资源简介

相似三角形(含位似)
1. 如图，C为线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB＝2，则AC的长为(　　)
A. －1 B. ＋1 C. 3－ D. 3＋
第1题图
2. 如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第2题图
3. 如图，在△ABC中，D，E分别在AC，AB边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC的是(　　)
A. ∠ADE＝∠B B. ∠AED＝∠C C. ＝ D. ＝
第3题图
4. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接CD，BE交于点O，连接DE.
第4题图
(1)找出图中所有的相似的三角形：____________；
(2)DO∶CO＝________，＝________．
5. 如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O为位似中心，若OA′∶OA＝1∶3.
第5题图
(1)OB′∶OB＝________，A′B′∶AB＝________，位似比为________；
(2)若△ABC的周长为12，则△A′B′C′的周长为________；
(3)若∠BAC＝30°，则∠B′A′C′的度数为________．
知识逐点过
考点1 　比例线段及其性质
比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比①________c与d的比，即②________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段
比例的性质 性质1(基本性质)：如果＝，那么ad＝③________(bd≠0)；性质2(合比性质)：如果＝，那么＝④________(bd≠0)；性质3(等比性质)：如果＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝
黄金分割 如图，一般地，点C把线段AB分成AC和BC两段，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比(＝或AC≈0.618AB)注：一条线段上有两个黄金分割点　　　　
考点2 　平行线分线段成比例
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，如图，两条直线AC，DF被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，则＝
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，如图，在△ABC中，若DE∥BC，则＝，也可以说＝
考点3 　相似三角形的性质与判定
性质 1. 相似三角形的对应角⑤________，对应边⑥________；2. 相似三角形中的所有对应线段(高、中线、角平分线)成比例，且等于相似比；3. 相似三角形的周长比等于⑦________，面积比等于⑧________
判定方法 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且⑨______相等的两个三角形相似 三边⑩________的两个三角形相似
考点4 　位似
概念 如果两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行(或在一条直线上).我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比　　　
性质 1. 位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；2. 经过每对对应顶点的直线相交于一点(位似中心)；3. 两个位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比；4. 两个位似图形对应边平行(或在一条直线上)
【温馨提示】位似是相似的特例．位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
真题演练
模型解读
模型一　A字型
类型 正“A”字型 斜“A”字型
模型展示
模型特点 有共用的一组角∠A，并且有另外一组角相等，形似“字母A”
解题思路 找同侧的一组相等角 找异侧的一组相等角
结论 △ADE∽△ABC ＝＝ △ADE∽△ACB ＝＝
模型二　8字型
类型 正“8”字型 斜“8”字型
模型展示
模型特点 有一组角为对顶角，并且有另外一组角相等，形似“数字8”
解题思路 找对顶角之外的另一组角相等，或对顶角的两边对应成比例
结论 △AOB∽△DOC ＝＝ △AOB∽△COD ＝＝
命题点1 黄金分割数
1. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了(　　)
A. 黄金分割数 B. 平均数
C. 众数 D. 中位数
命题点2 与相似三角形有关的证明与计算
2. 在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为(　　)
A. B. C. D.
拓展训练
3. 如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，＝，BF＝8，则DE的长为(　　)
A. B.
C. 2 D. 3
　第3题图
4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
　第4题图
5. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AB＝2AD，AC＝2AE.若△ADE的面积为2，求四边形BCDE的面积．
　第5题图
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点A作AD∥BC，连接DC交AB于点E，过点B作BF⊥DC于点F.
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)若AD＝2，AE＝1，求的值．
　第6题图
基础过关
1. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，这体现了数学中的(　　)
A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割
第1题图　　
2. 若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形对应边的比是(　　)
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16
3. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.若AD＝2，BD＝3，则的值是(　　)
A. B. C. D.
　
第3题图
4. 如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径A B. 如果OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝3 cm，则零件的厚度x为(　　)
A. 0.3 cm B. 0.5 cm C. 0.7 cm D. 1 cm
第4题图
5. 如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(　　)
A. ＝ B. ∠B＝∠D C. ∠C＝∠AED D. ＝
第5题图
6. 如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC＝6，则线段CM的长为(　　)
A. B. 7 C. D. 8
第6题图
7. 如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为__________．
第7题图
8. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3.若A(9，3)，则A1的坐标是__________．
第8题图　
9.如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为__________cm.(结果保留根号)
第9题图
10. 如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.
(1)求证：△ABC∽△AEB；
(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．
第10题图
综合提升
11. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且＝，则AE的长为(　　)
　
第11题图
A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2
12. 如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为(　　)
第12题图
A. 12 B. 14 C. 18 D. 24
13. 小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
第13题图
相似三角形(含位似)
1. A　【解析】∵C为线段AB的黄金分割点，AC＞BC，AB＝2，∴AC＝AB＝×2＝－1.
2. D　【解析】∵a∥b∥c，∴＝，∵＝，DE＝3，∴EF＝6.
3. C　【解析】∵∠DAE＝∠BAC，∴当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；当∠AED＝∠C时，△ADE∽△ABC；当＝时，△ADE∽△ABC；C选项不满足两边对应成比例且夹角相等，∴不能判断△ADE∽△ABC.
4. (1)△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB；
(2)1∶2，　【解析】∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DOE∽△COB，∴＝＝，＝()2＝，设S△DOE＝x，则S△COB＝4x，∵BO∶OE＝CO∶OD＝2∶1，∴S△DOB＝S△COE＝2x，∴S四边形DECB＝9x.∵E为AC的中点，∴S△ADE＝S△DEC＝3x，∴S△ABC＝S△ADE＋S四边形DECB＝12x，∴＝.
5. (1)1∶3，1∶3，1∶3；
(2)4；
(3)30°.
知识逐点过
①等于　②＝　③bc　④　⑤相等　⑥成比例　⑦相似比　⑧相似比的平方　⑨夹角　⑩对应成比例
真题演练
1. A
2. C　【解析】∵点D，E分别为边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝()2＝()2＝.
3. A　【解析】∵DE∥BC，EF∥AC，∴∠B＝∠AED，∠BEF＝∠A，∴△BEF∽△EAD，∴＝＝，∵BF＝8，∴DE＝.
4. 解：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA，
∴＝，
∴＝，解得BD＝，
∴BD＝.
5. 解：∵AB＝2AD，AC＝2AE，
∴AE∶AC＝AD∶AB＝1∶2，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝()2＝()2＝，
∵△ADE的面积为2，
∴△ABC的面积为8，
∴S四边形BCDE＝S△ABC－S△ADE＝8－2＝6.
6. (1)证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠ABC，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△ADE∽△BCE；
(2)解：∵BF⊥DC，
∴∠BFE＝∠DAE＝90°，
∵∠AED＝∠FEB，
∴△AED∽△FEB，
∴＝，即＝，
∴FB＝2FE，
在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE＝，即BE＝EF，
∴＝＝.
基础过关
1. D　2. B
3. A　【解析】∵DE∥BC，AD＝2，BD＝3，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝.
4. B　【解析】∵∠COD＝∠AOB，OA∶OC＝OB∶OD＝3，∴△OCD∽△OAB，∴＝＝3.又∵CD＝3，∴AB＝9，故零件厚度为(10－AB)×＝0.5 cm.
5. D　【解析】 ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE.A.＝，符合相似三角形的判定定理，能推出△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B．∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，符合相似三角形的判定定理，能推出△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；C.∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠AED，符合相似三角形的判定定理，能推出△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；D.＝，∠BAC＝∠DAE，不符合相似三角形的判定定理，不能推出△ABC∽△ADE，故本选项符合题意．
6. C　【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3，DE∥BC，∴△DEF∽△BMF，∴＝＝，∴MB＝ED＝，∴CM＝MB＋BC＝.
7. 　【解析】∵AB∥EF∥CD，∴＝＝.∵AO＝2，OF＝1，FD＝2，∴＝＝.
8. (3，1)　【解析】 ∵△ABC与△A1B1C1位似，＝3，∴＝3.∵A(9，3)，∴点A1的坐标是(3，1).
9. (80－160)　【解析】由题意，得弦AB＝80 cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC＝x cm，则AC＝(80－x)cm，∴＝，解得x＝120－40.∵点D是靠近点A的黄金分割点，∴设AD＝y cm，则BD＝(80－y)cm，∴＝，解得y＝120－40，∴支撑点C，D之间的距离为80－x－y＝80－120＋40－120＋40＝(80－160)cm.
10. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，AC为对角线，
∴∠ACD＝∠ACB.
∵∠ACD＝∠ABE，
∴∠ACB＝∠ABE.
又∵∠BAC＝∠EAB，
∴△ABC∽△AEB；
(2)解：∵△ABC∽△AEB，
∴＝.
∵AB＝6，AC＝4，
∴＝，
∴AE＝9.
11. D　【解析】 在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°.∵点D是AB的中点，∴AD＝.∵＝，∴DE＝1.如解图①，当∠ADE＝90°时，∵∠ADE＝∠ABC，＝，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AE＝2.如解图②，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH.∵点D是AB中点，点H是AC的中点，∴DH∥BC，DH＝BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1.综上，AE的长为1或2.
图①
　　
图②
第11题解图
12. C　【解析】 如解图，连接BD.∵点P是△ABC的重心，D是边AC的中点，∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，∴BP∶PD＝2∶1.∵DF∥BC，∴△DFP∽△BEP，∴＝.∵EF∥AC，∴△BEP∽△BCD，∴＝()2＝()2＝.设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m.∵四边形CDFE的面积为6，∴m＋9m－4m＝6，∴m＝1，∴△BCD的面积为9，∴△ABC的面积是18.
第12题解图
13. 2　【解析】当＝＝时，a＝b，c＝b，∴＝2.

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