资源简介

（初中数学部分）
第一部分 解题技能竞赛大纲
第二部分 解题技能竞赛试题样题
第三部分 数学建模论文示范论文
首届全国中学生数理化学科能力竞赛
数学学科笔试部分竞赛大纲（2008年试验稿）

为了提高广大青少年走进科学、热爱科学的兴趣，培养和发现创新型人才，团中央中国青少年发展服务中心、全国“青少年走进科学世界”科普活动指导委员会办公室共同举办首届“全国中学生数理化学科能力竞赛”（以下简称“竞赛”）。竞赛由北京师范大学《高中数理化》杂志社承办。为保证竞赛活动公平、公正、有序地进行，现将数学学科笔试部分竞赛大纲颁布如下：
1　命题指导思想和要求
根据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，着重考查学生的基础知识、基本能力、科学素养和运用所学知识分析问题、解决问题力及创新能力。命题吸收各地高考和中考的成功经验，以能力测试为主导，体现新课程标准对能力的要求，注意数学知识中蕴涵的丰富的思维素材，强调知识点间的内在联系；注重考查数学的通法通则，注重考查数学思想和方法。激发学生学科学的兴趣，培养实事求是的科学态度和创新能力，促进新课程标准提出的“知识与技能”、“过程与方法”、“情感与价值观”三维目标的落实。总体难度把握上，要追求“源于教材，高于教材，略高于高考”的原则。并提出以下三个层面上的命题要求：
1）从宏观上看：注意对知识点和能力点的全面考查，注意对数学基本能力（空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力）的考查，注意对数学思想和方法方面的考查，注意考查通则通法。
2）从中观上看：注意各个主要知识块的重点考查，注意对主要数学思维方法的考查。
3）从微观上看：注意每个题目的基础性（知识点）、技能性（能力点）、能力性（五大基本能力为主）和思想性（四种思想为主），注意考查大的知识块中的重点内容（如：代数中的函数的单调性、奇偶性、周期性），注意从各个知识点之间的交汇命题，注意每个题目的通则通法使用的同时也适度引进必要的特技，注意题目编拟中一些题目的结构特征对思路形成的影响。
2　命题范围
依据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，初赛和决赛所考查的知识点范围，不超出相关年级在相应的时间段内的普遍教学进度。另外要明确初二年级以上开始，每个年级的命题范围包含下年级的所有的内容。比如：高一的命题范围包括初中所有内容和高中阶段所学的内容。
3　考试形式
初一、初二、初三、高一、高二组：闭卷，笔答。考试时间为120分钟，试卷满分为120分。
4　试卷结构
全卷选择题6题，非选择题9题（填空6题、解答题3题）
5　难度系数
1）初赛试卷的难度系数控制在0.6左右；
2）决赛试卷的难度系数控制在0.5左右。
初中一年级样题
选择题（每小题5分，共30分）
1、若，，那么的值有( )个 【C】
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
2、若表示一个整数，则整数x可取值共有( ).【D】
（A）3个 （B） 4个 （C） 5个 （D） 6个
3、如果代数式4y2－2y+5的值为7，则代数式2y2－y+1的值等于（ ）【A】
（A）2 （B）3 （C）-2 （D）4
4、已知与之和的补角等于与之差的余角，则＝（　）【C】
（A）750　（B）600　　（C）450　　（D）300　
5、如右图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（ ）【D】
（A）△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
（B）△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
（C）△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
（D）△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
6、观察这一列数：，, , ,，依此规律下一个数是（ ）【D】
（A） （B） （C） （D）
填空题（每小题5分，共30分）
7、已知，则＝_________ 【128】
8、甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页。若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了　　　　页【35】
9、如果多项式3mxay与—2nx4a—3y是关于x、y的单项式，且他们的和是单项式，则a2004—1=______ 【0】
10、一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是_________cm3。【60】

11、张、王、李三人预测甲、乙、丙、丁四个队参加足球比赛的结果：王说："丁队得冠军，乙队得亚军"； 李说："甲队得亚军，丙队得第四"；张说："丙队得第三，丁队得亚军"。 赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是___________。【丁】
12、如果a、b、c是非零有理数，那么的所有可能值是　　　　
【3、1、-1、-3】
解答题（每小题20分，共60分）
13、计算【2007】
14、三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，试求的值
【解：由于三个互不相等的有理数，既表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等。
于是可以判定与中有一个是0，中有一个是1，但若，会使无意义，∴，只能，即，于是．只能是，于是＝－1。
∴原式＝2 。】
15、现在由五个福娃带我们去参观国家体育馆“鸟巢”，贵宾门票是每位30元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，我们一行共有18人（包括福娃），当领队欢欢准备好零钱到售票处买18张票时，爱动脑筋的晶晶喊住了欢欢，提议买20张票，欢欢不明白，明明我们只有18人，买20张票岂不是“浪费”吗？ （1）请你算算，晶晶的提议对不对？是不是真的“浪费”呢？ （2）当人数少于20人时，至少要有多少人去“鸟巢”，买20张票反而合算呢？
【略】
16、如图，已知l1∥l2，MN分别和直线l1、l2交于点A、B，ME分别和直线l1、l2交于点C、D．点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．
（1）如果点P在A、B两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系？（只须写出结论）
【答案：①过点P作PF∥AC，交ME于点F,则∠γ= ∠α+∠β
②当点P运动到射线AN上时：∠α= ∠γ+∠β
当点P运动到线段BM上时: ∠β= ∠γ+∠α】
初中二年级样题
选择题（每小题5分，共30分）
1、一个多边形的内角和与外角和的总和为1800°，则这个多边形的边数是（ ）【B】
（A）8 （B）10 （C）12 （D）14
2、若直线过第一、二、四象限，那么直线不经过（ ）【B】
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3、如图是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法．约定沿正方形ABCD的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如就视为同一种图案，则不同的涂法有 ( )【C】
(A)4种 (B)6种
(C)8种 (D)12种。
4、在中，设所对的边分别为,若，那么等于 ( ) 【B】
(A) (B) (C) (D)
5、如右图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，
N是AC上一动点，则DN+MN的最小为（ ）．
（A）8 B．8 C．2 D．10
【D 提示：D点和B点关于AC对称】
6、、已知长度为l0cm的线段AB，以AB为直径向上作半圆，记该半圆的周长为C1；将AB两等分，分别以其一半线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C2；再将AB三等分，分别以其三分之一线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C3；如此继续，记k等分时各半圆周长之和为 Ck，那么随着等分数k的增加，各半圆周长之和Ck的数值 ( )
（A）越来越大 （B）越来越小 （C）不变 （D）无法判断
【C不管等分数为多少，各个半圆的周长之和始终为5π】
填空题（每小题5分，共30分）
7、如图1，直线上放置了一个边长为6的等边三角形，当等边
三角形沿着直线翻转一次到达图2的位置.如果等边三角形翻转
204次，则顶点A移动的路径总长是_____ _ (用π表示)
【544π】
8、下列4个判断：
①有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；
②两个三角形的6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；
③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；
其中正确判断的编号是___________________【①②③】
9、若a、c、d都是整数，b是正整数，且a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a，则a＋b＋c＋d的最大值是____________
【－5 ∵a＋b＝c①，b＋c＝d②，c＋d＝a③，∴由①＋②得a+c+2b=c+d=a，即c= －2b
进而得a=－3b,d=－b,∴a+b+c+d=－5b,∵b是正整数，∴最大值为－5】
10、现有长为150的铁丝，要截成若干个小段，要求每段的长度都是不小于1的整数，如果其中任意三小段都不能组成三角形，问当切成最多段时，共有___________种切法.
【7．提示：要尽可能多的切成段，且任意三小段都不能组成三角形，只能这样切成10段：
（1）1，1，2，3，5，8，13，21，34，55＋7（2）1，1，2，3，5，8，13，21，35，55＋6
（3）··· ，36，55＋5 （4）··· ，37，55＋4（∵59－37>21） (5)··· 13,22,35,57+3 (6)···,22,36,57+2（∵59－36>22） (7)···,8,14,22,36,58】
11、一批旅客决定分乘几辆大汽车，并且要使每辆车有相同的人数。起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车。若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车。已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有 辆汽车，这批旅客有 人。
【提示：设原有辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐个人，显然≥2，≤32．
易知旅客人数等于，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为，由此列出方程
。
所以 。
因为为正整数数，所以必为正整数，但由于23是质数，因数只有1和23两个，
且≥2，所以，或。
如果，则，，不满足≤32的条件。
如果，则，，符合题意。
所以旅客人数等于＝23×23＝529（人）】
12、∣|叫做二阶行列式，它的算法是：，将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式，则不同的计算结果有＿＿个，其中，数值最大的是＿＿＿【6，14】
解答题（每小题20分，共60分）
13、如图，横向或纵向的两个相邻格点的距离都是1．若六边形(可以是凸的或凹的)的顶点都在格点上，且面积为6，画出三个形状不同的这样的六边形．
【答案：如右图,符合条件的六边形有许多．】
14、甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A地的距离（千米）随时间（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回。请根据图象中的数据回答：
（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？
（2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？
（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？
【答案：（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为
将代入，解得 所以
由图可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当千米时，
（小时）。即甲车出发1.5小时后被乙车追上
（2）由图知，可设乙车由A地前往B地函数的解析式为
将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得，解得
所以
当乙车到达B地时，千米。代入，得小时
又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为
将（1.8，48）代入，得，解得
所以
当甲车与乙车迎面相遇时，有
解得小时 代入，得千米
即甲车与乙车在距离A地千米处迎面相遇
（3）当乙车返回到A地时，有 解得小时
甲车要比乙车先回到A地，速度应大于（千米/小时）】
15、当x=20时，一个关于x的二次三项式的值等于694．若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数，求满足条件的所有二次三项式．
【答案：将x=20代入ax2+bx+c得400a+20b+c=694①，于是400a=694-(20b+c)，
由-10又-10∴满足条件的二次三项式只有2x2-5x-6 】
16、现有一台天平，一个2克的砝码和一个7克的砝码，要求只使用这台天平三次，将一包重140克的食盐分成90克和50克。此外，为了便于减少误差，每次分离食盐时，规定重量是整数千克。请你设计尽可能多的方案，说明基本理由
【此题有多种答案。若考虑现有砝码与其不同放置的情况，可将指定重量分为2份，它们的重量之差(克数)仅限于：0、2、5、7与9。因此可设如下数学模型：
。从而可得下列5种解决方案


而若考虑将已称量的食盐当作新的砝码，则还可以得到其他的解决方案(略)。 】
初中三年级样题
一、选择题（每小题5分，共30分）
1、已知，，则＝（ ） 【B】
（A）4 （B）0 （C）2 （D）－2
2、将五张分别画有等边三角形、直角三角形、平行四边形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是
（ ）【B】
（A） （B） （C） （D）
3、一块含30°角的直角三角板（如右图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1 cm，那么△DEF的周长是（ ）
(A) 5 cm (B) 6 cm (C)（）cm (D)（）cm
【B：提示：连结BE，分别过E，F作AC的平行线交BC于点M和N，则EM=1，BM=，MN=．∴ 小三角形的周长是cm】
4、作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是，则抛物线A所对应的函数表达式是（　　 ）【D】
(A) 　　 　　(B)
(C) (D)
5、如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白
两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱
向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）
（A）0 （B）1 （C） （D）
【答案： C
黑甲壳虫爬行的路径为：
白甲壳虫爬行的路径为：
黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，因2008=334×6+4，所以当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点C，白甲壳虫停在点D1，因此】
6、一个商人用元（是正整数）买来了台（为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则的最小值是（ ） 【C】
（A）11 （B）13 （C）17 （D）19
二、填空题（每小题5分，共30分）
7、正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点A顺时针旋转60°得正方形AB′C′D′，点C所经过的路径长为 。【】
8、已知直角三角形的两直角边长分别为3 cm和4 cm，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为　　 　　cm．
【 解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h)，则5h=3×4，h=】
9、设、是方程的两个实根，且．则的值是 ．
【1】
10、从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5．则这个等边三角形的面积是
【】
11、将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数（当数据的个数是奇数时），或最中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数．现有一组数据共有100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是　　
【答案：35％或65％ 解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35％或65％】
12、在直角坐标系中，轴上的动点M（，0）到定点P（5，5）、Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP＋MQ取最小值时，点M的横坐标＝ 【】
三、解答题（（每小题20分，共60分）
13、如图，一次函数的图象过点P（2，3），交x轴的正半轴与A，交y轴的正半轴与B，求△AOB面积的最小值．
【解：设一次函数解析式为，则，得，令得，则OA＝．
令得，则OA＝．
所以，三角形AOB面积的最小值为12．】
14、小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm，宽为8cm的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长。
解：分三种情况 ：（1）当底边在长方形的长边上时，如图1，ABAC10 cm，
BE6 cm，BC2BE12 cm
（2）当腰在长方形的长边上时，
如图2（a），BCAB10 cm，CEBCBE1064 cm，
ACcm
如图2（b），BCAC10 cm，BEBC＋CE10＋616 cm，
ABcm
故等腰三角形的底边长为 cm或 cm或 cm
15、边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是多少？
答案：
解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得
或 解得 或
∵ (此时不能构成三角形，舍去)，∴ 取其中n是3的倍数．
三角形的面积．对于，
当n≥0时，随着n的增大而增大，故当n=3时，取最小．
初中数学创新小论文要求及范文
论文形式：科学论文
科学论文是对某一课题进行探讨、研究，表述新的科学研究成果或创见的文章。
注意：它不是感想，也不是调查报告。
论文选题：新颖，有意义，力所能及
要求：
有背景.
应用问题要来源于学生生活及其周围世界的真实问题，要有具体的对象和真实的数据。理论问题要了解问题的研究现状及其理论价值。要做必要的学术调研和研究特色。
有价值.
有一定的应用价值，或理论价值，或教育价值，学生通过课题的研究可以掌握必须的科学概念，提升科学研究的能力。
有基础
对所研究问题的背景有一定了解，掌握一定量的参考文献，积累了一些解决问题的方法，所研究问题的数据资料是能够获得的。
有特色
思路创新，有别于传统研究的新思路；
方法创新，针对具体问题的特点，对传统方法的改进和创新；
结果创新，要有新的，更深层次的结果。
问题可行
适合学生自己探究并能够完成，要有学生的特色，所用知识应该不超过初中生（高中生）的能力范围。
（数学应用问题）数据资料：来源可靠，引用合理，目标明确
要求：
数据真实可靠，不是编的数学题目；
数据分析合理，采用分析方法得当。
（数学应用问题）数学模型：通过抽象和化简，使用数学语言对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。
要求：
抽象化简适中，太强，太弱都不好；
抽象出的数学问题，参数选择源于实际，变量意义明确；
数学推理严格，计算准确无误，得出结论；
将所得结论回归到实际中，进行分析和检验，最终解决问题，或者提出建设性意见；
问题和方法的进一步推广和展望。
（数学理论问题）问题的研究现状和研究意义：了解透彻
要求：
对问题了解足够清楚，其中指导教师的作用不容忽视；
问题解答推理严禁，计算无误；
突出研究的特色和价值。
论文格式：符合规范，内容齐全，排版美观
1. 标题：
是以最恰当、最简明的词语反映论文中主要内容的逻辑组合。
要求：反映内容准确得体，外延内涵恰如其分，用语凝练醒目。
2. 摘要：
全文主要内容的简短陈述。
要求：
1）摘要必须指明研究的主要内容，使用的主要方法，得到的主要结论和成果；
2）摘要用语必须十分简练，内容亦须充分概括。文字不能太长，6000字以内的文章摘要一般不超过300字；
3）不要举例，不要讲过程，不用图表，不做自我评价。
3. 关键词：文章中心内容所涉及的重要的单词，以便于信息检索。
要求：数量不要多，以3-5各为宜，不要过于生僻。
4. 正文
1）前言：
问题的背景：问题的来源；
提出问题：需要研究的内容及其意义；
文献综述：国内外有关研究现状的回顾和存在的问题；
概括介绍论文的内容，问题的结论和所使用的方法。
2）主体：（数学应用问题）数学模型的组建、分析、检验和应用等。
（数学理论问题）推理论证，得出结论等。
3）讨论
解释研究的结果，揭示研究的价值, 指出应用前景, 提出研究的不足。
要求：
1）背景介绍清楚，问题提出自然；
2）思路清晰，涉及到得数据真是可靠，推理严密，计算无误；
3）突出所研究问题的难点和意义。
5. 参考文献：
是在文章最后所列出的文献目录。他们是在论文研究过程中所参考引用的主要文献资料，是为了说明文中所引用的的论点、公式、数据的来源以表示对前人成果的尊重和提供进一步检索的线索。
要求：
1）文献目录必须规范标注；
2）文末所引的文献都应是论文中使用过的文献，并且必须在正文中标明。
　　
示范小论文：
演出收入计税的数学模型
[内容提要]
本文运用了Y=aX+b这一最基本的函数，通过建立数学模型，简化了比较复杂的演出收入计算个人所得税的问题。
[关键词] 演出收入个人所得税数学模型
问题的提出
我的表姐是一个演员，每次演出的收入较高，但是她总觉得缴纳个人所得税的计税方法太复杂，到底要缴多少税，心里没底。为了帮表姐解决这个问题，我上网查证了计税方法，询问了税务局的专家，通过分析后发现，运用Y=ax+b这一最基本的函数，通过建立相应的数学模型，可以简化比较复杂的演出收入计算个人所得税的问题。
一、由演出者缴税的数学模型
（一）、税法规定的数学模型
个人所得税税法规定，演出收入要在减去一定费用，计算出应纳税所得额以后，再按规定税率来计算应纳税额。
假设：应纳税额为Y元，总收入为M元，应纳税所得额为X元，税率为Z。则Y=XZ。这个关系式中，有两点需要说明：
1.这里的应纳税所得额X，是在获得的总收入M的基础上扣除一定费用后的余额。税法规定，费用的扣除标准如下：
当M≤4000时，费用扣除额为800元，即X=M-800.
当M＞4000时，费用扣除额为收入的20%，即X=M-20%M=0.8M
2.这里的税率Z规定如下表(见表1)
级数
X(每次应纳税所得额)
Z(税率%)
1
不超过20000元（含）的部分
20
2
超过20000元至50000元（含）的部分
30
3
超过50000元的部分
40
表1 演出收入个人所得税税率表
该税率表在税法里有一个术语，叫三级超额累进税率。即：它将收入分为三段，每段的税率分别不同，收入越高，税率越高。如果用数学的术语来表达的话，它是一个分段函数：
1、如果X≤20000
则Y=20％X
2、如果50000≥X>20000
则Y=20000×20％+(X一20000)×30％
3、如果X＞50000
则Y=20000×20%十(50000—20000)×30％+(X一50000)×40％
上述表达式告诉我们，计算个人所得税时，应先根据M计算出X，
再根据X找出相应的Z，最后将X进行分段，再计算出应纳税额Y。
数学模型的应用：
问题1：甲演员到杭州演出一场，收入3000元，应缴纳多少个人所得税?
1、∵M=3000元＜4000
∵X=M-800=3000—800=2200元
2、∵X＜20000
∴Y=20％X= 2200×20％=440元
问题2：乙演员到杭州演出一场，收入100000元，应缴纳多少个人所得税?
1、∵M=100000元＞40000
∴X=0.8M=0.8×100000=80000元
2、∵X＞20000
∴Y=20000×20％+(50000-20000)×3O％+(X一50000)×40％
=20000×20％+(50000-20000)×30％+(80000—50000) ×40％
=25000元
从以上这些例子我们发现，在超额累进税率F，分段计税确实比较复杂。我们能不能找出简单一点的计算方法呢?
(二)化简数学模型
我们将上面的分段函数进行化简：
1、如果X≤20000
则Y=200％X，这已经很简单了，不需要再化简。
2、如果50000≥X＞20000
则Y=20000×20％+(X-20000)×30％=30％X-2000
3、如果X＞50000
则Y=20000×20％+(50000-20000)×30％+(X-50000)×40％
=40％X一7000
分析上述三个化简后的式子，我们可以得出以下两个结论：
1、应纳税额Y等于应纳税所得额X与相应税率Z的乘积减去一个常数。假设此常数为C，则Y=XZ-C。
2、可以把税率表(表1)改写成表2
表2 演出收入个人所得税税率表
级数
X(每次应纳税所得额)
Z(税率%)
C（常数）
1
不超过20000元（含）的部分
20
0
2
超过20000元至50000元（含）的部分
30
2000
3
超过50000元的部分
40
7000
上述结论告诉我们，计算个人所得税时，应先根据M计算出X，再根据X找出相应的Z和C，代入关系式Y=XZ-C，就可以直接得出结
果了。
数学模型的应用：
问题3 资料同问题1。
1、∵M=3000元＜4000
∴X=M-800=3000-800=220元
2、∵X＜20000，则Z=20％，C=O
∴Y=XZ-C=2200×20％-0=440元
问题4 资料同问题2。
1、∵M=100000元＞40000元
∴X=0.8M=0.8×100000=80000元
2、∵X＞50000,则Z=40%,C=7000
∴Y=XZ-C=80000×40%-7000=25000元
这样计算就简单多了!
(三)再化简数学模型
经过化简后，计算确实简单了许多，但它还需要转个弯，M的前提下，只有换算成X后才能计算税款。能不能直接用M来：
答案是肯定的。因为M与X之间存在着密切的关系。下面我佃
1、当M≤4000吋．则X=M-800，Z=20％．C=0，代入 Y=XZ-C
那么，Y=(M一800)×20% = 0.2M-160
令Y=0，即0.2M-160=0,得M=800
所以，M的取值范围为：800＜M≤4000
即当800＜M≤4000时，Y=0.2M-160
2、当M＞4000时，X=O.8M，按照X的取值范围分三种情况
(1)如果X≤20000，则Z=20％，C=O，代入Y=XZ-C，
那么，Y=20%X-0=0.2×0.8M=0.16M
令X=20000,得M=X÷0.8=20000÷0.8=25000
所以,M的取值范围为4000＜M≤25000
即当4000＜M≤25000时，Y=0.16M
(2)如果50000≥X＞20000,则Z=30%，C=2000，代入Y=XZ-C
那么，Y=30%X-2000=0.3×0.8M-2000=0.24M-2000=0.24M-2000
令X=50000，得M=X÷0.8=50000÷0.8=62500
所以,M的取值范围为：25000＜M≤62500
即，当25000＜M≤62500时，Y=0.24M-2000
20000，得M：X÷O 8：20000÷0 8：25000
(3)如果X＞50000,则Z=40%,C=7000,代入Y=XZ-C
那么，Y=40%X-7000=0.4×0.8M-7000=0.32M-7000
M的取值范围为M＞625000
即，当M＞625000时，Y=0.32M-7000
通过观察上述式子，我们可以发现，他们都变成了一次函数:Y=aM-b。将上述推导结果整理成下表（表3）
表3 演出收入个人所得税计税系数表
级数
X(每次总收入)
a
b
1
超过800元至4000元（含）的
0.2
160
2
超过4000元至25000元（含）的
0.16
0
3
超过25000元至62500元（含）的
0.24
2000
4
超过62500元的
0.32
7000
问题5：资料同问题1
∵M=3000元＜4000，则a=0.2，b=160
∴Y=aM-b=0.2×3000—160=440元
问题6:资料同问题2
∵M=100000元，M＞62500，则a=0.32，b=7000
∴Y=aM—b=0.32×100000—7000=25000元
这样的计算就更简单了!
二、由举办方代付税款的数学模型
问题2中乙到杭州演出一场，总收入为100000元，缴了25000元个人所得税后，税后净收入只有75000元了。她觉得报酬太低，不合算。于是丙到演出举办单位签订协议，要求演出的税后净收入为100000元，即个人所得税由演出举办者承担．那么，举办者代为缴纳的个人所得税是不是25000元呢?
(一)税法规定的数学模型
假设：税后净收入为N，举办者为演员代付款为Y，演出举办方实际支出为M，M也就是演出者的总收入。显然M=Y+N。这意味着计算代付税款时，应当将举办者支付给演员的的税后净收入N(或称不含税支付额)换算为总收入M，按规定扣除费用后得巾应纳税所得额X，然后按规定税率Z计算出应代付的个人所得税款Y。
现在N是已知条件，我们只要建立起以N为自变量、丫为因变量的函数关系式，并且将表面化中的X换算成N，就可确定Z，计算出Y。
根据费用扣除规定和表面化的信息，推导如下：
1、当M≤4000时，X=M-800,将X=M-800，代入Y=XZ-C
那么，Y=（M-800）Z-C =（Y+N-800）Z-C，经整理可得：
Y=
下面确定N的取值范围。
当M≤4000时，Z=20％,C=0
令Y=0，即 =0，则N=800。
令M=4000，即Y=XZ—C=(4000—800)×20％-0=640元，
N=M—Y=4000—640=3360元。
即：与M=4000元相对应值为3360元。
也就是说,当3360≥N＞800时，按Y= 来计算税款。
此时，Z=20％，C=0。
2、当M＞4000时，X=0.8M
那以，Y =XZ-C
=0.8MZ-C
=0.8(Y+N)Z-C
经整理可得:
Y=
下面分别就X的三种取值范围来确定N的对应取值范围。
（1）当X=20000元时，Y=XZ-C=20000×20％-0=4000元
M=X÷0.8=20000÷0.8=25000元
N=M-Y=25000-4000=20111元。即：与X=2000元相对应的N值为21000元。
也就是说，当21000≥N＞3360时，按Y=来计算税款。此时，Z=20%,C=0。
（2）当X=50000元时，Y=XZ-C=50000×30%-2000=13000元
M=X÷0.8=50000÷0.8=62500元，N=M-Y=62500-13000=49500元，即：与X=50000元相对应的N值为49500元。
也就是说，当49500≥N＞21000时，按Y=来计算税款。此时，Z=30%,C=2000。
（3）显然，当N＞49500时，按Y=来计算税款。此时，Z=40%,C=7000元。
根据上述推导，可以把税率表（表2）改写成下表（表4）
表4 不含演出收入适用税率表
级数
N(不含税演出收入)
Z（税率%）
C（常数）
1
超过800元至3360元（含）的
20
0
2
超过3360元至21000元（含）的
20
0
3
超过21000元至49500元（含）的
30
2000
4
超过49500元的
40
7000
问题7：丙演员到杭州演出一场，按照合同规定，举办方应支付歌星报酬3000元，与其报酬相关的个人所得税由举办方代付。计算应代付的个人所得税税额。
1、∵N=3000＜3360，则Z=20%，C=0
2、∴Y===550元
现在，我们知道了由演员自己缴税和演出举办方代付税款的计算方法是不一样的。但是，这样的计算比较复杂，能否再简化点呢？
(二)化简数学模型
观察表4可知，Z和C虽然随着N的变化而变化，但当N确定后，
Z和C就变为常数了。所以，我们将Z和C代入式子
Y= 或Y=就可以进行化繁为简了。
1、当N≤3360时，Z=20％，C=0
那么，Y===
2、当21000≥N＞3360时，Z=20％，C=0
那么，Y= =
3、当49500≥N＞21000时，Z=30％，C=2000
那么，Y= =
4、当N＞49500时，Z=40％，C=70000
那么，Y==
通过观察上述式子，我门可以发现，它们都变成了一次函数：
Y=An-b。
将上述推导结果整理成下表(见表5)
表5 不含演出收入计税系数表
级数
不含税劳务报酬收入
A
B
1
未超过3360元（含）的
200
2
超过3360元至21000元（含）的
0
3
超过21000元至49500元（含）的
2631.58
4
超过49500元的
10294.12
数学模型的应用：
问题8：资料同问题7
1、∵N=3000＜3360，则a=，b=200
2 、Y=元—200
结论
综上所述，不论是由演出者付税，还是由演出举办者代付税，都可以运用Y=Ax+b来计算个人所得税。只要稍微懂点函数知识的人，利用本文介绍的方法，计算个人所得税就易如反掌了。

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