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《应用统计学》第九章
时间序列预测与分析
应用统计学
第一节 时间序列简述
第二节 发展水平指标
第三节 发展速度指标
第四节 时间序列的趋势分析与预测
应用统计学
CONTENTS
目录
第一节 时间序列简述
应用统计学
时间序列的意义
时间序列又称动态序列，将某一统计指标在不同时间上的各个数值，按时间的先后顺序排列，就形成一个时间序列。
它由两个基本要素构成：一是现象所属的时间，二是现象在各个时间的指标数值。
应用统计学
时间序列的作用
描述事物的发展状态和结果，观察事物的发展变化过程，以达到认识和解释之目的；
v 研究现象发展的方向、程度和趋势；
v 探索其发展变化的规律，对社会现象进行历史对比和预测；
v 分析相关事物之间发展变化的依存关系；
v 用于不同地区不同国家间的比较分析，说明现象在不同空间的差异程度。
应用统计学
时间序列的种类
应用统计学
根据编制时间序列的指标的表现形式分类：
绝对数时间序列
时期序列
相对数时间序列平均数时间序列
时点序列
应用统计学
表9.1
时间序列示例表
年份 2011 2012 2013 2014 2015
某地工业增加 值（亿元） 108.2 112.4 124.6 150 186.7
第三产业占国 内生产总值比 重（%） 33.4 34.1 32.7 31.9 30.7
职工平均 工资（元） 2340 2711 3371 4538 5500
编制时间序列的原则
时期长短应该相等
总体范围应该一致
经济内容应该统一
计算方法要一致
计算价格和计量单位要一致
应用统计学
第二节 发展水平指标
应用统计学
应用统计学
发展水平和增减水平时间数列中每个指标数值称为发展水平。
分类：最初水平、最末水平、基期水平、报告期水平
增减水平：表示现象在一定时期内增减的绝对数量。
增减量=报告期水平-基期水平
逐期增减水平=
累计增减水平= α1 α0,α2 α0,α3 α0 ,..., αn α0
年距增减水平 = 本期发展水平- 去年同期发展水平
α1 α0,α2 α1,α3 α2 ,..., αn αn 1
应用统计学
平均发展水平和平均增减水平：
平均发展水平是时间序列中各个时期 或时点的发展水平的平均数，表明现象在较长时间内发展的一般水平。又称为 “序时平均数”
序时平均数与一般平均数的关系：
相同点：都舍弃了现象的个别差异，以反映现象总体的一般水平。
区别：序时平均数舍弃的是现象在不同时间上的数量差异，它能够从动态上说明现象在一定时期内发展变化的一般趋势；一般（静态）平均数舍弃的是总体各单位某一数量标志值在同一时间上的差异，是从静态上说明现象总体各单位的一般水平。
应用统计学
1、根据绝对数时间序列计算序时平均数
（1）根据时期序列计算序时平均数：
a n
a
i

（2）根据时点序列计算序时平均数，时点序列有连续的和间断的两类。
应用统计学
连续时点序列计算序时平均数的方法有：
间隔相等：
间隔不等：
a
f为时间间隔长度
f
af
n
a a
应用统计学
间断的时点数列计算序时平均数：
A)间隔相等：
首末折半法：
a a1 / 2 a2 ... an 1 an / 2
n 1
应用统计学
例：求下面资料中第三季度的平均商品库存额
第三季度的平均商品库存额为：
a 100 / 2 120 110 104 / 2 110.7(万元)
4 1
时间 6月30日 7月31日 8月31日 9月30日
商品库存额 100 120 110 104
应用统计学
B)间隔不等：
用间隔长度作为权数进行加权平均
f1 f2 ... fn 1
n 1
... an 1 an f
2
a1 a2 f a2 a3 f
1
2
2 2
a
例：[9-4]
应用统计学
2、根据相对数时间数列计算序时平均数
总的原则：分别求出分子、分母序列的序时平均数，然后再进行对比。
若C a 则C a
b b
例：[9-5]，[9-6]
应用统计学
例：某工厂2016年下半年各月的劳动生产率资料,
如下表所示，要求计算2016年下半年平均月劳动生产率。
12月末职工人数910人。
7月 8月 9月 10月 11月 12月
总值 （万元） 70.61 73.71 76.14 83.83 90.10 108.24
月初职工人 数（人） 790 810 810 830 850 880
应用统计学
c
70.61 73.71 76.14 83.83 90.10 108.24

790 / 2 810 810 830 850 880 910 / 2
7 1
0.1005(万元 / 人)

6
a
b
应用统计学
3、根据平均数时间序列计算序时平均数
（1）一般平均数时间序列计算序时平均数： 方法同相对数时间序列计算序时平均数。
（2）序时平均数时间序列计算序时平均数： 如果时期相等，用简单平均法 如果时期不相等，用加权平均法
应用统计学
例：根据下表求平均职工人数
平均职工人数=
800 1 700 2 900 3
1 2 3
817(人)
时间 1月 2-3月 4-6月
平均职工人数（人） 800 700 900
应用统计学
平均增减水平
平均增减水平又称平均增减量，是用来表明某种现象在较长时期内平均每期增减的绝对量。
计算平均增减水平的方法有两种：水平法和总和法。
应用统计学
水平法：
时间数列项数 1
逐期增减水平之和 累计增减水平
a
逐期增减水平个数
n
an a0
应用统计学
总和法：
n(n 1)
2 (ai a0 )
a
(a0 a) (a0 2 a) (a0 n a) a1 a2 an
na0 a(1 2 n) ai
a(1 2 n) (ai a0 )
第三节 发展速度指标
应用统计学
应用统计学
一、发展速度和增减速度
发展速度=报告期水平/基期水平
环比发展速度： a1 , a2 , a3 ,...., an
定基发展速度： a1 , a2 , a3 ,...., an
年距发展速度： 本年发展水平
上年同期发展水平
0
a0 a0 a0
an 1
a0 a1 a2
a
应用统计学
增减速度：
增减速度 = 增减量/基期水平
= 发展速度-1
环比增减速度=环比发展速度-1
定基增减速度=定基发展速度-1
注意：环比增长速度的连乘积不等于定基增长速度
应用统计学
表9.2 某企业2010—2015年工业总产值
年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015
总产值 （万元） 10 12 15 14 18 20
发 展 速 度 环 比 -- 120 125 93.3 128.6 111.1
定 基 100 120 150 140 180 200
增 减 速 度 环 比 -- 20 25 -6.7 28.6 11.1
定 基 -- 20 50 40 80 100
应用统计学
增长率分析中应注意的问题
v 当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率
假定某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，对这一序列计算增长率，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析
v 在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合分析
应用统计学
例： 假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表,试比较两企业的实际增产情况。
甲、乙两个企业的有关资料 年 份 甲 企 业 乙 企 业 利润额(万元) 增长率(%) 利润额(万元) 增长率(%)
2015 500 — 60 —
2016 600 20 84 40
应用统计学
计算增长率每增长一个百分点而增加的绝对量用于弥补增长率分析中的局限性
计算公式为
甲企业增长1%绝对值=500/100=5万元
乙企业增长1%绝对值=60/100=0.6万元
应用统计学
二、平均发展速度和平均增减速度
平均发展速度是各期环比发展速度的平均数，表明现象在一段时间内逐期发展的平均速度。
平均增减速度是各期环比增减速度的平均数，表明现象在一段时间内逐期增减的平均速度。
平均增减速度＝平均发展速度－１
应用统计学
平均发展速度的计算：几何平均法和方程式法
几何平均法也称为水平法，其计算公式为：
n
G
n
an
G
n
n
G
R
x
a
x
x x ...x
x
0
1 2
应用统计学
举例：某企业2010—2015年工业总产值资料
年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015
总产值（万元） 10 12 15 14 18 20
发展 速度 环比 -- 120 125 93.3 128.6 111.1
定基 100 120 150 140 180 200
应用统计学
解：平均发展速度
200% 118.92%
x 5 R 5
20 118.92%
10
a0
a5
x 5
5
5 120% 125% 93.3% 128.6% 111.1%
118.92%
x 5
xi
应用统计学
例：某企业14年、15年、16年工业总产值的环比增减速度分别为6%、8%、9%，求这三年间工业总产值的平均增减速度。
平均增减速度 3 106% 108% 109% 1
107.659% 1
7.659%
应用统计学
方程式法（累计法）:
下述一元高次方程的正根，就是所求的平均发展速度：
( x x 2 x 3 ... xn ) ai 0
a0
求解高次方程较为复杂，实际工作中可按《平均增长速度查对表》来查对。
应用统计学
几何平均法和方程法的比较：
几何平均法 方程法
侧重考察最末一期的水平，
侧重考察整个时期各期水平
特点 计算结果 要求推算的最末水平等于实 的累计总和，要求推算的各
际最末水平 期水平总和等于各期实际水
计算过程 不考虑中间各期水平的变化 平总和
考虑各期水平的变化
优缺点 所需资料较少，计算简便。 考虑了中间各期水平波动的
当中间各期水平波动较大时 ， 影响，所需资料较多，计算
不能确切反映现象发展变化 复杂
的一般水平 应用范围 可用于时期数列和时点数列 一般只适用于时期数列
应用统计学
应用平均速度指标应注意的问题
v 平均速度指标计算方法的选择要考虑研究目的和研究对象的性质特征；
v 几何法的应用要与具体的环比速度分析相结合；
v 对平均速度指标的分析要充分利用原始时间序列的信息。
第四节 时间序列的趋势分析与预测
应用统计学
应用统计学
时间序列的变动分析是根据影响事物发展变化因素，采用科学的方法，将一时间序列受各类因素的影响状况分别测定出来，研究现象发展变化的原因及其规律性，为预测未来和决策提供依据。
应用统计学
一、时间序列变动因素的分解：
v 长期趋势变动 T
v 季节变动 S
v 循环变动 C
v 不规则变动 I
应用统计学
长期趋势变动指时间序列在较长持续期内展现出来的总态势。具体表现为：不断增加或减少的基本趋势，也可以表现为只围绕某一常数值波动而无明显增减变化的水平趋势。
季节变动是指由于自然季节因素（气候条件）或人文习惯季节因素（节假日）的影响，时间序列随季节更替而呈现的周期性变动。季节变动一般以年为周期。
应用统计学
循环变动是指时间序列中出现以若干年为周期、上升与下降交替出现的循环往复运动。
不规则变动是指除上述各种变动以外，现象因临时的、偶然的因素而引起的随机变动，这种变动无规则可循，是无法预知的。
应用统计学
v 加法模型：四种变动因素是相互独立的时
y=T+S+C+I
v 乘法模型 ：四种变动因素是相互影响、交叉作用时
y=T S C I
时间数列分析的基本模型
应用统计学
二、长期趋势变动分析：
测定长期趋势的变动是采用一定的方法对时间数列进行修匀，使修匀后的数列呈现出现象变动的基本趋势，作为预测的依据。
应用统计学
1、时距扩大法：
时距扩大法又称间隔扩大法，是将原来间隔（时距）较小的时间数列，加工整理成间隔较大的时间数列，以消除因间隔较小而受偶然因素影响所引起的波动，显现出现象变动的总趋势。
应用统计学
注意：扩大时距后，可用总量指标表示，也可用平均指标表示，前者只用于时期数列，后者既可用于时期数列，也可用于时 点数列。
[例9-9]：
应用统计学
２、移动平均法
移动平均法又称为继动平均法。它是将原来的时间序列的时距扩大，采取逐项依次递移的办法，计算扩大时距后的各个指标数值的序时平均数，形成一个派生的时间序列。
应用统计学
简单移动平均法也称中间移动平均法，指计算出的移动平均数必须代表移动平均中项的 趋势测定值。
v n为奇数时，一次可得出趋势值
v n为偶数时，需要二次修正。
1、简单移动平均：
i N 1
ai 1 ai ai 1 a
i
N 1
2 2
1
ai a
N



a a a a
i 1 i i 1
i 1
i 1
2
2
2
2
1 1
1
N 2
2
ai
a N a
N
N
N a
i
i







应用统计学
加权移动平均法是对各期指标值进行加权后计算移动平均数。在中心化移动平均中，移动平均数代表移动平均中项时期的长期趋势值。
一般计算奇数项加权移动数，各期权数以二项展开式为计算基础，使得中项时期指标值的权数最大，两边对称，逐期减小。
2、加权移动平均：
应用统计学
v 对于N=3，以系数1，2，1进行加权
v 对于N=5，以系数1，4，6，4，1进行加权
a at 1 2at
at 1
4
t
a at 2 4at 1 6at
4at 1 at 2
16
t
应用统计学
应用移动平均应注意的问题：
一般情况下，尽可能用奇数项移动平均
移动平均的项数n，一般是根据资料的具体特点来选定。
派生序列的项数比原序列的项数少。
只有当原序列的基本趋势为直线形式时，这一系列的移动平均数才与该序列的基本趋势符合。
应用统计学
3、分段平均法：
分段平均法是将时间序列各项指标数值分为两个部分,分别求其平均数,将根据这两个平均数求其趋势直线方程式。
yc y1 t t1 y1 y2 t1 t2
应用统计学
4、最小二乘法(直线趋势的拟合）：
适用范围：时间序列的一级增量大体相同
设直线趋势方程为：yc=a+bt
最小二乘法的原理：就是配合直线趋势的观测值，
使偏差平方和 为最小的方法。
2
i c
(y y )
b n ty t y n t 2 ( t )2
a y bt
应用统计学
例：根据下表，y为石油产量（百万桶）建立直线趋势方程。
年份 t y ty t 2 yc
2011 0 5 0 0 4.6
2012 1 8 8 1 8.3
2013 2 12 24 4 12.0
2014 3 15 45 9 15.7
2015 4 20 80 16 19.4
合计 10 60 157 30 60.4
应用统计学
n t 2 ( t)2
5 157 10 60 3.7 5 30 102
a y bt 60 3.7 10 4.6
5 5
yc 4.6 3.7t
当t 7时 : y2018 4.6 3.7 7 30.5
n ty t y
b
应用统计学
例：如以时间序列的中间一年为原点，则有
年份 t y ty t 2
2011 －２ 5 －１０ ４
2012 －１ 8 －８ １
2013 ０ 12 ０ ０
2014 １ 15 １５ １
2015 ２ 20 ４０ ４
合计 ０ 60 ３７ １０
应用统计学
a y 60 12
5
yc 12 3.7t
当t 5时, y2018 12 3.7 5 30.5
b ty 37 3.7
10
t 2
应用统计学
如果序列有偶数项，则按下列方法对应：
仍然有
t 0
年份 10 11 12 13 14 15
x -5 -3 -1 1 3 5
应用统计学
4、最小二乘法(曲线趋势的拟合）：
二次抛物线：
yc=a+bt+ct2
指数曲线
yc=abt
一般可以通过SPSS进行求解
应用统计学
三、季节变动的测定
测定季节变动的基本思想测定季节变动就是采用一定的方法，对按月按季编制的时间数列，计算季节比率，以反映季节变动的方向、程度和一般规律。
应用统计学
季节变动的测定方法
1、按月（按季）平均法：不考虑长期趋势影响，直接求季节比率
季节比率 各月（季）平均数
总的月（季）平均数
应用统计学
注意：
各月份季节指数之和理论上应等于1200%，
各季度季节指数之和理论上等于400%，
但实际中由于计算的原因会致使其不相等，
如果有误差，可利用调整系数来调整季节指数。
调整系数公式：
月（季）调整指数 1200%（或400%）
月（季）季节指数
应用统计学
２、长期趋势剔除法：
v 先按移动平均法测定长期趋势，再从原序列采用除法将其剔除，对剩余部分重新排列，再求季节比率。
应用统计学
四、季节预测模型
v 如果已测得下一年的全年预测值，则各月（季）的预测值等于月（季）平均预测值乘以该月的季节比率。
v 如果已知下一年头几个月（季）的实际数，则以后各月（季）的预测值等于已知月（季）的实际数乘以后月（季）季节比率与已知月（季）季节比率的比值。
应用统计学
举例:
某商店的2、3月份季节比率分别为：0.8537、0.9745，而现在实际零售额2、3 月份分别为19.6、21.9万元，试问这两个月的工作成绩哪个月好？
考虑季节因素： 2月份：19.6/0.8537=22.96
3月份：21.9/0.9745=22.47
如内外环境情况无重大变动，应认为3月份的工作成绩较差。
应用统计学
实例：
v 某商品从2011年到2016年，每年各季度销售量资料如下表，试预测2017年各季度的销售量。
年度 一季度 二季度 三季度 四季度 全年销售 全年季平均
2011 28 24 17 27 96 24
2012 33 28 21 33 115 28.8
2013 34 29 19 34 116 29
2014 41 34 24 33 132 33
2015 40 34 24 40 138 34.5
2016 46 37 27 43 153 38.3
合计 222 196 132 210 750 187.6
同季平均 37 31 22 35 31.3
季节指数 1.184 0.991 0.704 1.12 1
某商品历年销售量表
应用统计学
求直线趋势方程：
趋势方程为：Y=22.54+2.503t
2017年季平均销售量预测值y2017=22.54+2.503 7=40.06 利用各季节指数修正季平均销售量，求出各季度的预测值：
Y2017.1=40.06 1.184=47.43 Y2017.3=40.06 0.704=28.2
Y2017.2=40.06 0.991=39.7 Y2017.4=40.06 1.12=44.87
年度 2011 2012 2013 2014 2015 2016
序号t 1 2 3 4 5 6
平均季节销量y 24 28.8 29 33 34.5 38.3
应用统计学
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