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第4章　
4.1　动态数列概述
4.2　动态数列水平分析指标
4.3　动态数列速度分析指标
4.4 长期趋势的测定与预测
4.5 季节变动的测定与预测测定与预测
4.6 用Stata软件进行长期趋势的测定六节 用Stata软件进行长期趋势的测定
动态序列
第4章
通过学习掌握动态数列的含义、分类、编制原则；
掌握发展水平、增长量、发展速度及其平均值的计算；
熟悉动态数列各指标间的关系；
掌握长期趋势的测定方法；
了解季节变动的测定方法及预测方法；
掌握利用Stata软件进行长期趋势测定的操作方法。
动态序列
本章教学目的
第4章
动态数列的含义及作用；
动态数列的分类；
动态数。列。的编制原则
动态序列
本章重点和难点
第4章
动态数列是指以时间顺序为基础，对某一对象的观测值进行有序排列，从而形成的数据集合。由于动态数列与时间这一特定指标息息相关，所以，动态数列又可以称为时间数列。动态数列包含两个基本要素，一个是取得相关数据的时间(常用t表示)，另一个是相关数据本身的具体数值(常用y表示)。举例如表4-1所示。
4.1.1 动态数列的含义及作用
4.1 动态数列概述
第4章
表4-1 某学校2020年1—6月各阶段毕业年级网络教学测试平均成绩
月份 小学部 初中部 高中部
1 88.3 82.0 78.6
2 89.9 83.5 80.1
3 90.6 89.6 80.5
4 92.1 85.4 82.7
5 94.0 88.7 85.6
6 94.3 90.3 85.0
4.1 动态数列概述
4.1.1 动态数列的含义及作用
第4章
在表4-1中，2020年1—6月某学校的小学部、初中部、高中部的月网络教学测试平均成绩数值，构成了三个动态数列，其中1—6月就是时间要素t，而各阶段毕业生每月平均成绩的具体数值就是统计数据y。
由此可见，动态数列的研究具有重要作用和意义。首先，通过编制相关动态数列，可以了解相关现象发展的现状和趋势；其次，通过动态数列的研究可以了解相关现象发展的趋势及速度；最后，通过动态数列的研究可以对某一现象的发展进行一定程度的预测。
4.1.1 动态数列的含义及作用
4.1 动态数列概述
第4章
动态数列指标根据性质或表现形式的不同可以分为总量指标(绝对数)动态数列、相对指标(相对数)动态数列和平均指标(平均数)动态数列三种。三者之间的关系是以总量指标动态数列为主，相对指标动态数列和平均指标动态数列则是在总量指标动态数列基础上的一种衍生。举例如表4-2所示。
年 份 国内生产总值(亿元) 年末全国人口(万人) 女性人口比重(%) 城镇居民人均可支配收入(元)
2010 412119.3 134091 48.73 19109
2011 487940.2 134735 48.74 21810
2012 538580.0 135404 48.75 24565
2013 592963.2 136072 48.76 26467
2014 643563.1 136782 48.77 28844
2015 688858.2 137462 48.78 31195
2016 746395.1 138271 48.79 33616
2017 832035.9 139008 48.83 36396
2018 919281.1 139538 48.87 39251
2019 986515.2 140005 48.91 42359
4.1.2 动态数列的分类
4.1 动态数列概述
第4章
1．总量指标(绝对数)动态数列
总量指标动态数列又称绝对数动态数列，是指按照时间顺序将某一总量指标进行排列后所形成的动态数列。该指标反映的是某现象在各时间上达到的绝对水平及变化情况。
例如，表4-2中国内生产总值和年末全国人口两个动态数列就属于总量指标(绝对数)动态数列。它们是计算相关相对指标(相对数)动态数列和平均指标(平均数)动态数列与动态分析的基础。在此基础上，由于时间要素的特征存在差异，总量指标(绝对数)动态数列又可以分为时期数列与时点数列两类。
4.1 动态数列概述
4.1.2 动态数列的分类
第4章
(1)时期数列。
在总量指标(绝对数)动态数列中，如果时间要素以“时间段”为指标，则计算的是在这一时间段中某种现象的总量，这种总量指标(绝对数)动态数列就是时期数列。
例如，在表 4-2中，2010—2019年国内生产总值动态数列就属于时期数列，其中每项数据对应的都是相应年份内的国内生产总值经济指标。时期数列具备以下特征。
4.1 动态数列概述
4.1.2 动态数列的分类
第4章
② 时期数列中每个指标数值大小与对应时期的长短成正比，即时期越长，其对应的指标数值越大，个别情境下也会出现不变的情况。例如，在表4-2中，2010—2019年每年的国内生产总值都远远小于十年相加之和。而具体时期长短的选择取决于研究的目的，一般常用的单位包括日、旬、月、季、年等。
③ 时期数列中的数值一般是通过连续不断的记录所取得的。这也在一定程度上决定了特征①，保证了数值相加的经济学意义。
4.1 动态数列概述
4.1.2 动态数列的分类
第4章
① 时期数列各指标数值可相加，且具有经济学意义。原因在于，时期数列中的每个数值表示相应时间段的指标总量，且数列中相应时间段连续，将几个连续时间段的数值相加等于得到了相应更长时间段内的指标总量。
例如，表4-2中的国内生产总值动态数列，将2010—2019年对应的国内生产总值数据相加后得到6 848 251.3亿元，表示从2010—2019年十年间的国内生产总值为684851.3亿元，即由10个时期合并为1个时期。
4.1 动态数列概述
4.1.2 动态数列的分类
第4章
(2)时点数列。
在总量指标(绝对数)动态数列中，如果时间要素是以“时间点”为指标，则计算的是在某一特定时间点上某种现象的数量，这种总量指标(绝对数)动态数列就是时点数列。
例如，表 4-2中的2010—2019年年末全国人口动态数列就属于时点数列，其中每项数据对应的都是相应年份年底最后时刻全国人口数量指标。
4.1 动态数列概述
4.1.2 动态数列的分类
第4章
时点数列具备以下特征。
① 时点数列各指标数值不可相加，且相加不具有经济学意义。
② 时点数列中每个指标数值大小与对应时期的长短无直接关系，即时期长短，不影响其对应的指标数值大小。
③ 时点数列中的数值一般是通过一定时期记录一次的方式取得的。
4.1 动态数列概述
4.1.2 动态数列的分类
第4章
(3)时期数列与时点数列的主要差异。
① 时期数列各数值可相加，且具有经济学意义，而时点数列则不能。
② 时期数列中每个指标数值大小与对应时期的长短有关，而时点数列则没有。
③ 时期数列各指标数值通过连续记录取得，而时点数列则是通过间断记录取得的。
4.1 动态数列概述
4.1.2 动态数列的分类
第4章
2．相对指标(相对数)动态数列
相对指标动态数列又称相对数动态数列，是指按照时间顺序将某一相对指标进行排列后所形成的动态数列。它反映某现象在另一现象的基础上表现出的相对变化情况，说明某种社会(经济)现象的对比关系、结构形式和发展速度的变化过程。
例如，在表4-2中，2010—2019年全国女性人口比重就属于相对指标(相对数)动态数列。这一数列形式的特征与时点数列相似，即各指标数值不能相加，且相加无经济学意义。
4.1 动态数列概述
4.1.2 动态数列的分类
第4章
3．平均指标(平均数)动态数列
平均指标动态数列又称平均数动态数列，是指按照时间顺序将某一平均指标进行排列后所形成的动态数列。它反映某现象在一定时期内的平均变化情况，说明某种社会(经济)现象的一般发展趋势。
例如，在表4-2中，2010—2019年城镇居民人均可支配收入就属于平均指标(相对数)动态数列。这一数列形式的特征也与时点数列相似，即各指标数值不能相加，且相加无经济学意义。但在计算序时平均数时，需要将其相加进行计算。
一般情况下，在进行相关紧急现象分析时，常将上述各动态数列组合使用，使分析结果更加全面及可信。
4.1 动态数列概述
4.1.2 动态数列的分类
第4章
1.时期长短的一致性
因为作为动态数列的时期数列，其特征之一是每个指标数值大小与对应时期的长短成正比，即时期长短直接影响相应数值的大小，而一旦时期长短不一致，就会导致相应数据无法直接进行比较，所以一般情况下要求动态数列中时期长短应保持一致。而就时点数列来说，虽然其数值大小不受时期长短的影响，但为了便于比较，同时也为了便于找出现象发展的规律，原则上也要求时点数列的时间间隔保持一致。
4.1 动态数列概述
4.1.3动态数列的编制原则
第4章
2．总体范围的一致性
除时间要素影响动态数列相关数据以外，动态数列的取值范围也直接影响动态数列相关数据的大小。例如，研究某一城市的经济发展情况，前提是这一城市的行政区域无变化，因为行政区域一旦改变，其经济规模和形式等就会发生改变，造成前后数据的不可比，而需要通过一定的调整，统一总体范围后，才能进行对比。
4.1 动态数列概述
4.1.3动态数列的编制原则
第4章
3．指标内容的一致性
动态数列各指标数值，必须统一在同一含义或者内容的范畴内，才具有可比性。而不同内容及含义的指标，则不能编制在同一动态数列内。同时应注意，同一指标所处的环境和背景，在不同环境和背景下同一指标也会呈现出不同含义，致使可比性缺失。例如，私营企业与国营企业的经济内容存在一定差异，在很多时候不能单纯地将二者进行混合，进而以动态数列的形式来比较。
4.1 动态数列概述
4.1.3动态数列的编制原则
第4章
4．计算口径的一致性
对于同一动态数列而言，在进行比较分析时，保证计算方法、计量单位等计算口径的一致性，也是保证比较结果科学有效的前提。例如，在研究某企业产品合格率变化问题时，如果各时期的计算口径不一致，有的按合格品数量计算，有的按不合格品数量计算，有的按合格品率计算，有的按不合格品率计算。这样，各指标之间就失去了可比性，从而无法形成有效的动态数列，更无法通过比较说明该企业的产品合格率变化问题。
4.1 动态数列概述
4.1.3动态数列的编制原则
第4章
4.2.1发展水平
4.2.2平均发展水平
4.2.3增长量与平均增长量
4.2 动态数列水平分析指标
第4章
在动态数列中，以时间顺序排列的各项具体指标的数值称为发展水平，或者动态数列水平，常用a0，a1，a2，…，an表示。
发展水平既可以是总量指标，如国内生产总值、年末全国人口数等；也可以是相对指标，如女性人口比重等；还可以是平均指标，如城镇居民人均可支配收入等。在动态数列中处于首位的指标数值称为最初水平，一般用a0表示，处于末位的指标数值称为最末水平，一般用an表示，而其余各指标数值称为中间水平。如果要比较动态数列中两个时间的发展水平，作为被对比时期的指标水平称为基础水平，作为对比时期的指标水平称为报告期水平或计算期水平。
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.1发展水平
第4章
如表4-3所示，2020年下半年我国手机产量的最初水平为7月的12 225.8万台，而12月的16 495.5万台为最末水平，其余各数值为中间水平。如果用符号表示，则7—12月分别用a0，a1，…，a5表示。如果将12月的手机产量与7月的手机产量进行对比，那么7月的手机产量就是基础水平，而12月的手机产量就是报告期水平或计算期水平。
月 份 7月 8月 9月 10月 11月 12月
产 量 12225.8 13120.1 14877.8 13101.3 14966.3 16495.5
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.1发展水平
第4章
平均发展水平是指将动态数列中不同时期的发展水平加以平均而得到的平均数，反映的是某一现象在某一时间段内的一般发展水平。
要注意的是，平均发展水平与一般平均数存在着一定的差异，主要表现在以下方面。
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
① 平均发展水平是某一现象在不同时期中发展水平的平均数，是某一现象总体在不同时期上的数量表现，是从动态上说明其在某一时期内发展的一般水平；而一般平均数是同类型总体各单位同一时间的变量值的平均，用以反映总体在具体历史条件下的一般水平。
② 平均发展水平是根据动态数列计算出的某一现象在不同时间上数值差异的抽象化，而一般平均数是根据分配数列计算出的同一时间总体某一数量标志值差异的抽象化。
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
需要特别指出，平均发展水平在解决某些动态数列的可比性问题上具有特定优势。例如，由于各自然月的天数不同，会造成企业每月产品生产总量的差异，如果通过计算各月的平均日产量指标来进行比较，则各数值就具备了可比性，且更能反映出产品产量的发展变化情况。
平均发展水平(序时平均数)的计算既可以根据绝对指标(绝对数)动态数列来计算，也可以根据相对指标(相对数)动态数列和平均指标(平均数)动态数列来计算。
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
1．总量指标动态数列平均发展水平计算
总量指标动态数列可以理解为绝对指标(绝对数)动态数列，而其平均发展水平的计算也是基于绝对指标(绝对数)动态数列来展开的。由于绝对指标动态数列又分为时期数列与时点数列两类，所以其具体计算方法也存在着一定的差别。
(1)用时期数列计算平均发展水平(序时平均数)。
由于时期数列中各项指标数值之和等于全部时期的总量，因此，用时期数列计算序时平均数时，通过简单的加和后计算平均数即可。具体计算公式为：
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
(2)用时点数列计算平均发展水平。
由于时点数列本身的复杂性，需要将时点数列分为连续时点数列和间断时点数列。这里的连续时点数列意味着任意相邻两个指数的时间间隔相同，即计数的频率相同，在实际社会经济统计中一般以“一天”作为最小的时间单位。而在实际生活中，并非所有现象都能够保持相同时间间隔统计，那这些并非按照相同时间间隔统计的指标数值，称为间断时点数列。
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
① 用连续时点数列计算平均发展水平。
在连续时点数列中，有连续变动和非连续变动两种情况。
A. 用连续变动的连续时点数列计算平均发展水平。
如果连续时点数列每日的指标数值都有变动，则该数列被称为连续变动的连续时点数列。其计算方法与用时期数列计算平均发展水平的公式相似。具体计算公式为：
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
B. 用非连续变动的连续时点数列计算平均发展水平。
如果连续时点数列并非每日的指标数值都有变动，而是间隔几天变动一次，则该数列被称为非连续变动的连续时点数列。其计算需采用加权算术平均法来计算。具体计算公式为：
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
② 用间断时点数列计算平均发展水平。
在间断时点数列中，有间隔相等和间隔不等两种情况。
A. 用间隔相等的间断时点数列计算平均发展水平。
在实际工作中，为了简化登记手续，对具有时点性质的指标往往采取每隔一段时间登记一次的做法，如销售企业中商品的库存、流动资金占用额等，这些指标只需统计月末数字即可，这就组成了间隔相等的间断时点数列。对这类数列，采用简单算术平均法计算平均发展水平即可。
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
B. 用间隔不等的间断时点数列计算平均发展水平。
在时点数列中，当相邻两个时间间隔不等时，计算其平均发展水平需计算各时期发展水平后乘以相应加权系数再加和，最后求总体平均数，即为总体平均发展水平。具体计算公式为：
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
2．相对指标或平均指标动态数列平均发展水平计算
由于相对指标或平均指标动态数列的各项指标都是由两个总量指标对比计算出来的，属于派生数列，所以对这类数列进行发展水平计算不能根据数列中各发展水平直接计算，应先分别计算分子数列与分母数列的平均发展水平，再通过对比求得最终结果。具体计算公式为：
式中， 表示相对指标或平均指标的平均发展水平； 表示分子数列发展水平； 表示分母数列平均发展水平。就分子与分母数列来说，既可以是时期数列，也可以是时点数列。
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
(1)用两个时期数列对比而成的相对数或平均数动态数列计算平均发展水平。
(2)用两个时点数列对比而成的相对数或平均数动态数列计算平均发展水平。
① 间隔相等的时点数列。
其公式为：
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
② 间隔不等的时点数列。
这里需要先计算分子与分母各自的加权平均数，然后再进行比较。其公式为：
(3)用一个时点数列和一个时期数列对比而成的相对数或平均数动态数列计算平均发展水平。
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
根据表4-8，计算某企业2020年第四季度平均月劳动生产率。
表4-8 某企业2020年第四季度月劳动生产率
第4章
即该企业的平均月劳动生产率约为23.7台/人。
月 份 9月30日 10月31日 11月30日 12月31日
总产量(台) 5 320 5 480 5 590 5 760
月末职工人数(人) 230 234 240 242
劳动生产率(台/人) 23.1 23.4 23.3 23.8
解：由表4-8可知，总产量动态数列为时期数列，职工人数动态数列是间隔相等间断时点数列，则平均月劳动生产率为：
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.2平均发展水平
第4章
1．增长量
增长量是说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量，它取决于报告期水平和基期水平之差，反映的是基期水平的增长情况。其公式为：
由于基期性质的不同，增长量可分为逐期增长量和累计增长量。
逐期增长量是指报告期水平与前一期水平之差，报告期前一期水平相当于当前报告期水平的基期，它表明本期比上一期增长的绝对数量。其公式为：
逐期增长量：
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.3增长量与平均增长量
第4章
累计增长量是指报告期水平与最初期水平或某一固定时期水平之差，最初期水平或某一固定时期水平相当于当前报告期水平的基期，它表明本期比最初期水平或某一固定时期水平增长的绝对数量。其公式为：
累计增长量：
逐期增长量与累计增长量之间的关系是累计增长量等于各逐期增长量之和，即
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.3增长量与平均增长量
第4章
2．平均增长量
平均增长量是说明在一定时期内某一经济现象的平均每期增长数量，是各逐期增长量的平均数。它既可以由逐期增长量求得，也可以由累计增长量求得，其公式为：
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.3增长量与平均增长量
第4章
根据表4-9，计算某企业2020年四个季度平均生产增长量。
表4-9 某企业2020年各季度产量表 单位：台
季 度 一季度 二季度 三季度 四季度
总产量 5 320 5 480 5 590 5 760
逐季增长量 ― 160 110 170
累计增长量 0 160 270 440
解：
或
即该企业2020年四个季度平均生产增长量约为146.7台。
4.2 动态数列水平分析指标
4.2.3增长量与平均增长量
第4章
动态数列的速度分析指标是反应某一现象在某段时间内发展变化快慢程度的指标，主要包含发展速度、平均发展速度、增长速度与平均增长速度四种，且四者间具有高度关联性，其中以发展速度作为基本分析指标。
4.3.1发展速度与平均发展速度
4.3.2增长速度与平均增长速度
4.3.3计算和运算速度相关指标应注意的问题
4.3 动态数列水平分析指标
第4章
1．发展速度
发展速度是描述现象发展程度的相对指标，其计算结果是报告期水平与基期水平的比值，一般以百分数或倍数形式表示。其公式为：
而根据基期的不同，又把发展速度分为定基发展速度和环比发展速度两类。
4.3 动态数列速度分析指标
4.3.1发展速度与平均发展速度
第4章
(1)定基发展速度。
定基发展速度指以最初时期或某一固定时期水平作为基期，以报告期水平与基期的比值来解释现象在总的观察期内的发展变化程度，因此也被称为“总速度”。其公式为：
式中， 表示报告期水平； 表示最初(固定)时期水平。
4.3 动态数列水平分析指标
4.3.1发展速度与平均发展速度
第4章
(2)环比发展速度
环比发展速度指以上一时期水平作为基期，以报告期水平与基期的比值来解释现象逐期的发展变化程度。其公式为：
式中， 表示报告期水平； 表示报告期前一时期水平。
定基发展速度与环比发展速度具有一定的关联，具体表现在以下两点。
4.3 动态数列水平分析指标
4.3.1发展速度与平均发展速度
第4章
① 定基发展速度等于该时期内环比发展速度的连乘积。即
② 两个相邻定基发展速度的比值等于这两个时期的环比发展速度。即
根据上述关系，可以进行速度的相互推算。
4.3 动态数列水平分析指标
4.3.1发展速度与平均发展速度
第4章
2．平均发展速度
平均发展速度是各期环比发展速度的序时平均数，说明某现象在一定时期内的平均发展变化程度。就其计算方法而言，主要分为几何平均法和方程法，这里主要介绍几何平均法。
计算平均发展速度时，因为总速度不能通过各期环比发展速度求和来获得，而是通过各期环比发展速度的连乘积而获得，所以我们不能采用简单的算术平均法，而要采用几何平均法来计算。其公式为：
式中， 表示平均发展速度； 表示环比发展速度的个数，它由观察数据项数减1获得。
4.3 动态数列水平分析指标
4.3.1发展速度与平均发展速度
第4章
1．增长速度
增长速度是表明现象增长程度的相对指标，是增长量与相对水平之比。它既可以根据增长量求得，也可以根据发展速度求得。其公式为：
而根据基期的不同，仍需把增长速度分为定基增长速度和环比增长速度两类。定基增长速度是累计增长量与某一固定时期水平之比，反映现象在较长时期内总的增长程度。环比增长速度是逐期增长量与前一期水平之比，反映现象逐期的增长程度。而二者本身无法进行互相换算。
4.3 动态数列水平分析指标
4.3.2增长速度与平均增长速度
第4章
2．平均增长速度
平均增长速度是各期环比增长速度的平均发展水平，说明现象在一定时期内逐期平均增长的变化程度。而根据增长速度与发展速度之间的运算关系，其公式为：
由公式可以看出，增长速度的正负仍取决于发展速度是大于1还是小于1，当发展速度大于1时，增长速度为正，说明某现象在一个较长时期内逐期平均递增，将该速度称为平均递增速度或平均递增率；而当发展速度小于1时，增长速度为负，说明某现象在一个较长时期内逐期平均递减，将该速度称为平均递减速度或平均递减率。
4.3 动态数列水平分析指标
4.3.2增长速度与平均增长速度
第4章
(1)当动态数列的组成中有0或者负数出现时，不应直接计算速度。因为对这类动态数列进行速度计算，既不符合数学公理，又不具备实际意义。这种情况下采用绝对数分析是较好的方法。
(2）计算方法的选择要依据统计研究目的而定。当目的在于考察最末期发展水平而非各期水平总和时，应采用几何平均法，而相反情况则应选用方程法。
4.3 动态数列水平分析指标
4.3.3计算和运用速度相关指标应注意的问题
（3)单纯的速度计算结果具备一定的说明局限，需要结合与基期的绝对水平来进行判断。通常以计算增长1%的绝对值来进行补充说明。增长1%的绝对值指速度每增加1%而增加的绝对数量，其公式为：
第4章
根据表4-10比较A、B两工厂的业绩，假设两工厂的生产条件基本相同。
表4-10 A、B两工厂生产状况表
年 份 A 厂 B 厂 生产量(台) 增长速度(%) 生产量(台) 增长速度(%)
2019 2 000 ― 120 ―
2020 2 400 20 168 40
解：就表格内数据分析，根据速度指标数据判断B厂的生产增长速度是A厂的2倍。如果就此判断B厂的生产率好于A厂就会产生偏差。原因是通过进一步计算两工厂速度增长1%所增加的产量绝对额，发现A厂增长1%的绝对产量为20台，而B厂增长1%的绝对产量仅为1.2台，可见A厂的生产率远高于B厂。
4.3.3计算和运用速度相关指标应注意的问题
4.3 动态数列水平分析指标
4.4.1 长期趋势测定与预测的意义
4.4.2 间隔扩大法
4.4.3 移动平均法
4.4.4 最小平方法
第4章
4.4长期趋势的测定与预测
第4章
根据影响因素的性质及作用不同，动态数列反映现象大致可分为四类：
长期趋势(T)，指各个时期普遍和长期起作用的基本因素引起的变动，是现象按一定方向不断长期发展变化所形成的趋势；
周期变动(C)，也称循环变动，指某现象在较长时间内反复高低变化的一种变动，是一种规律性的盛衰交替变动；
季节变动(S)，指由自然季节变换和社会习俗等因素引起的规律性周期波动，一般以年为周期产生变化起伏；
不规则变动(I)，也称偶然变动，指由社会或自然的临时或偶然因素所引发的非趋势性、非周期性变动，一般可以用来泛指除上述三种变动以外的变动。如果根据四种变动因素不同的相互关系进行假设和说明，可分为加法模式变动和乘法模式变动。
4.4长期趋势的测定与预测
第4章
加法模式：将动态数列的总变动设为Y，当四种变动因素之间的关系是相互独立时，动态数列总变动为各因素之和，即
式中， 表示总量指标； 表示季节变动、周期变动、不规则变动对长期趋势产生的偏差，可能为正值，也可能为负值。
乘法模式：将动态数列的总变动设为Y，当四种变动因素之间的关系是相互影响时，动态数列总变动为各因素之积，即
式中， 表示总量指标； 表示比率，需用百分数表示。
4.4长期趋势的测定与预测
第4章
长期趋势本身就是针对某现象在一个相当长时间内持续变动(向上或向下)趋势的研究。而通过排除短期性的及偶然性的因素影响，来研究和分析现象变动的总趋势是动态数列分析的重要任务之一。
测定长期趋势的主要目的有以下几点：首先，可以把握现象的趋势变化；其次，通过数量研究寻找现象规律，通过生成趋势曲线为统计预测做准备；最后，长期趋势的测定可以有效消除原有动态数列中长期趋势的影响，可以更准确地显示和测定季节性变动。
4.4 长期趋势的测定与预测
4.4.1长期趋势测定与预测的意义
第4章
长期趋势的基本形式主要分为两种，即直线趋势和非直线(曲线)趋势。当现象在一个相当长时期内呈现比较稳定的变动(上升或下降)，且其变动轨迹为一条直线时，称为直线趋势。而当现象在一个相当长时期内呈现出的变动轨迹为抛物线或指数曲线等形式时，称为非直线(曲线)趋势。直线趋势的变化率或斜率基本不变，而非直线(曲线)趋势的变化率或斜率则是变化的。
研究现象的长期趋势，需要对现有动态数列进行长期趋势的测定。而测定长期趋势的主要方法有间隔扩大法、移动平均法和最小平方法。
4.4长期趋势的测定与预测
第4章
间隔扩大法是一种简单的测定直线趋势的方法。间隔扩大法是指将动态数列间隔扩大，使部分项数合并，从而得到新的动态数列。这种方法常用于现有动态数列变化规律不明显时，同时这种方法可以部分抵消数据的不规则变动，包括季节变动和周期变动也适用于这种方法。
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.2 间隔扩大法
第4章
【例4-9】根据表4-11，计算某企业2020年产品产量的长期趋势。
表4-11 某企业2020年各月产量表
月 份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
产量(台) 124 146 138 168 164 152 190 178 188 196 212 186
解：通过表4-11可以看出，该企业月产品生产量变化不明显且不均匀，研究发现通过该数列无法清晰准确地反映该企业2020年产品生产的变动趋势。所以现将该数列间隔扩大为以季为单位，将间隔由原来的1个月扩大为3个月，经重新整理得到表4-12。
表4-12 某企业2020年各季度产量表
季 度 一 二 三 四
产量(台) 408 484 556 594
通过表4-12可以看出，间隔扩大后新数列呈现出了较为明显的长期变化趋势，即2020年该企业的产品产量呈现增长的变化趋势。除了加和的方式扩大间隔，还可以运用平均数的方式来编制新的动态数列。根据平均数计算的话，表4-11还可以整理为表4-13。
表4-13 某企业2020年各季度平均产量表
季 度 一 二 三 四
产量(台) 136 161.3 185.3 198
通过表4-13同样可以看出，2020年该企业的产品产量呈现增长的变化趋势。
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.2 间隔扩大法
第4章
移动平均法也是一种常见的长期趋势测定方法，该方法采用逐项递推移动法，通过计算一系列移动的平均发展水平(序时平均数)，从而生成一个新的动态数列，使长期趋势显现出来。这种方法同间隔扩大法一样，可以一定程度地抵消数据的不规则变动，包括季节变动和周期变动等。而与间隔扩大法相比，移动平均法在防止数据大量丢失上具有更大的优势。
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.3移动平均法
第4章
【例4-10】根据表4-11，用移动平均法计算某企业2020年产品产量的长期趋势。
解：将表4-11利用移动平均法重新整理后得到表4-14。
表4-14 某企业2020年各月产量移动平均法计算表
月 份 产量(台) 三项移动平均数 五项移动平均数
1 124 ― ―
2 146 136 ―
3 138 150.7 148
4 168 156.7 153.6
5 164 161.3 162.4
6 152 168.7 170.4
7 190 173.3 174.4
8 178 185.3 180.8
9 188 187.3 192.8
10 196 198.7 192
11 212 198 ―
12 186 ― ―
从上述结果可以看出，无论是三项移动平均数还是五项移动平均数，都比原来的动态数列更加清晰地表现出了现象的发展趋势，从表中的两个新动态数列可以明显看出某企业的产品生产产量呈现增长的变化趋势。
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.3移动平均法
第4章
而应用移动平均法进行长期趋势分析时，应注意以下几方面内容：
首先，移动平均法修匀的项数越多，其趋势线越平滑，效果越好；
其次，原有动态数列如存在循环周期，则移动平均的项数应以循环周期的长度为准，这样可以最大程度地将周期波动消除；
再次，移动平均法采用移动奇数项比移动偶数项简单，原因是奇数项移动后所得新值可以与原值对应，而偶数项移动后其所得新值处在两个原值中间，所以采用偶数项移动的平均值需再次进行两项“移正平均”；
最后，移动平均后的数列在总项数上要少于原数列。
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.3移动平均法
第4章
最小平方法又称最小二乘法，是通过一定的数学模型通过一条适当的趋势曲线对原有动态数列进行修匀。根据最小平方法的原理，这条趋势线必须满足最基本的要求，即原有数列的实际数值与趋势线的估计数值的离差平方之和为最小。其公式为：
式中， 表示原数列的实际数值； 表示趋势线的估计数值。
由于长期趋势有直线型和曲线型的区别，而最小平方法既可以配合直线趋势，也可以配合曲线趋势，因此它是分析长期趋势十分普遍和理想的方法。
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.4最小平方法
第4章
1．直线趋势方程
如果现象的逐期增长量基本相等，则可考虑配合直线趋势方程。直线趋势方程的一般形式为：
式中， 表示截距； 表示直线的斜率；t表示时间。
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.4最小平方法
第4章
在上述直线趋势方程中，a、b为两个未定参数，依据最小平方法的要求，可用求偏导数的方法，导出以下联立方程组：
式中，t表示动态数列的时间；y表示动态数列中各期水平；n表示动态数列的项数。
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.4最小平方法
第4章
为了方便计算，可以通过假设时间t使a、b两个参数的求解简化。具体方法是通过设定t的时间序号使 。当动态数列为奇数项时，可假设t的中间项为0，使动态数列时间依次为：…, 3, 2, 1,0,1,2,3,…；当动态数列为偶数项时，可假设t的中间两项中点为0，使动态数列时间依次为：…, 5, 3, 1,0,1,3,5,…。则联立方程组简化为：
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.4最小平方法
【例4-11】根据表4-15，用最小平方法进行长期趋势预测。
表4-15 某商场客流量的最小平方法计算表
第4章
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.4最小平方法
年 份 客流量(千人) t t2 ty yc
2014 200 1 1 200 187.5
2015 240 2 4 480 230.7
2016 260 3 9 780 273.9
2017 300 4 16 1 200 317.1
2018 350 5 25 1 750 360.4
2019 410 6 36 2 460 403.6
2020 460 7 49 3 220 446.8
合计 2 220 28 140 10 090 2 220.0
虽然上表用最小平方法可以正常计算出长期趋势，但是过程比较烦琐，根据简化方程的方法，可以把上表进一步简化为表4-16的形式。
表4-16 某商场客流量的最小平方法计算表(简化版)
年 份 客流量(千人) t t2 ty yc
2014 200 -3 9 -600 187.5
2015 240 -2 4 -480 230.7
2016 260 -1 1 -260 273.9
2017 300 0 0 0 317.1
2018 350 1 1 350 360.4
2019 410 2 4 820 403.6
2020 460 3 9 1 380 446.8
合计 2 220 0 28 1 210 2 220.0
解：计算过程如表4-16所示。
将a、b两个参数代入直线趋势方程，得。
此时，通过上述直线趋势方程可计算各年趋势值，而由表4-15和表4-16可知，两种方法的各年趋势值计算结果相同。
第4章
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.4最小平方法
第4章
2．抛物线(曲线)趋势方程
如果现象的逐期增长量的增长量(各期的二级增长量)基本相等，则可考虑配合抛物线趋势方程。抛物线趋势方程的一般形式为：
在抛物线趋势方程中，有a、b、c三个未定参数，依据最小平方法的要求，同样可用求偏导数的方法，导出以下联立方程组：
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.4最小平方法
第4章
通过求解上述方程组，可得到a、b、c三个参数值，将其代入抛物线趋势方程中，即可求得趋势值与预测值。
同样，为了方便计算，通过使 ，仍可得到简化的联立方程组：
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.4最小平方法
【例4-12】根据表4-17，用最小平方法进行长期趋势预测。
表4-17 某企业近年产品产量(台)
年 份 产量(台) 逐年增长量 二级增长量
2012 988 ― ―
2013 1 012 24 ―
2014 1 034 22 -2
2015 1 080 46 24
2016 1 126 46 9
2017 1 179 53 7
2018 1 239 60 7
2019 1 307 68 8
2020 1 382 75 7
根据表4-17可以看出，该企业产品产量的二级增长量大体相等，所以该资料的趋势比较接近抛物线趋势模型，根据简化方程的方法，可以把表
第4章
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.4最小平方法
4-17进一步简化为表解：将相关数据带入联立方程可得：
解：将相关数据带入联立方程可得：
解得：
将a、b、c三个参数代入抛物线趋势方程，得。
此时，通过上述直线趋势方程可计算各年趋势值，假如要预测2021年的产量，即当t = 5时，由公式可知
即预计2021年该企业的产品生产量为1 465.5台。4-18的形式。
年 份 产量(台) t t2 ty t2y t4 yc
2012 988 -4 16 -3 952 15 808 256 988.5
2013 1 012 -3 9 -3 036 9 108 81 1 011.1
2014 1 034 -2 4 -2 086 4 136 16 1 041.3
2015 1 080 -1 1 -1 080 1 080 1 1 079.1
2016 1 126 0 0 0 0 0 1 124.5
2017 1 179 1 1 1 179 1 179 1 1 177.5
2018 1 239 2 4 2 478 4 956 16 1 238.1
2019 1 307 3 9 3 921 11 763 81 1 306.3
2020 1 382 4 16 5 528 22 112 256 1 382.1
合计 10 347 0 60 2 952 70 142 708 10 348.5
第4章
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.4最小平方法
第4章
3．指数曲线趋势方程
如果现象的各期增长量基本相等，即环比发展速度或环比增长速度基本相等，则可考虑配合指数曲线趋势方程。指数曲线趋势方程的一般形式为：
式中，a表示动态数列的基期水平；b表示现象的一般发展速度；t表示动态数列的时间。
通过曲线趋势方程分析长期趋势时，一般先通过指数方程取对数的方式将其转化为直线方程，然后通过直线趋势模型确定各相关参数，最后通过对直线方程查反对数表进行还原。
4.4长期趋势的测定与预测
4.4.4最小平方法
先对上述方程两端取对数，得：
设 ，则
应用最小方程法求联立方程组为：
同样设，则可将联立方程组简化为：
通过求解联立方程组A、B的值，之后按照反对数表差得a、b的值，并代入曲线趋势模型公式即可得到曲线趋势方程。利用该方程即可对相关动态数列进行预测。
4.4.4最小平方法
4.4长期趋势的测定与预测
第4章
4.5.1 按月平均法
4.5.2 移动平均趋势剔除法
4.5季节变动的测定与预测
第4章　
第4章　
测定季节变动的方法有很多，以按照是否考虑长期趋势的影响来看可分为两种：
一是忽略长期趋势影响，直接测定原动态数列的按月平均法；
二是不忽略长期趋势影响，测定消除长期趋势影响后动态数列的移动平均趋势剔除法。两者都是测定季节变动的常用方法，但不管选择哪种方法计算季节变动，前提是都需要连续多年的资料作为基础，一般要求至少3年，这样才能更好地消除偶然因素的影响，从而更加准确和客观地描述现象的季节变动规律。
4.5季节变动的测定与预测
第4章
按月平均法又称按季平均法或简单平均法，这与选择的动态数列各指数周期有关，具体计算步骤如下。
(1)将各年同月(季)的数值进行列表。
(2)计算各年同月(季)的平均数。
(3)将所有月(季)数值加总，计算全期平均数。
(4)用月(季)平均数除以全期平均数，求得季节指数(或季节比率)S.I.，其公式为：
4.5季节变动的测定与预测
4.5.1 按月平均法
【例4-13】根据表4-19，用最小平方法进行长期趋势预测。
表4-19 某企业近年产品产量情况表
年 份 产量(台) 一 季 度 二 季 度 三 季 度 四 季 度
2015 64 84 100 60
2016 82 98 102 78
2017 78 114 98 84
2018 72 96 112 88
2019 90 112 102 84
2020 80 106 120 76
第4章
4.5季节变动的测定与预测
4.5.1 按月平均法
解：根据公式(4-39)，某企业产品生产的季节指数计算结果如表4-20所示。
表4-20 某企业近年产品产量情况表
由于是季节资料，季节指数之和应等于400%，本例季节指数之和为400.1%，基本接近。若相差太大，应做调整，方法是先求校正系数(校正系数= 400/4个季度比率之和)，再以此系数乘以原来各季的季节比率。
4.5.1 按月平均法
第4章
4.5季节变动的测定与预测
年 份 产量(台) 全年合计
一 季 度 二 季 度 三 季 度 四 季 度 2015 64 84 100 60 308
2016 82 98 102 78 360
2017 78 114 98 84 374
2018 72 96 112 88 368
2019 90 112 102 84 388
2020 80 106 120 76 382
同季合计 466 610 634 470 2180
同季平均 77.7 101.7 105.7 78.3 90.8
季节指数(%) 85.6 112.0 116.4 86.2 400.1
第4章
移动平均趋势剔除法在计算季节指数前需要先用移动平均法除去长期趋势，具体计算步骤如下。
(1)根据动态数列中的月(季)数值计算移动平均数。
(2)消除趋势值。如模型为加法模型，则用动态数列中各月(季)的数值(y)减去相应的趋势值(yc)；如模型为乘法模型，则用动态数列中各月(季)的数值(y)除以相应的趋势值(yc)，并计算百分比数值。
(3)把上一步骤计算出的百分比数值按月(季)排列，计算各年同月(季)的总平均数，该平均数即为各月(季)的季节指数。
(4)各月的季节指数相加总数应为1200%，如果以季为节点，则各季的季节指数相加总数应为400%，如产生较大差异，应用校正系数进行调整。
4.5季节变动的测定与预测
4.5.2移动平均趋势剔除法
【例4-14】根据表4-21，用移动平均趋势剔除法测定某企业产品销售量的季节变动。
表4-21 某企业近三年产品各季度销量情况表
先根据运算步骤用移动平均法计算长期趋势。因资料以季为时间段，所以再用四项移动平均移正，最后剔除趋势值，具体计算结果如表4-22所示。
第4章
4.5季节变动的测定与预测
4.5.2移动平均趋势剔除法
季 度 2018年 2019年 2020年
一 216 245 288
二 63 75 99
三 18 22 26
四 255 378 399
年 份 季 度 销量(台) 四项移动平均移正yc 剔除趋势值y/yc(%)
2018 一 216 ― ―
二 63 ― ―
三 18 141.6 12.7
四 255 146.8 173.7
2019 一 245 148.8 164.7
二 75 164.6 45.6
三 22 185.4 11.9
四 378 193.8 195
2020 一 288 197.3 146
二 99 200.4 49.4
三 26 ― ―
四 399 ― ―
根据上表计算结果求季节指数。重新编排y/yc数据，计算平均季节指数进行指数校正，具体结果如表4-23所示。
表4-23 某企业近三年产品各季度销量情况表
显然，季节变动分析的两种方法各有优缺点：按月平均法计算简单，但结果没有忽略长期趋势的影响；移动平均趋势剔除法虽然计算复杂，但结果却消除了长期趋势的影响。
年 份 第 一 季 第 二 季 第 三 季 第 四 季 合 计
2018 ― ― 12.7 173.7
2019 164.7 45.6 11.9 195
2020 146 49.4 ― ―
合计 310.7 95 24.6 368.7
平均 155.35 47.5 12.3 184.35 399.5
校正系数 1.001 25 1.001 25 1.001 25 1.001 25
季节指数(%) 155.5 47.6 12.3 184.6 400
第4章
4.5季节变动的测定与预测
4.5.2移动平均趋势剔除法
第4章
在进行时间序列的分析之前，首先要定义变量为时间序列数据。只有定义之后，才能对变量使用时间序列运算符号，也才能使用时间序列分析的相关命令。
1．定义时间序列
定义时间序列用tsset命令，其基本命令格式为：
.tsset timevar [,options]
其中，timevar为时间变量。options分为两类，即定义时间单位，或者定义时间周期(timevar两个观测值之间的周期数)。options的相关描述请查阅Stata手册。
4.6 用Stata软件进行长期趋势的测定
第4章
2．修匀
数据=修匀部分+粗糙部分。运用Stata软件进行修匀使用tssmooth命令，其基本命令格式如下：
.tssmooth smoother [type] newvar = exp [if] [in] [, ...]
其中smoother[type]有一系列目录，如表4-24所示。
表4-24 smoother[type]修匀类型描述
平滑的种类 smoother[type]
移动平均
不加权 ma
加权 ma
递归
单指数过滤器 exponential
双指数过滤器 dexponential
非季节性Holt-Winters修匀 hwinters
季节性Holt-Winters修匀 shwinters
非线性过滤器 nl
4.6 用Stata软件进行长期趋势的测定
第4章
表4-24 smoother[type]修匀类型描述
平滑的种类 smoother[type]
移动平均
不加权 ma
加权 ma
递归
单指数过滤器 exponential
双指数过滤器 dexponential
非季节性Holt-Winters修匀 hwinters
季节性Holt-Winters修匀 shwinters
非线性过滤器 nl
4.6 用Stata软件进行长期趋势的测定
第4章
使用表4-14中的数据对移动平均法的Stata命令实现进行说明。本例的修匀方法是三项移动平均。修匀后的数据用变量output1来表示。
(1)对变量进行定义，生成具有时间变量格式的变量。输入命令：
.generate monthly=ym(year，month)//生成新的变量monthly，该变量由年和月构成，形式为ym( year, month)。
输入此命令之后，命令在Stata的数据中生成新的变量monthly。部分数据如下：
4.6 用Stata软件进行长期趋势的测定
第4章
4.6 用Stata软件进行长期趋势的测定
第4章
(2)定义时间序列。
输入命令：
.format monthly %tm
.tsset monthly，monthly //生成时间序列monthly，其格式为 %tm。
命令及其输出结果如下：
4.6 用Stata软件进行长期趋势的测定
第4章
(3)使用移动平均法修匀。
输入命令：
.tssmooth ma output1=output,window(1 1 1) //不加权的3项移动平均，使用1个过去项、1个未来项和当前观察值。
该命令的输出结果显示在数据浏览窗口，结果如下：
4.6 用Stata软件进行长期趋势的测定
第4章
4.6 用Stata软件进行长期趋势的测定
第4章
修匀后的数据可以计算残差，可通过以下命令实现：
.gen noise=output-output1
.tssmooth ma output2 =output, weights( 1/2 <3> 2/1) //使用不同权重的五项移动平均，1和2为过去项的权重，3为当前项的权重，2和1为未来项的权重。
该命令的输出结果显示在数据浏览窗口，结果如下：
4.6 用Stata软件进行长期趋势的测定
第4章
4.6 用Stata软件进行长期趋势的测定

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