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2023-2024学年数学九年级上册人教版圆压轴题经典题型
1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是 的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积.
2．如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC = EB .
（1）求证：△CEB∽△CBD ；
（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE的长.
3．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
4．如图1，△ABC是⊙O内接三角形将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，其中点D在圆上，点E在线段AC上．
（1）求证：DE=DC；
（2）如图2，过点B作BF∥CD分别交AC、AD于点M、N，交⊙O于点F，连结AF．求证：AN·DE=AF·BM：
（3）在(2)的条件下，若时，求的值．
5． 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“美丽角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5，的“美丽角”为90°，当时，求CE的长．
6．已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E.
（1）求证：∠D＝∠ABC；
（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积.
7．已知：的两条弦，相交于点M，且.
（1）如图1，连接.求证：.
（2）如图2，若，点E为弧上一点，，交于点F，连接、.
①求的度数(用含的代数式表示).
②若，，求的面积.
8．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点．经过A，B，D的⊙O交AC于E点．
（1）求AE的长．
（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．
①求y关于x的表达式．
②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．
（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．
9．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，．
（1）求证：平分；
（2）过点O作于点E，交于点P．若，，求的长．
10．已知内接于，点F是弧AC的中点，连接OF交AC于点H．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，AD是的高，延长AD交于点K，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FO交BD于点E，连接EK，点M在CH上，连接OM．若，求HF的长．
11．在中，弦交于点，连接于点.
（1）求证：；
（2）为弦BC中点，过点作，连接HF，并延长HF交AC于，求证：；
（3）在(2 )的条件下，若，求的直径。
12．如图，点、、都在上，过点作交延长线于点，连接、，且，cm．
（1）求证：是的切线；
（2）求的半径长；
（3）求由弦、与弧所围成的阴影部分的面积．
13．如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F.
（1）求证：是等腰三角形.
（2）若.
①求证：.
②若的半径为5，，求的值.
14．如图1，C、D是以为直径的上的点，且满足，点P在上，交于点M，交于点G，交于点N，交于点H.
（1）求的度数.
（2）如图2，当点P是的中点时，
①求证：是等腰三角形.
②求的值.
（3）如图1，设，与的面积差为y，求y关于x的函数表达式.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴ ＝ ，
∵E是 的中点，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，即 ＝ ，
∴AE＝DE.
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝ ∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝ DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝ DE，
∴DE＝ +1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝ DE2＝ + .
2．【答案】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD
∴BC=BD
∴∠CDB=∠DCB
∵CE=EB
∴∠DCB=∠ECB
∴∠CBE=∠CDB
∵∠ECB=∠BCD
∴△CEB∽△CBD
（2）解：由（1）知△CEB∽△CBD
∴
∴CB =CE·CD
∵CE=3，CB=5
∴CD=
∴DE=
3．【答案】（1）证明：连结DO．
∵AD∥OC， ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中 ∵OD=OB，OC=OC， ∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO=90°， ∴∠CDO=90°，
又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠EDO=90°，
∴ED2+OD2=OE2， ∴32+R2=（R+1）2， 解得R=4， ∴⊙O的半径为4．
4．【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A逆时针转至△AED
∴BC=DE，∠BAC=∠EAD
∴
所以BC=CD
∴DE=CD
（2）解：∵∠F=∠ACB
∠AMF=∠BMC
∴△AMF∽△BMC
∴
由题间可知
BC=DE
AC=AD
∵BF∥CD
∴
∴AM=AN
∴
即AN·DE=AF·BM
（3）解：设AB为a，则AC为3a
由△CDE∽△CAD可得，
即CD2=3a·2a=6a2
∵CD>0
∴CD=a
∵AC=AD
∴
∵BF∥CD
∴
∴
∴AB=AF
∴∠ABF=∠AFB=∠ACB
∴△ABM∽△ACB
∴
即
∴AM=a
BM=a
根据据对称轴可知FN=a
由△AMN∽△ACD可得
∴
即
∴MN=
∴BF=BM+MN+FN=a
∴
5．【答案】（1）解：∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“美丽角”；
（2）解：∵的度数为α，
∴∠CED＝α．
∵CE⊥AB，
∠APE＝90°-∠CED＝90°-α．
∠BPD＝∠APE，
∠APC＝∠BPD，
∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD＝α．
∵∠CPD是的“美丽角”．
∴的“美丽角”＝α；
（3）解：如图，连接OC，OD，
∵的“美丽角”为90°，
∴∠APC＝∠BPD＝45°
∴APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直径AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CD＝OC＝5；
∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
设PC＝PE＝x，
则PD＝DE-PE＝7-x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
∴x2+（7-x）2＝（5）2，
解得：x＝3或x＝4，
∴PC＝PE＝3或4，
∴CE＝PC＝6或8．
6．【答案】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠A+∠ABC＝90°
∵DO⊥AB，
∴∠A+∠D＝90°
∴∠D＝∠ABC.
（2）解：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCE，
∴∠OCE＝∠D.
而∠COE＝∠COD，
∴△OCE∽△ODC，
∴ ＝ ，即 ＝
∴y＝ （0＜x＜3）.
（3）解：设∠B＝a，则∠BCO＝a，
∵OE＝CE，
∴∠EOC＝∠BCO＝a
在△BCO中，a+a+90°+a＝180°，
∴a＝30°
∴S＝ ﹣ ﹣ ×32＝ ﹣ π.
7．【答案】（1）证明：如图1，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①.
理由如下：
连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
∴.
8．【答案】（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，
∴AC＝2AB，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+122＝（2AB）2，
∴AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝6，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABC＝180°，
∵∠AED+∠CED＝180°，
∴∠CED＝∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴DE＝CD＝3，
在Rt△CDE中，CE＝＝＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝8﹣3＝5；
（2）解：①∵当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B，
∴＝，
∵AP＝x，BQ＝y，AE＝5，BC＝12，
∴CQ＝BC﹣BQ＝12﹣y，
即＝，
∴12x＝5（12﹣y），
即y＝﹣x+12，
∴y关于x的表达式为y＝﹣x+12．
②如图1，过点P作PH⊥BC于H，
则PH＝PC＝（8﹣x），CQ＝BC﹣BQ＝12﹣（﹣x+12）＝x，
∴S△PQC＝CQ PH＝×x×（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+，
∵＜0，
∴当x＝4时，S△PQC有最大值；
（3）解：当EF＝BD时，如图2，
由（1）知：∠DEC＝90°，DE＝3，
∵EF＝BD＝6，
∴＝，
∴∠EBF＝∠BED，
∴BF∥DE，
∴∠BPC＝∠DEC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴BP＝BC＝×12＝6，
∴CP＝＝＝6，
∴EP＝CP﹣CE＝6﹣3＝3，
在Rt△EFP中，∠F＝∠A＝60°，
∴∠FEP＝30°，
∴PF＝EF＝×6＝3，
∴BF＝BP+PF＝6+3＝9，
∴S四边形BDEF＝×（DE+BF） EP＝×（3+9）×3＝18；
当EF＝BE时，如图3，过点E作EG⊥BC于G，连接EO交BF于H，连接OB，OF，
在Rt△CEG中，EG＝CE＝×3＝，
在Rt△DEG中，∠DEG＝90°﹣60°＝30°，
∴DG＝DE＝，
∴BG＝BD+DG＝6+＝，
在Rt△BEG中，BE＝＝＝3，
∵∠F＝∠A＝60°，EF＝BE，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OF，BE＝EF，
∴EH垂直平分BF，
∴EH＝＝＝，
∴S四边形BDEF＝S△BEF+S△BDE＝×3×+×6×＝；
当EF＝DE时，如图4，过点E作EG⊥BC于G，EK⊥BF于K，
∵EF＝DE＝3，
∴＝，
∴∠EBG＝∠EBF，
∵EG⊥BC，EK⊥BF，
∴EK＝EG＝，BK＝BG＝，
∵∠F＝∠A＝60°，∠EKF＝90°，
∴∠FEK＝30°，
∴FK＝EF＝×3＝，
∴BF＝BK+FK＝+＝9，
∴S四边形BDEF＝S△BEF+S△BDE＝×9×+×6×＝；
综上所述，四边形BDEF的面积为18或或．
9．【答案】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C，
∵AB∥OC，
∴∠C＝∠BAC，
∴∠OAC＝∠BAC，
∴AC平分∠OAB；
（2）解：∵OE⊥AB，O为圆心，
∴AE AB ，
在Rt△AOE中，∠AOE＝30°，∠AEO＝90°，
∴∠OAE＝60°，
由（1）得，AC平分∠OAB，
∴∠EAP ∠OAE＝30°，
在Rt△APE中，∠EAP＝30°，
∴PE＝
10．【答案】（1）解：连接AO、CO
弧弧 所以
因为，所以
（2）解：
设，则 易证
连接KC
弧弧 故
所以，所以
（3）解：过点O分别作，，连接AO并延长交DC于点P
易证，所以
导角 易证
设
则
，解得
易得 易得
故，易得
所以
所以 所以
解可得 易得
解得
解可得
所以
11．【答案】（1）证明：∵∠DAB=∠DCB，∠ACB-∠ABC=2∠DAB，
∴∠ACB-∠ABC=2∠DCB，
∴∠ACB-∠DCB=∠ABC+∠DCB=∠AEC，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠EAC+∠ACE+∠AEC=180°，
∴∠EAC+2∠AEC=180°，
∵DH⊥AB，
∴∠DHE=90°，
∴∠DEH+∠EDH=90°，
∴2∠DEH+2∠EDH=180°，
∵∠AEC=∠DEH，
∴2∠AEC+2∠EDH=180°，
∴∠EAC=2∠EDH，即∠BAC=2∠EDH；
（2）如图，过点B作BK⊥DC于点K，连接KM、HK、BD，
∵BK⊥CD，
∴∠BKC=90°，
∵M为BC的中点，
∴MK=BC=BM=MC，
∵∠DBA=∠DCA，∠DEB=∠AEC=∠ACE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴BD=DE，
∵DH⊥AB，
∴BH=EH，
在Rt△BEK中，HK= BE=HB=EH，
∴∠HKE=∠HEK，
∴∠HKF=∠GCF，
∵MF⊥DC，MK=MC，
∴FK=CF，
在△HFK和△GFC中，
∴△HFK≌△GFC（ASA），
∴FH=FG；
（3）如图，过点G作GP//AB交DC于点P，连接EM，
∵GP//AB，
∴∠EHF=∠PGF，
∵FH=FG，∠EFH=∠PFG，
∴△FHE≌△FGP（ASA），
∴EF=PF=EP，
∵△HFK≌△GFC，
∴HK=CG，
∵HK=HB=HE，
∴CG=HB=HE，
∵3AG=2BH，
∴，
∵GP//AE，
∴，
∵EF=PF，
∴EF=EC，
∵EF=2，
∴EC=10，
∵BC=2CE，MB=MC，
∴MC=MB=CE=10，
∴∠CEM=∠CME，
过点E作EQ⊥BC于点Q，
∵EQ⊥BC，
∴∠EQC=∠EQB=∠MFE=90°，
∵EM=ME，
∴△EFM≌△MQE（AAS），
∴MQ=EF=2，
∴CF=CQ=10-2=8，
在Rt△MFC中，由勾股定理得：FM2+FC2=MC2，
即FM2+82=102，
解得：FM=6（负值已舍去），
∴EQ=6，
∴tan∠ECQ=，
∵BQ=BM+MQ=10+2=12，
∴tan∠EBQ=，
∴BE=，
取EC的中点T，连接AT，过点C作CR⊥AB于点R，
∵∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC，
∵TE=TC，
∴AT⊥DC，∠EAT=∠CAT，
∵tan∠CBR=，BC=20，
∴BR=2CR，
由勾股定理得：CR=，
解得：CR=4，
∴BR=8 ，
∴ER=BR-BE=，
∴tan∠REC=，
∴tan∠EAT=tan∠CAT=，
∵tan∠ADC=tan∠ABC==，
∴tan∠CAT=tan∠ADC=，
设AT=2k，
∴DT=2AT=4k，TC=k，
∴DC=5k，
∵tan∠CAT=tan∠ADC，
∴∠CAT=∠ADC，
∵∠CAT+∠ACD=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=90°，
∴DC为直径，
∵EC=10，
∴ET=CT=5，
∵DC=5TC，
∴DC=25，
∴⊙O的直径为25．
12．【答案】（1）证明：设OC、BD相交于点E
∵∠CDB＝∠OBD＝30°，
∴∠BOE＝60°
∵∠OBD＝30°
∴∠BEO＝90°
即OE⊥BD
又∵AC∥BD
∴OC⊥AC
∵OC是⊙O的半径
∴AC为⊙O切线．
（2）解：在△OBE中，∠BEO＝90°，，∠OBE＝30
∴
∴
解得R＝6
即⊙O的半径长为6cm
（3）解：在△CDE和△OBE中
∴△CDE≌△OBE（ASA）
∴
13．【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②连接交于G，
∵，
∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，
∴且，
∵，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
14．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
（2）解：①∵P是的中点，是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
②∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴.
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴.

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