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　遇到中点如何添加辅助线
方法一　构造中位线
方法归纳
情形1：图形中出现两个及以上的中点，考虑构造中位线．
如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点．
【结论】DE∥BC；DE＝BC；△ADE∽△ABC.
情形2：图形中出现一个中点时，考虑过中点作另一边的平行线构造中位线．
如图，在△ABC中，D为AB的中点．
【结论】AE＝CE；DE＝BC；△ADE∽△ABC.
1. 如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，连接AE，BD交于点F，则的值为________．
　
第1题图
2. 如图，在△ABC中，D为AC的中点，E为AB上一点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，若E为DF的中点，BE＝3，则AE的长为________.
　
第2题图　　
3. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，CD是△ABC的角平分线，E是AC边上一点，连接BE，交CD于点F，若CE＝7，则的值为________.
　
第3题图
方法二　构造中线
方法归纳
情形1：遇等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解题．
如图，D为等腰△ABC底边BC的中点．
【结论】AD⊥BC；AD平分∠BAC.
情形2：遇直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线，利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”解题．
如图，D为Rt△ABC斜边AB的中点．
【结论】CD＝AB.
4. 如图，将两个含30°且大小不一样的两个直角三角板(Rt△ABC和Rt△BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°)摆放在一起，E为AB的中点，连接DE.若AC＝2，则DE的长为________．
第4题图
5. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BM＝CM＝3，MN⊥AC于点N，则MN的长为________．
第5题图
6. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC的中点，点E，F分别在AB，BC上，且∠EDF＝90°，EF＝3，则△DEF的周长为________．
　
第6题图
方法三　构造倍长中线(类中线)
方法归纳
情形1：倍长中线
如图，在△ABC中，AD是BC边的中线．
辅助线作法一：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
辅助线作法二：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
【结论】△ACD≌△EBD.
情形2：倍长类中线
如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是AB上一点，连接DE.
辅助线作法一：延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF.
辅助线作法二：过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
【结论】△BDE≌△CDF.
7. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝70°，∠DBC＝40°，BD＝3，则BC的长为________．
　
第7题图
8. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE.
证法一(构造倍长中线)：
　第8题图
基础过关
1. 如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，D，E分别为AC，BC中点，连接AE，BD相交于点F，点G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为(　　)
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
第1题图
2. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°.AB＝AC.点D为BC边的中点，过点D作DM⊥DN分别交BA，AC的延长线于点M，N，若DM＝1，则DN的长为__________．
第2题图
3. 如图，在△ABC中，D为AB的中点，连接CD，若∠ACB＝120°，∠DCB＝90°，BC＝2，则△ABC的面积为__________．
第3题图
4. 如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，且EF⊥AB，连接DE，若AB＝4，BC＝8，则线段DE的长为__________．
　
第4题图
5. 如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE.
(1)如图①，求证：DE＝BF；
(2)如图②，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
　
图①　　　　　　　图②
第5题图
遇到中点如何添加辅助线
1. 　【解析】如解图，连接DE，∵D，E分别为AC，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝，∴＝.
第1题解图
2. 9　【解析】如解图，过点D作DG∥AB，交BC于点G，∵E为DF的中点，∴BE为△FGD的中位线，∵BE＝3，∴DG＝2BE＝6.∵D为AC的中点，∴DG为△ABC的中位线，∴AB＝2DG＝12，∴AE＝AB－BE＝12－3＝9.
第2题解图
3. 　【解析】∵AC＝BC，CD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD，∵AC＝BC＝13，CE＝7，∴AE＝AC－CE＝13－7＝6.如解图，过点D作DG∥AC交BE于点G，∵AD＝BD，∴DG是△BAE的中位线，∴DG＝AE＝3.∵DG∥AC，∴＝＝.
第3题解图
4. 　【解析】如解图，连接CE，由题意，得∠ABC＝∠CBD＝30°，∠A＝∠DCB＝60°，∠ACB＝∠CDB＝90°，∵AC＝2，∴AB＝4，BC＝2，∴DC＝，∵E为AB的中点，∴CE＝AE＝AB＝2，∴∠ACE＝∠A＝60°，∴∠BCE＝30°，∴∠DCE＝∠BCE＋∠DCB＝30°＋60°＝90°，在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝＝＝.
第4题解图
5. 　【解析】如解图，连接AM，∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，根据勾股定理得，AM＝＝＝4.又∵S△AMC＝AC·MN＝AM·MC，∴MN＝＝.
第5题解图
6. 6＋3　【解析】如解图，连接BD，在等腰Rt△ABC中，∵D是AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD＝AD＝CD，∠DBC＝∠A＝45°，∠ADB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，∠A＝∠DBF，AD＝BD，∠ADE＝∠BDF，∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴DE＝DF.在Rt△DEF中，DE＝DF，∴EF＝DE，∴DE＝DF＝＝＝3，∴△DEF的周长为DE＋DF＋EF＝3＋3＋3＝6＋3.
第6题解图
7. 6　【解析】如解图，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD，∵∠BDC＝∠EDA，∴△BDC≌△EDA(SAS)，∴BC＝EA，∠DBC＝∠DEA＝40°，∵∠ABD＝70°，∴∠BAE＝180°－∠ABD－∠AED＝180°－70°－40°＝70°，∴∠BAE＝∠ABE，∴AE＝BE＝2BD＝6，∴BC＝6.
第7题解图
8. 证法一：证明：如解图①，延长AD至点G，使AD＝DG，连接BG，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
在△ACD和△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD(SAS)，
∴BG＝CA，∠CAD＝∠G.
∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠BED＝∠EAF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BE＝BG，
∴AC＝BE.
第8题解图①
证法二：证明：如解图②，延长ED至点H，使ED＝DH，连接CH，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD.
在△BDE和△CDH中，
，
∴△BDE≌△CDH(SAS)，
∴∠BED＝∠CHD，BE＝CH，
∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠BED＝∠EAF，
∴∠CHD＝∠EAF，
∴CH＝AC，
∴AC＝BE.
第8题解图②
基础过关
1. B　【解析】 如解图，连接DE，∵D，E分别为AC，BC中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝3 cm，∴∠ABD＝∠EDF，∠BAF＝∠DEF，∴△ABF∽△EDF，∴＝＝.∵BE＝CE＝BC＝4 cm，DE⊥BC，∴S△BDE＝S△CDE＝BE·DE＝×4×3＝6 cm2，∴S△DFE＝S△BDE＝2 cm2.∵DG∶GC＝1∶2，∴S△DGE＝S△CDE＝2 cm2，∴S四边形DFEG＝S△DFE＋S△DGE＝4 cm2.
第1题解图
2. 1　【解析】 如解图，连接AD，∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝CD，∠DAC＝∠ACD＝∠BAD＝45°.∵∠ADM＋∠MDC＝90°，∠MDC＋∠CDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN.∵∠MAD＝180°－∠BAD＝135°，∠NCD＝∠180°－∠ACD＝135°，∴∠MAD＝∠NCD.∴在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND(ASA)，∴DN＝DM＝1.
第2题解图
3. 2　【解析】 如解图，延长CD至点H，使DH＝CD，连接AH，∵在△ABC中，D为AB的中点，∴AD＝BD，∴△BCD≌△AHD(SAS)，∴∠BCD＝∠AHD＝90°，BC＝AH，∴S△BCD＝S△AHD，S△ABC＝S△ACH.∵BC＝2，∴AH＝2.∵∠ACB＝120°，∴∠ACH＝120°－90°＝30°，∴AC＝2AH＝2×2＝4.在Rt△ACH中，CH＝＝2.∴S△ACH＝AH·CH＝×2×2＝2，∴S△ABC ＝2.
第3题解图
4. 2　【解析】 如解图①，延长EF至点G，使EF＝GF，连接CG，∵F是BC的中点，∴BF＝CF＝4，在△BFE和△CFG中，，∴△BFE≌△CFG(SAS)，∴∠B＝∠BCG.∵∠B＋∠BCD＝180°，∴∠BCG＋∠BCD＝180°，即D，C，G三点共线．∵AB＝4，∴BE＝AE＝2.∵EF⊥AB，在Rt△BEF中，由勾股定理得，EF＝＝2，∴EG＝2EF＝4.∵CG＝BE＝2，DC＝AB＝4，∴DG＝DC＋CG＝6.∵∠G＝∠BEF＝90°，在Rt△DGE中，由勾股定理得，DE＝＝2.
【一题多解】 如解图②，延长DE至点H，使DE＝HE，连接BH，过点E作EM⊥BC于点M，∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝2.∵∠AED＝∠BEH，DE＝HE，∴△AED≌△BEH(SAS)，∴AD＝BH＝8，∠A＝∠EBH.∵∠A＋∠ABC＝180°，∴∠EBH＋∠ABC＝180°，即C，B，H三点共线．∵F是BC的中点，∴BF＝FC＝4.∵EF⊥AB，在Rt△BEF中，由勾股定理得，EF＝＝2，∴S△BEF＝BE·EF＝BF·EM，即×2×2＝×4×EM，∴EM＝.在Rt△BEM中，由勾股定理得，BM＝＝1，∴HM＝8＋1＝9，∴HE＝＝2，∴DE＝HE＝2.
图①
图②
第4题解图
5. (1)证明：∵△ACD和△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形，∴AD＝CD，CE＝BE，
∴∠DAC＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE.
∵∠A＝∠CBE，
∴∠DCA＝∠CBE，
∴CD∥BE，
∴∠DCE＝∠FEB.
∵EF＝AD，∴CD＝EF，
∴△DCE≌△FEB(SAS)，
∴DE＝BF；
(2)解：如解图，过点G作GH∥DC交CE于点H，
∵点G为DE的中点，
∴GH是△CDE的中位线，
∴GH＝CD＝AD＝1.
设BE＝CE＝2x，则EH＝x，FH＝EH－EF＝x－2.
∵CD∥EB，∴GH∥BE，
∴△FGH∽△FBE，
∴＝，即＝，
解得x1＝＋1，x2＝1－(舍)，
∴BE＝2＋2.
第5题解图

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