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第19届 “希望杯”初中试题刍议
2008年第19届全国“希望杯”数学邀请赛已经落下了帷幕。作为数学爱好者总要回味今年的试题.，交流学习试题的体验。 “希望杯”初中试题的内容那样的基本，粗看平淡无奇，细品则另有醇美的风味.
比如，初一1试题4. 正方形内有一点A，到各边的距离分别为1，2，5，6，则正方形面积为（ ）
（A）33 （B）36 （C）48 （D）49
答案：选（D）.
由于A在正方形内，所以A到两组对边的距离之和相等，由于只有1+6=2+5，于是，正方形的边长只能为7，故面积是72=49（平方单位）.
题目的设置将正方形的边长为7，以条件“正方形内有一点A，到各边的距离分别为1，2，5，6”，将其巧妙地隐藏起来，等待解题者去发见。接着又在初一2试中，进一步升华为试题9.
平行四边形内一点到四条边的距离分别是1，2，3，4，那么，这样的平行四边形的面积最小是（ ）.
（A）21 （B） 22 （C） 24 （D） 25.
答案：选（A）.
如1图所设，和是平行四边形的两条边长，
和是平行四边形的两条高，则 面积.
从1，2，3，4共有3组组合可作为为和，
其中 时，最小.
本题巧妙地利用斜边大于直角边解决了最小值的问题. 拓广了前一个试题的内涵，足见命题者匠心独运.
对综合性的大题仔细品味，试题有如下特点.
一、题型基本，知识基本，技能基本，寓以新意有发展
例1. 如图2，A和B两个小机器人，自甲处同时出发相背而行，绕直径为整数米的圆周上运动，15分钟内相遇7次，如果A的速度每分钟增加6米，则A和B在15分钟内相遇9次，问圆周直径至多是多少米？至少是多少米？（取）
分析：行程中的相遇问题，从小学开始就是重要的应用题型，属基本题型。其中路程、时间与速度的关系是基本知识。解决本
题的关键在于基本技能的综合运用。
由于圆的直径为，则圆周长为。设A和B的速度和是每分钟米， 一次相遇所用的时间为分；他们15分钟内相遇7次，用数学语言可以描述为
①
如果A的速度每分钟增加6米，A加速后的两个机器人的速度和是每分钟米，则A和B在15分钟内相遇9次，用数学语言可以描述为
②
本题不是列方程，而是列不等式来描述题设的数量关系，这对一般学生可能比较生疏，体现了基本技能的灵活性。
　　由①，得由②，得，
　　上面两式相加，则有
，
.
已知“圆的直径为整数米”，所以，圆周直径至多是28米，至少是10米。
将行程问题与不等式的整数解联系起来，使行程问题的老题型有了新意，运算与表达难度对初一学生适中，可以综合考察学生的数学素养与数学能力。
二、问题不难，思路不难，解法不难，深层联系须挖掘
我们着重分析初二2试的第22题的来龙去脉.
杠杆在直角坐标轴上滑动，是非常典型的题型，对研究轨迹，函数、极值、导数都有重要意义.从小学到大学，都属常见的基本题型.比如：
1. 图3中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动。开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距
O点15厘米。问： 当滑块A向下滑到O点时，滑
块B 滑动了多少厘米？（第十届华杯赛口试题22）
【答】滑块B滑动了10厘米。
【理由】由
，
可知连杆的长度等于25厘米。当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是25厘米，故滑块B滑动了25 -15 =10厘米.
2.“给定直角XOY，一条定长（记为）的线段AB两端在角的两边上滑动，求AB中点P的轨迹.（轨迹是以O为中心，为半径的圆被定直角XOY截出的四分之一圆弧，解略）
把定长线段变为一个直角三角形的斜边，可得
3.“在直角坐标系中，满足，
点A，B分别在轴、轴上，当A点从原点开
始在正轴上运动时，点B随着在正轴上运动（图 4）
.求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形
应满足什么条件？”（OC的最大值是10，当A点重合于O时可达到）
如果求的线段的一端C不是直角的顶点，比如将直角板翻过来放，将C放在轴上，求原点O到点B的距离OB的最大值，就改编成了19届初二2试的第22题. 并且有意识地安排成了3问的阶梯型，启发作题的思维过程.
例2. 在直角坐标系中，满足，点A，C分别在轴、轴上，当A点从原点开始在正轴上运动时，点C随着在正轴上运动.
（1）当A在原点时，求原点O到点B的距离OB；
（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；
（3）求原点O到点B的距离OB的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？
解答分析：（1）当A点在坐标原点时，如图5，
AC在轴上，轴，
所以
目的是从特殊情况理解题意，考察勾股定理的
基本应用与计算.
（2）当时，如图6，是等腰直角三
角形，AC = 2.，所以 ，
过点B作于E，过点C作且CD
与BE交于点D，则
又BC=1，
所以
因此
本问就当时，求原点O到点B的距离OB.为求“原点O到点B的距离OB的最大值” 是个方法性的提示. 那么如何找这
个最大值呢？一般地我们也可以通过如下的代数的途
径求得这个极值.
解: 如图7所示，设过C作，
由于所以
由可以得B点的坐标
为.则

当时，所以
这种解法所用的三角函数，显然超出了初二的知识范围，我们写出来是为了给大家参考.有没有可供初二学生接受的直观的妙着呢？有的！请看：
（3）如图8，取AC的中点E，连结OE，BE. 在Rt中，OE是斜边AC上的中线，所以
在中，BC=1，
所以
若点不在一条直线上，则
若点在一条直线上，
则
所以当点在一条直线上时，OB取到最大值，
最大值是
当在一条直线上时，OB取到最大值时，
AC与轴的夹角 从图9可见，OE=1，
，但CE=OE=1，
.与三角法计算的结果是一致的.
这里，巧妙地利用了线段的基本性质：两点间线段最短.一般地说，线段基本性质常用来求最小值。即线段AB长为定值时，AC+BC的最小值为AB，此时C在AB上.这是线段基本性质的一种应用；而另一种应用往往为人们所忽视：如果两条线段AC和CB在C点接在一起，AC = m与CB = n都是定长；那么
AC+BC的最大值为m + n，此时C、A、B三点共线. 例2的第（3）问就是应用了这一性质.
三、课外知识以简单的整数整除、组合计数为主，重在知识的灵活运用.
“希望杯”作为中学生的数学竞赛，毕竟不是中考.总要有一些机智灵巧的问题，考察学生的数学素质与数学意识. 其中以简单的整除知识、最基本的组合知识为首选内容.
例3. 已知是正整数.
（1）若与的末位数字相同，求的最小值；
（2）若与的末两位数字都相同，求的最小值。
这是初二2试第23题.
解（1）若与的末位数字相同，必须且只须是10的倍数，即是10的倍数.又 所以是10的倍数，即只需的末位数字是1. 显然34 = 81满足条件，所以的最小值是4.
取则此时最小，其最小值等于6.
（2）若与的末两位数字都相同，必须且只需是100的倍数.
即是100的倍数. 又所以是100的倍数，即只需的末两位数字是01.
由于的末位数字是1，所以一定是4的倍数.令（是正整数）所以
的末两位数字是01.
经试算可知：811 末两位数字是81；812 末两位数字是61；813 末两位数字是41；814 末两位数字是21；815 末两位数字是01；……，当=5时，的末两位数字是01.所以当=5时，取得最小值是20，也就是的最小值是20.
例3的命题思路源于1978年第20届IMO的试题1：“与的最后三位数相等，试求使最小的正整数这里” ，是这道IMO试题的简化。会解例3的同学，已经为解决这类竞赛试题作了知识与思路的必要的准备.
例4. 某校组织了20次天文观测活动，每次有5名学生参加，任何2名学生都至多同时参加过一次观测．证明：参加过这些观测活动的学生数不少于21名.
这是初一2试第23题.
　　证明：设参加观测活动次数最多的学生A参加了a次观测，共有x名学生参加过这些观测活动．
　　由于有A参加的每次观测活动中，除了A，其他学生各不相同（这是因为任何2名学生都至多同时参加过一次观测），故
x≥． （I）
　　另一方面，学生A参加观测的次数不小于每名学生平均观测次数．即
a≥． （II）
　　综合（I）、（II），得x≥，≥0．即.
　　因是相邻两个自然数的乘积，经试算可得 x≥21．
　　即参加过这些观测活动的学生数不少于21人．
例3和例4，都有推理计算或论证.这是数学素养的基本要求.
第19届整个初中两个年级的“希望杯”试题，注重“双基”，体现对数学教学的总体要求：现实是源泉，兴趣引入门，思维是核心，证明是灵魂.总体说来基本体现了希望杯命题的原则：贴近现行的中学教材；试题活而不难，巧而不偏.富于启发性，试题既大众化，又富有启发性. 试题总体体现了时代性，适应了时代的要求.
以上简单例析，难免挂一漏万，只是应编辑部之邀发表的一点个人体会.
仅供大家参考.

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