资源简介

全等三角形
1. 如图，点B，D，E，C在同一条直线上，若△ABD≌△ACE，∠AEC＝110°，则∠DAE的度数为________．
　第1题图
2. 如图，已知点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l异侧，且AC∥DF，AC＝DF.
(1)补充条件，求证△ABC≌△DEF.
①若要以“SAS”为依据，还缺条件________；
②若要以“ASA”为依据，还缺条件________；
③若要以“AAS”为依据，还缺条件________；
④若要以“SSS”为依据，还缺条件________；
⑤若∠A＝∠D＝90°，要以“HL”为依据，还缺条件________；
　第2题图
(2)在(1)的条件下，若BE＝20，BF＝6，求FC的长．
知识逐点过
考点1 　全等三角形的性质
概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
性质 1. 全等三角形的对应边①________，对应角②________；2. 两个全等三角形的周长③________，面积④________；3. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都⑤________
考点2 　全等三角形的判定
判定方法 SSS(边边边) SAS(边角边) ASA(角边角) AAS(角角边) HL
文字叙述 有三边分别相等的两个三角形全等(基本事实) 有两边和它们的⑥____分别相等的两个三角形全等(基本事实) 有两角和它们的⑦____分别相等的两个三角形全等(基本事实) 有两角及其中一个角的⑧____分别相等的两个三角形全等 ⑨____和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
图形
真题演练
命题点 与全等三角形有关的证明与计算
类型一　轴对称型
模型解读
模型展示
有公共边
有公共顶点
模型特点 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形能完全重合
解题思路 证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等
1. 如图，已知∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，求证：△OPD≌△OPE.
　第1题图
【变式题】
2. 如图，已知OC平分∠AOB，P为OC上一点，以点O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点D，E，连接PD，PE，求证：PD＝PE.
　第2题图
模型二　平移型
模型解读
模型展示
模型特点 沿同一直线(l)平移可得两三角形重合(BE＝CF)
解题思路 证明三角形全等的关键：(1)加(减)共线部分CE，得BC＝EF；(2)利用平行线性质找对应角相等
拓展训练
3. 如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.求证：AC∥DF.
　第3题图
模型三　自旋转型
模型解读
模型展示 共顶点
模型展示 不共顶点
模型特点 此模型可看成是将三角形绕某一个点旋转而成，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或者差中
解题思路 证明三角形全等的关键：(1)共顶点：加(减)共顶点的角的共角部分得一组对应角相等；(2)不共顶点：①加(减)共线部分CF得BC＝EF；②利用平行线性质找对应角相等
4. 如图，在△ABC和△DBE中，AB＝DB，∠1＝∠2，∠A＝∠D.求证：BC＝BE.
　第4题图
5. 如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE.
(1)求证：△ABC≌△DCE；
(2)连接AE，当BC＝5，DE＝13时，求AD的长．
　第5题图
基础过关
1. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，依据的数学基本事实是(　　)
第1题图
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D. 两点之间线段最短
2. 已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是(　　)
A. 76° B. 60° C. 54° D. 50°
第2题图　　　
3. 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是(　　)
A. ∠A＝∠D B. ∠AFB＝∠DEC C. AB＝DC D. AF＝DE
第3题图
4.如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为__________．
第4题图
5. 如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件__________，使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)
第5题图
6. 如图，点C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC.
求证：△ABC≌△EDC.
第6题图
如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.过点A作AE⊥BC，垂足为点E，延长EA至点D，使AD＝AC，在边AC上截取AF＝AB，连接DF.
求证：DF＝CB.
　第7题图
8. 如图，在△ABC中，BD为△ABC的角平分线，延长BD至点E，使BE＝BA，连接AE，CE，且∠ABE＝∠ACE.
(1)求证：△ABD≌△EBC；
(2)若∠BCE＝100°，求∠BCD的度数．
第8题图
综合提升
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为__________．
第9题图
10. 如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.
(1)求证：∠EAD＝∠EDA；
(2)若∠C＝60°，DE＝4时，求△AED的面积．
第10题图
11. 如图，AB＝AE，BC＝ED，有下列三个条件：①∠B＝∠E，②AC＝AD，③∠C＝∠D.
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△AED.
你选取的条件为(填写序号)__________(只需选一个条件，多选不得分)；
你判定△ABC≌△AED的依据是__________(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；
(2)利用(1)的结论△ABC≌△AED. 求证：∠BAD＝∠EAC.
第11题图
　全等三角形
1. 40°　【解析】∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝110°，∴∠ADE＝∠AED＝180°－110°＝70°，∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝40°.
2. 解：(1)①BC＝EF；②∠A＝∠D；③∠ABC＝∠DEF；④DE＝AB，且BC＝EF；⑤BC＝EF.
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC－CF＝EF－CF，即BF＝CE，
∵BE＝20，BF＝6，
∴CE＝BF＝6，
∴FC＝BE－BF－CE＝20－6－6＝8.
知识逐点过
①相等　②相等　③相等　④相等
⑤相等　⑥夹角　⑦夹边　⑧对边　⑨斜边
真题演练
1. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，(3分)
在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE(AAS).(8分)
【一题多解】证明：∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC为∠AOB的平分线，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE，(3分)
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).(8分)
2. 证明：根据尺规作图可知：OD＝OE，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
在△DOP和△EOP中，
∴△DOP≌△EOP(SAS)，
∴PD＝PE.
3. 证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠F＝∠ACB，
∴AC∥DF.
4. 证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠ABE＝∠2＋∠ABE，
即∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，
∴△DBE≌△ABC(ASA)，
∴BC＝BE.
5. (1)证明：∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE(AAS)；
(2)解：由(1)得△ABC≌△DCE，
∴AC＝DE＝13，AB＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝13，BC＝5，
∴AB＝＝12，
∴AD＝AC＋CD＝13＋12＝25，
即AD的长是25.
基础过关
1. A　【解析】∵点O为AA′、BB′的中点，∴OA＝OA′，OB＝OB′，∵∠AOB＝∠A′OB′(对顶角相等)，在△AOB与△A′OB′中，，∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴AB＝A′B′.
2. D　【解析】 第一个三角形中b，c之间的夹角为180°－76°－54°＝50°，∠1是b，c之间的夹角，∵两个三角形全等，∴∠1＝50°.
3. D　【解析】∵BE＝CF ，∴BF＝CE.∵∠B＝∠C ，逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A 添加∠A＝∠D，可利用角角边证明△ABF≌△DCE ，故本选项不符合题意 ×
B 添加∠AFB＝∠DEC，可利用角边角证明△ABF≌△DCE，故本选项不符合题意 ×
C 添加AB＝DC，可利用边角边证明△ABF≌△DCE，故本选项不符合题意 ×
D 添加AF＝DE ，无法证明△ABF≌△DCE，故本选项符合题意 √
4. 3　【解析】∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝8，∴CF＝EF－CE＝8－5＝3.
5. OB＝OC(答案不唯一)　【解析】添加的条件是OB＝OC.∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC(AAS).
6. 证明：∵点C是BD的中点，
∴BC＝DC.
在△ABC与△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC(SSS).
7. 证明：∵在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAB＝180°－∠B－∠C＝110°.
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠DAF＝∠AEC＋∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB.
又∵AD＝AC，AF＝AB，
∴△DAF≌△CAB，
∴DF＝CB.
8. (1)证明：∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠EBC.
∵∠ABE＝∠ACE，∠ADB＝∠CDE，
∴∠BAD＝∠BEC.
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC(ASA)；
(2)解：由(1)得，△ABD≌△EBC，
∴∠BDA＝∠BCE＝100°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD.
又∵∠ADB＋∠BDC＝180°，
∴∠BCD＝∠BDC＝80°.
9. 　【解析】 ∵AB∥CE，∴∠BAD＝∠CED.∵点D为BC的中点，∴BD＝CD.在△BAD和△CED中，，∴△BAD≌△CED(AAS)，∴CE＝AB.∵AC＝4，CE＝AB＝5，∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝3，∴CD＝BC＝.
10. (1)证明：∵∠B＝∠AED，
∴∠BEA＋∠BAE＝∠BEA＋∠CED，
∴∠BAE＝∠CED.
在△BAE和△CED中，
，
∴△BAE≌△CED(AAS)，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
(2)解：如解图，过点E作EF⊥AD于点F.
由(1)知EA＝ED，
∵∠AED＝∠C＝60°，
∴∠AEF＝∠DEF＝30°.
∵DE＝4，
∴DF＝DE＝2，
∴AD＝2DF＝4，EF＝＝＝2，
∴S△AED＝AD·EF＝×4×2＝4.
第10题解图
11. (1)解：①，SAS(或②，SSS)；
(2)证明：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC.

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