资源简介

　遇到角平分线如何添加辅助线
方法一　作垂线
方法归纳
情形1：如图，点P是∠MON平分线上的一点．
【结论】AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP.
情形2：如图，点P是∠MON平分线上的一点，若AP⊥OP于点P，则延长AP交ON于点B，构造等腰三角形三线合一．
【结论】OA＝OB；△OAB为等腰三角形．
1. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB＝3，BC＝5，则AD的长为________________________________________________________________________．
第1题图
2. 如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ABC的面积是30，AC＝14，BC＝16，则点D到AC的距离为________．
第2题图
3. 如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝11，BC＝5，则△BCD的面积为________．
第3题图
4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AD，若BD＝2，求AE的长．
　第4题图
方法二　作平行线
方法归纳
如图，点P在∠AOB的平分线上．
【结论】OQ＝PQ；△POQ是等腰三角形．
5.如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC，求的值．
　第5题图
方法三　构造轴对称图形
方法归纳
情形1：如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点(截长法).
【结论】△OPB≌△OPA.
情形2：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC(补短法).
【结论】△AFD≌△ACD.
6. 如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，若AC＝16，AD＝8，求BC的长．
　第6题图
7. 如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD＝CD，∠A＝120°，求证：BC＝AB＋AD.
　第7题图
基础过关
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD＝__________．
第1题图　　　
2. 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是∠BAC的平分线，E是AD上一点，过点E作EF⊥AB于点F，EF＝2，则AF的长为__________．
　
第2题图
3. 如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，CE⊥BE，若AE＝2，则BC的长为__________．
第3题图
4. 已知：∠AOB＝60°.小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°(即∠DPE＝120°)的角尺来作∠AOB的平分线．
(1)如图①，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的平分线．试根据小新的做法证明射线OP是∠AOB的平分线；
(2)如图②，小新在确认射线OP是∠AOB的平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小新的观点是否正确，为什么？
(3)如图③，在(2)的基础上，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，请判断线段OD与OE的数量关系，并说明理由．
图① 图② 图③
第4题图
遇到角平分线如何添加辅助线
1. 　【解析】如解图，过点D作DE⊥BC，∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DE，∵∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，设AD＝x，则AB·AC＝6＝＋，解得x＝，∴AD＝.
第1题解图
2. 2　【解析】如解图，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，∵CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，∴DE·AC＋DF·BC＝30，即DE×14＋DE×16＝30，解得DE＝2，即点D到AC的距离为2.
第2题解图
3. 6　【解析】如解图，延长BD交AC于点E，∵CD⊥BE，且CD平分∠ACB，∴CB＝CE＝5，∵AC＝11，∴AE＝6，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE＝6，∴BD＝3，∵∠BDC＝90°，BD＝3，BC＝5，∴CD＝4，∴S△BCD＝＝6.
第3题解图
4. 解：如解图，延长BD，AC交于点F，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴△ABF为等腰三角形，
∴BD＝FD，即BF＝2BD＝2×2＝4.
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝90°，∠AEC＋∠EAC＝90°，
∵AD⊥BD，
∴∠BED＋∠FBC＝90°，
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠EAC＝∠FBC.
又∵AC＝BC，∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF(ASA)，
∴AE＝BF＝4.
第4题解图
5. 解：如解图①，过点D作DE∥AB交BC于点E，则∠ABD＝∠BDE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠BDE＝∠DBE，
∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，则CE＝6－x，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得x＝2，
∴＝＝＝2.
第5题解图①
【一题多解】如解图②，过点D作DF∥BC交AB于点F，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠DBC，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴BF＝DF，
∵＝，即＝，
解得AF＝1，
∴＝＝＝2.
　
第5题解图②
6. 解：如解图，在BC边上截取CE＝CA，连接DE.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴AD＝DE，∠A＝∠1.
∵∠A＝2∠B，
∴∠1＝2∠B.
∵∠1＝∠B＋∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴EB＝AD＝8，
∴BC＝EC＋EB＝16＋8＝24.
第6题解图
7. 证明：如解图，延长BA至点F，使得BF＝BC，连接DF.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD.
在△FBD和△CBD中，
，
∴△FBD≌△CBD(SAS)，
∴FD＝CD，
∵AD＝CD，
∴AD＝FD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠DAF＝60°.
∴△ADF是等边三角形，
∴AF＝AD，
∴BC＝BF＝AB＋AF＝AB＋AD.
第7题解图
基础过关
1. 5　【解析】如解图，过点D作AB的垂线，垂足为点P，在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠PBD.∵∠C＝∠BPD＝90°，BD＝BD，∴△BDC≌△BDP(AAS)，∴BC＝BP＝6，CD＝PD.设CD＝PD＝x，在Rt△ADP中，∵PA＝AB－BP＝4，AD＝8－x，∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴AD＝AC－CD＝5.
第1题解图
2. 2＋2　【解析】 如解图，过点E作EG∥AC交AB于点G，∵∠BAC＝45°，AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝22.5°，∵GE∥AC，∴∠AEG＝∠CAD＝22.5°，∴∠GAE＝∠AEG＝∠CAD＝22.5°，∴∠EGF＝45°，AG＝EG.∵EF⊥AB，∴GF＝EF＝2，EG＝EF＝2，∴AF＝AG＋GF＝EG＋GF＝2＋2.
第2题解图
3. 4　【解析】 如解图，延长CE交BA的延长线于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠AEB.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝2.∵CE⊥BE，∴△BCF为等腰三角形，∴BC＝BF，E为CF的中点．∵AD∥BC，∴AE为△BCF的中位线，∴点A为BF的中点，∴BC＝BF＝2AB＝4.
第3题解图
4. (1)证明：在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE(SSS)，
∴∠POD＝∠POE，
∴射线OP是∠AOB的平分线；
(2)解：小新的观点正确．
理由：如解图①，过点P作PH⊥OA于点H，PK⊥OB于点K.
∵∠PHO＝∠PKO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠HPK＝120°，
∵∠DPE＝∠HPK＝120°，
∴∠DPH＝∠EPK.
∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，∴PH＝PK.
在△PHD和△PKE中，
，
∴△PHD≌△PKE(ASA)，
∴PD＝PE；
(3)解：OE＝2OD.
理由：如解图②，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT.
∵OP平分∠AOB，
∴∠POD＝∠POT.
在△POD和△POT中，
，
∴△POD≌△POT(SAS)，
∴∠ODP＝∠OTP.
∵PD∥OB，∴∠PDO＋∠AOB＝180°，∠DPE＋∠PEO＝180°.
∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，
∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，
∴∠OTP＝∠ODP＝120°，
∴∠PTE＝60°，
∴∠TPE＝∠PET＝60°，
∴TP＝TE.
∵∠PTE＝∠TOP＋∠TPO，∠POT＝30°，∴∠TOP＝∠TPO＝30°，
∴OT＝TP，∴OT＝TE.
∵OT＝OD，
∴OE＝2OD.
图①
　　
图②
第4题解图

展开更多......

收起↑