根据如图的安装方式在该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）为多少公尺？（ ）
A．21.7 B．22.6 C．24.7 D．25.6
2.（2023·河北唐山·模拟预测）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
（4）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条；（5）垂直于同一条直线的两条直线互相垂直．
其中真命题有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2023·河北石家庄·考模拟预测）如图，有A，B，C三个地点，且，从A地测得B地的方位角是北偏东，那么从C地测B地的方位角是（　　）

A．北偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．南偏东
4．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，(，)则下列结论不正确的是( )

A． B． C．若，则 D．若，则
5．（2023·河北衡水·统考二模）在作业纸上，，点C在，之间，要得知两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行
6．（2023·河北保定·统考二模）已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下：

下列说法正确的是( )
A．小明的方法正确，小亮的方法不正确 B．小明的方法不正确，小亮的方法正确
C．小明、小亮的方法都正确 D．小明、小亮的方法都不正确
7．（2023·广东深圳·校考模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·山东淄博·模拟预测）图中的长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成的，那么其中第一部分所对应的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）已知点、、、在数轴上的位置如图所示，为的中点，若，点所对应的数为，则点所对应的数是( )
A． B． C． D．
11.（2023·黑龙江大庆·校考模拟预测）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．
12．（2023·浙江温州·校考二模）如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使．

(1)求证：；(2)当时，求的度数．
1．（2023·江西吉安·校考模拟预测）如图①所示的是一个正方体的表面展开图，将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻过第1格、第2格，到第3格时正方体朝上的一面上的字是（　　）

A．世 B．真 C．精 D．彩
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，如图1，它有五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，共七块板，可组成一个面积是1的大正方形．图2是一个用七巧板拼成的装饰图，将其放入矩形ABCD内，则矩形内空白处的面积是（ ）

A． B． C． D．1
3．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．

（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
4．（2023·广东深圳·校考模拟预测）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，两块三角尺有一组边平行．
5．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，M是线段AB上一定点，，C，D两点分别从点M，B出发以，的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）．
（1）当点C，D运动了时，求的值．（2）若点C，D运动时，总有，则_______．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且，求的值．
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