资源简介

一般三角形及其性质
1. 如图，在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角．
第1题图
(1)若AB＝2，AC＝3，则BC边的长度可以是________(写出一个即可)，依据为________；
(2)若∠ACB＝50°，∠A＝∠B＋10°，则∠B＝________°；
(3)若∠A＝60°，∠B＝80°，则∠ACD＝________°.
2. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BC的中点，连接DE，BD.
第2题图
(1)若S△ABC＝10，则S△BDE＝________；
(2)若DE＝3，BC＝8，则AB＝________，△BCD与△ABD的周长之差为________．
3. 在△ABC中，AB＝8，D是BC上一点，E是AC上一点．连接AD，DE.
(1)如图①，AD平分∠BAC，DE⊥AC.若DE＝2，则S△ABD＝________；
图① 图②
第3题图
(2)如图②，DE是线段AC的垂直平分线，BC＝9，AD与CD的数量关系是________，△ABD的周长为________．
知识逐点过
考点1 　三角形的分类
按角分类 1. 锐角三角形：三个角均小于90°；2. 直角三角形：有一个角是90°；3. 钝角三角形：有一个角大于90°
按边分类 1. 三边都不相等的三角形；2. 等腰三角形：(1)底边和腰不相等的等腰三角形；(2)等边三角形
考点2 　三角形的三边关系、内角和定理及内外角关系
三边关系 1. 三角形两边之和①________第三边，三角形两边之差②________第三边(若一个三角形的三边边长分别为a，b，c，则|a－b|＜c＜a＋b)；2. 三角形具有稳定性
内角和定理 三角形三个内角的和等于③________
内外角关系 1. 三角形的外角和等于360°；2. 三角形的外角④________与它不相邻的两个内角的和；3. 三角形的一个外角⑤________任何一个和它不相邻的内角
边角关系 同一个三角形中，等边对等角，大边对大角，小边对小角
面积公式 S＝ah(h为边a上的高)　　　【温馨提示】同底(等底)等高(同高)的三角形面积相等，在解决面积问题时常会用到，如图，h1＝h2，可知S△ABC＝S△ABD
考点3 　三角形中的重要线段
四线 图示 性质 面积关系 延伸
中位线 DE是△ABC的中位线 DE⑥________BC，且DE＝⑦______BC S△ADE＝S△ABC 当三角形中遇到中点时，常构造三角形中位线，可简单地概括为“已知中点找中位线”
角平分线 AD是△ABC的角平分线 1.∠BAD＝⑧____＝⑨______∠BAC；2．DE＝⑩______ S△ABD∶S△ACD＝BD∶CD＝AB∶AC 1.三角形的三条角平分线的交点是三角形的内心；2．内心到三角形三边的距离相等
中线 AD是△ABC的中线 BD＝ ________＝ ________BC S△ABD＝S△ADC＝S△ABC 三角形三条中线的交点是三角形的重心
高线 AD是△ABC的高线 AD⊥ ________，即∠ADB＝∠ADC＝ ________ S△ABC＝BC·AD，＝ 三角形三条高线所在直线的交点是三角形的垂心
真题演练
命题点1 三角形的基本性质
1. 下列图形中有稳定性的是(　　)
A. 三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形
命题点2 三角形中的重要线段(6年7考，在圆或特殊四边形中涉及考查3次)
2. 如图，在△ABC中，BC＝4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE＝(　　)
A. B. C. 1 D. 2
第2题图
3. 已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为(　　)
A. 8 B. 2 C. 16 D. 4
拓展训练
4. 如图，在△ABC中，BE，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且BE，CD相交于点P，若∠A＝50°，则∠BPC＝________．
第4题图
5. 如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，求△ABC的高AD与CE的比值．
　第5题图
基础过关
1. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是(　　)
第1题图
A. 三角形具有稳定性
B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短
D. 三角形的两边之和大于第三边
2. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是(　　)
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
3. 如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的(　　)
A. 中线 B. 中位线
C. 高线 D. 角平分线
第3题图
4. 如图，用三角板画△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是(　　)
ABCD
5. 如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB的度数是(　　)
A. 75° B. 105° C. 115° D. 100°
第5题图
6. 如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若AE＝3，则AC的长度为(　　)
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
　
第6题图
7. 如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点．若CD＝4 cm，则该工件内槽宽AB的长为__________cm.
　
第7题图
8.若三角形三个内角的比为1∶2∶3，则这个三角形是__________三角形．
9. 如图，在△ABC中，点E是中线AD的中点，若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是__________．
　
第9题图
10. 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是__________．
第10题图
11. 如图，在△ABC中，AB＝4，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E.若△ABC的面积为7，DE＝2，则BC的长为__________．
第11题图
综合提升
12.如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，点E是CD的中点，点F是BE的中点，若△ABF的面积为6，则△ABC的面积为__________．
第12题图
13. 如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________．
　
第13题图
14. 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.已知：如图①，△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.第14题图①
方法一证明：如图②，过点A作DE∥BC.第14题图② 方法二证明：如图③，过点C作CD∥AB.第14题图③
一般三角形及其性质
1. (1)2(答案不唯一，1＜BC＜5即可)，三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
(2)60；
(3)140.
2. (1)；【解析】∵D，E分别是AC，BC的中点，∴＝，＝，∵S△BDE与S△CDE等底同高，∴S△BDE＝S△CDE＝S△ABC＝×10＝.
(2)6，2.【解析】∵＝，∴AB＝6，∵AD＝CD，BD＝BD，∴△BCD与△ABD的周长之差为BC－AB＝8－6＝2.
3. (1)8；
(2)AD＝CD，17.
知识逐点过
①大于　②小于　③180°　④等于
⑤大于　⑥∥　⑦　⑧∠CAD　⑨　⑩DF　 CD　 　 BC
90°
真题演练
1. A
2. D　【解析】∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝2.
3. A　【解析】∵D，E，F是△ABC三条边的中点，∴△DEF的三边是△ABC的三条中位线，∴△DEF的三边之和等于△ABC三边之和的一半，∴△DEF的周长为8.
4. 115°　【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点P，∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB，∵∠A＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°，∴∠BPC＝180°－(∠CBP＋∠BCP)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝115°.
5. 解：由题意，得S△ABC＝AB·CE＝BC·AD，
∵AB＝2，BC＝4，
∴×2·CE＝×4·AD，
∴＝.
基础过关
1. A
2. B　【解析】 根据三角形的三边关系定理得4－33. D　【解析】角是轴对称图形，角的对称轴是角平分线所在的直线.
4. D　【解析】 AB边上的高应该从顶点C向它所对的边AB所在直线画垂线，故D选项符合题意．
5. B　【解析】 ∵∠BDC＝60°，∠OCD＝45°，∴∠BOC＝60°＋45°＝105°.
6. D　【解析】 ∵BE是△ABD的中线，∴AD＝2AE＝6.∵BD是△ABC的中线，∴AC＝2AD＝12.
7. 8
8. 直角　【解析】设这个三角形三个内角依次为x，2x，3x，∵x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°，∴最大角为3x＝90°，故这个三角形是直角三角形．
9. 2　【解析】∵点E是AD的中点，∴S△ACD＝2S△ACE＝2.∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ADC＝2.
10. 13　【解析】 ∵垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB＋AD＋DB＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝5＋8＝13.
11. 3　【解析】 如解图，过点D作DF⊥AB于点F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝AB·DF＋BC·DE＝×4×2＋BC×2＝7，∴BC＝3.
第11题解图
12. 24 　【解析】 如解图，连接AE，∵点F是BE的中点，∴S△AEF＝S△ABF.∵点E是CD的中点，∴S△ADE＝S△ACE，S△BDE＝S△BCE，∴S△ABE＝S△BDE＋S△ADE＝S△ABC，∴S△ABC＝2S△ABE＝4S△ABF＝24.
第12题解图
13. △ADC，△BDC，△ADB　【解析】三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，由网格可知，点O到A，B，C，D四点的距离相等，∴除△ABC外，外心也是O的三角形还有△ADC，△BDC，△ADB.
14. 方法一
证明：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC.
∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
即△ABC的内角和为180°.
方法二
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°.
又∵∠BCD＝∠ACD＋∠BCA，
∴∠A＋∠B＋∠BCA＝180°，
即△ABC的内角和为180°.

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