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等腰三角形与直角三角形
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，H为AC上一点，BH与AD交于点O，连接DH.
　第1题图
(1)当∠BAC＝64°时．
①∠ABC的度数为________；
②若BH为∠ABC的平分线，∠AOB的度数为________；
(2)若H为AC的中点，当AH＝3时，HD的长为________，△HDC是________三角形；
(3)若BH平分∠ABC，H为AC的中点．
①△ABC是________三角形；
②若AB＝6，则△ABC的面积为________，△CDH的面积为________．
2. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，连接CD.
　第2题图
(1)若∠B＝30°，AC＝2，则AB＝________；
(2)若D是AB边的中点．
①当∠B＝25°时，则∠ACD＝________；
②当AC＝3，BC＝4时，则CD＝________；
(3)若CD⊥AB，当AC＝6，BC＝8，则S△ABC＝________，CD＝________；
(4)如图，E为BC中点，连接DE，若BC＝2DE，则△BCD为________三角形．
　第3题图
3. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC的中点，AD＝2.
(1)∠DAC的度数为________；
(2)AC的长为________；
(3)如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则四边形AEDF的周长为________．
知识逐点过
考点1 　等腰三角形的性质及判定
等腰三角形 等边三角形
性质 1. 两腰相等，两底角①______(简写成“等边对等角”)；2. 顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线②______(简写成“三线合一”)； 1. 三边相等(如图中AB＝BC＝AC)；2. 三个内角相等，并且每一个角都等于③________(如图中∠BAC＝∠B＝∠C＝④______)；
性质 3. 是轴对称图形，有1条对称轴，对称轴为顶角的平分线(底边上的高线，底边上的中线)所在的直线(如图中AD所在的直线) 3. 是轴对称图形，有⑤________条对称轴；4. 内、外心重合
判定 1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)；2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”) 1. 三边都相等的三角形是等边三角形；2. 三个内角都是⑥________的三角形是等边三角形；3. 有一个角是⑦________的等腰三角形是等边三角形
面积 S△ABC＝ah，其中a为底边长，h为底边上的高 S△ABC＝ah＝a2，其中a为等边三角形的边长，h为任意一边上的高
考点2 　直角三角形的性质及判定
直角三角形 等腰直角三角形
性质 1. 两锐角和等于⑧______；2. 斜边上的中线等于⑨____；3. 30°角所对的直角边等于______；4. 若有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 ____；5. 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 ________ 1. 两直角边相等；2. 两锐角相等且均等于 ________
判定 1. 有一个角为90°的三角形；2. 有两个角互余的三角形；3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长为a，b，c，且满足a2＋b2＝c2或a2＋c2＝b2或b2＋c2＝a2，那么这个三角形是直角三角形 1. 顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形；2. 有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形；3. 有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形；4. 两边相等的直角三 角形是等腰直角三角形
面积 S＝ab＝ch，其中a，b为两条直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高 S＝ch＝a2＝c2，其中a为直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高
真题演练
命题点1 特殊三角形的判定
1. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形．
　第1题图
2. 若a＝－4，b＝12，一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
命题点2 特殊三角形性质相关的证明与计算
3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D在斜边AC上，且CD＝CB，AH平分∠BAC，交BD于点E，交BC于点H，过点E作EF⊥AB于点F.
(1)求证：EA＝EB；
(2)若EF＝2，求BH的长．
　第3题图
4. 如图，在等边△ABC中，∠ADC＝∠BEA，AE与CD交于点F.
(1)求证：△BCD≌△CAE；
(2)若BC＝5，CE＝2，求CD的长．
　第4题图
基础过关
1. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为(　　)
A. 70° B. 100° C. 110° D. 140°
第1题图　　
2. 一技术人员用刻度尺(单位： cm)测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝(　　)
A. 3.5 cm B. 3 cm C. 4.5 cm D. 6 cm
第2题图
3. 如图，等边△OAB顶点B的坐标为(2，0)，则点A的坐标为(　　)
A. (1，) B. (，1) C. (，) D. (，)
第3题图
4. 5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是(　　)
A. 4 m B. 6 m C. 10 m D. 12 m
第4题图
5. △ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，则△ABC是(　　)
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
6. 如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝__________．
第6题图
7. 如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，点E为AC的中点，若AC＝8，CD＝5，则DE＝__________．
第7题图
8. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为__________．
第8题图
9. 如图，BD是等边△ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：CD＝CE.
第9题图
10. 图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
图① 图② 图③
第10题图
综合提升
11. 如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝(　　)
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
第11题图
12. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是(　　)
A. B. C. 2 D. 1
第12题图
13. 在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是(　　)
A. 1 B. 2 C. 6 D. 8
新考法推荐
14.清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝(BC＋).当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝__________．
第14题图
等腰三角形与直角三角形
1. (1)①58°；【解析】∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC＝64°，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠BAC)＝58°.
②119°；【解析】∵∠ABC＝58°，BH为∠ABC的平分线，∴∠ABH＝∠CBH＝∠ABC＝29°.∵AB＝AC，AD为BC边上的高，∴∠BAD＝∠BAC＝32°，∴∠AOB＝180°－∠BAD－∠ABH＝119°.
(2)3，等腰；【解析】∵H是AC的中点，∴CH＝AH＝AC＝AB，∵AB＝AC，AD为BC边上的高，∴D是BC的中点，∴HD＝AB，∴HD＝AH＝CH＝3，△HDC是等腰三角形．
(3)①等边；【解析】∵BH平分∠ABC，H为AC中点，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．
②9，.【解析】∵AB＝6，∴BD＝3，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴AD＝3，∴S△ABC＝BC·AD＝×6×3＝9，∵HD是△ABC的中位线，∴S△CDH＝S△ABC＝.
2. (1)4；(2)①65°，②；(3)24，；
(4)直角．【解析】∵E为BC中点，∴BE＝CE，∵BC＝2DE，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，∠EDB＝∠B，∵∠EDC＋∠ECD＋∠EDB＋∠B＝180°，∴∠CDE＋∠EDB＝90°，∴△BCD为直角三角形．
3. (1)45°；【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝45°.
(2)2；【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，∴AD＝DC＝2，AD⊥BC，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC＝＝2.
(3)4.【解析】∵AD＝DC，DF⊥AC，∴F是AC的中点，∵AD⊥BC，∴DF＝AC＝，同理DE＝，∵∠AED＝∠EAF＝∠AFD＝90°，DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，∴四边形AEDF的周长为4.
知识逐点过
①相等　②重合　③60°　④60°　⑤三　⑥60°　⑦60°　⑧90°　⑨斜边的一半　⑩斜边的一半　 30°　 a2＋b2＝c2　 45°
真题演练
1. 证明：∵BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，∠DFB＝∠EFC，
∴△BDF≌△CEF(AAS)，
∴BF＝CF，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠FBC＋∠ABE＝∠FCB＋∠ACD，
即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
2. 解：该三角形是等腰直角三角形．
理由如下：
当a＝－4，b＝12时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0即为x2－4x＋12＝0，
解得x1＝x2＝2，
∴该三角形是等腰三角形，
又∵(2)2＋(2)2＝(2)2，
∴该三角形是等腰直角三角形．
3. (1)证明：∵在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝45°.
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝×(180°－45°)＝67.5°，
∴∠ABD＝90°－67.5°＝22.5°.
∵AH平分∠BAC，
∴∠BAH＝∠BAC＝22.5°.
即∠ABE＝∠BAE，
∴EA＝EB；
(2)解：由(1)得，EA＝EB，
∵EF⊥AB，∠ABC＝90°，
∴AF＝BF，EF∥BH，
∴EF为△ABH的中位线，
∴BH＝2EF＝2×2＝4.
4. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝CA，∠B＝∠ACE＝60°.
∵∠ADC＝∠BEA，
∴∠B＋∠DCB＝∠ACE＋∠EAC，
∴∠DCB＝∠EAC.
在△BCD和△CAE中，
∴△BCD≌△CAE(ASA)；
(2)解：如解图，过点D作DG⊥BC于点G，则∠DGB＝∠DGC＝90°，
由(1)得△BCD≌△CAE，
∴BD＝CE＝2.
∵∠B＝60°，
∴∠BDG＝30°，
∴BG＝BD＝1，DG＝BG＝，
∴CG＝BC－BG＝5－1＝4，
在Rt△DGC中，由勾股定理，得CD＝＝＝.
第4题解图
基础过关
1. C　【解析】 ∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝＝＝70°，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝110°.
2. B　【解析】由题图可知AB＝7－1＝6 cm，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，∴CD＝AB＝3 cm.
3. A　【解析】 如解图，过点A作AC⊥OB交x轴于点C.∵△OAB为等边三角形，OB＝2，∴OC＝OB＝1.∵∠AOB＝60°，∴AC＝OC·tan 60°＝，∴点A的坐标为(1，).
第3题解图
4. B　【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，∴∠B＝×(180°－120°)＝30°，∴AD＝AB＝6 m.
第4题解图
5. D　【解析】∵(a－b)2＋＋|c－3|＝0，且，
∴，∴，解得，∴a2＋b2＝c2，且a＝b，∴△ABC为等腰直角三角形．
6. 52°　【解析】 ∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD.∵三角形内角和是180°，∠B＋∠BAD＋∠CAD＋∠C＝180°，解得∠C＝52°.
7. 3　【解析】∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝DB＝CD＝5，∴AB＝2CD＝10，根据勾股定理可得BC＝6.∵点E为AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3.
8. 96　【解析】由题意得，大正方形的面积＝20×20＝400，小正方形的面积＝4×4＝16，∴四个直角三角形的面积和为400－16＝384，每个直角三角形的面积为384÷4＝96.
9. 证明：如解图，∵BD为等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠1＝60°，
∴∠3＝30°.∵BD＝DE，
∴∠E＝∠3＝30°.
∵∠2＋∠E＝∠1＝60°，
∴∠E＝∠2＝30°，∴CD＝CE.
第9题解图
10. 解：如解图①，△ABC即为所求锐角三角形；
如解图②，△ABD即为所求直角三角形；
如解图③，△ABE即为所求钝角三角形．
(答案不唯一)
解图①
　
解图②
解图③
第10题解图
11. B　【解析】∵S正方形AMEF＝16，∴AM＝4.∵点M是斜边BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边上的中线，∴BC＝2AM＝8.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝4，∴S△ABC＝AB·AC＝×4×4＝8.
12. A　【解析】如解图，连接BD，∵AD∥BC，∴∠C＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝180°－45°＝135°.∵△ABE为等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∵∠ABE＋∠ADE＝180°，∴A，B，E，D四点共圆．∵∠BEC＋∠BED＝180°，∠BAD＋∠BED＝180°，∴∠BAD＝∠BEC.∵∠ADB＝∠AEB＝45°，∠C＝45°，∴∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△EBC，∴＝.∵＝，∴＝，∴EC＝，故选A.
第12题解图
13. C　【解析】如解图①，在△ABC中，AB＝4，∠B＝60°，当∠A＝90°时，∠C＝30°，∴BC＝2AB＝8.如解图②，当∠ACB＝90°时，∠A＝30°，∴BC＝AB＝2.∵△ABC是锐角三角形，∴∠A，∠C都小于90°，∴2＜BC＜8，∴BC的长可以是6，故选C.
图①
　
图②
第13题解图
14. 1　【解析】将AB＝7，BC＝6，AC＝5代入公式中得BD＝×(6＋)＝5，∴CD＝BC－BD＝6－5＝1.

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